精品课件：数学湘教选修1-2第5章5.2.2

1、52.2间接证明：反证法学习目标课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练子1日怀1 了解反证法是间接证明的一种基本方法.2 . 了解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问 题.课前自主学案温故夯基综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索 因” 它们是截然相反的两种 证明方法，分析 法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的 叙述，两种方法各有 所长，在解决具体的问题 时，综合运用效 果会更好.知新益能1 间接证明 不是从正面证论题的真实性，而是证明它的反论题为假,或改证它的等价命题为真.以间接地达 到目的.2 .反证法假设原命题的查定成立，从假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结论，说明原命

2、题结 论的 否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立, 这种证明方法称为反证法.3-反证法的一般步骤(1)反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论 的五面成立(2)归谬：由“返选”出发，通过正确的推理，导 出矛盾一卑知条件，已知的公理、定山、宦娶反设 及明显的事实矛盾或自相 矛盾.(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于'反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯 定了结论成立.思考感悟用反证法证明命题岩？，贝归”时，为什么 绑g假q就真？提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确， 要么错误，二者必居其一，所以命题结论g的反面绑 g错误时，g就一定正确.课堂互动讲练考点突破考点

3、一用反证法证明否定性命题结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不 存在”等词语的命题，此类命题的反面比 较具体，适 于应用反证法.s【思路点拨】结论是“不垂直”，呈否定性，考虑 使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛 盾，从而肯 定“不垂直” 【证明】假设AC，平面SOB一 直线SO在平面SOB内，：/ULS0 SO_L底面圆(), SO,典yAB CAC=Af SO，平面ABC, 平面ABC /底面圆0这显然与ABu底面圆0矛盾，所以假设不成 立.故AC与平面SOB不垂直.【名师点评】反证法属逻辑方法范畴，它的严谨 体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”， 其中：第一个否定是指“否定结

4、论（假设）”；第二 个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”,反证法属 ”间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设“易错写成“设”自我挑战1已知a+方+c=0,求证：ab+bc +ca不 大于零证明：假设血+方c+ca>0,因为0+方2+c2$o.贝 U(a2+fe2+c2)+2窃加方 c +ca)>0.所以(a +方+c)2>0,即a +方+cHO,这与a +方+c = 0矛盾，所以假设不成立，故血+方c + caWO.用反证法证明唯一性命题结论以“有且只有一个”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设 结论 易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明 了.)求证

5、函数f(x) = 2x + l有且只有一个零点.,I思路点拨】含有“有且只有"字眼的命题一般 先证存在性，再用反证法证唯一性.【证明】存在性：因为2X(g)+l = 0,所以一*为函数/(兀)=2兀+1的零点.所以函数/ (兀=2r + 1至少存在一个零点.(2)唯一性：假设函数/(x)=2x+l除一斗外还有零点XoQoW-则=7Uo)=O即 2X(A + l=2ro+l.x11x这与Xo八一2矛盾.41故假设不成立,即函数/(x)=2x+l除一外没有其 他零点.综上所述，函数/(x)=2x+I有且只有一个零点.【名师点评】“有且仅有”的含义有两层存在性：本题中只需找到函数f(Q =

6、 2x + l 的一个零点即可.唯一性：正面直接证明 较为困 难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的 正确性.用反证法证明存在性问题当命题中出现“至少”、"至多”、“不都”、“都不”、“没有”等指示性词语时，宜用反证法.注意至少有一个”、“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是” )已知求证三个方程:x2+4ax4a+3=0, x2+(a -l)x+«2=0, / + lax 2a 0中至少有一个方程有实数 解.【思路点拨】假设三个方程都没有实根一三个判别式都小于0的范围-与已知aM 1矛盾一否定假设肯定结论31丁 <2或

7、avl_2vav0【证明】假设三个方程都没有实根，则三个方程中： 它们的判别式都小于o, HP :(4a)24(滋+3)v0* («I)24«2<0 k(2a)2+4X2a<0今一 jvx1,这与已知心一 1矛盾，所以假 设不 成立，故三个方程中至少有一个方程有实数 解.【名师点评】反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是 A,或者是非A,即在同一讨论过程中，A和非A有 且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现.自我挑战2若4、b、C均为实数，且2y+pZfI2z+j, c=z22x+9 求 证：6、c 中至少 有一个大于0.证明：假设b、

8、c都不大于0,即aWO, W0, cWO,则 a+方+cWO,而 a+b+c=x 2y+A+y 2z+A+A 2x+A =（x一 l）2+（yl）2+（zl）2+?l-3.3>0,且（X1）2+（yl）2+（z，l）2 八（J, a+ +c>0,这与 + +cWO矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0*1 .反证法适宜证明“存在性、唯一性、带有至少 有一个'或'至多有一个'等字样”的一些 数学问题.2 .反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的 原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否 定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑 推理结果否定了假设” 反证法属“间接解题方