四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第讲数阵图提高篇(解析版)全国通用

1、第三讲数阵图内容概述在神奇的数学王国中， 有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵,一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。那么，到底什么是数阵呢？我们先观察右面两个图：右图(1)中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上 的四个数字之和都等于 13。右图(2)就更有意思了， 19九个数字 被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。上面两个图就是数阵图。 准确地说，数阵图是

2、将一些数按照一定 要求排列而成的某种图形， 有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图， 可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。例题精讲【例1】 把15这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之 和都等于9。分析：同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了答案，可是却搞不清其中 的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧 妙的数阵问题。中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做 “重叠数。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了 两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因

3、为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于 9,所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了。【例2】 将17这七个自然数填入右图的七个O内,使得每条边上的三个数之和都等于10。分析：因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得至U (1+2+ +7)+重叠数 >2=10 >3。由此得出重叠数为：10 >3-(1+2+7) - 2=1剩下的六个数中，两两之和等于(15+1) -2=8。填法见下列图(1);(15+3) -2=9。填法见下列图(2);(15+5) -2=10。填法见下列图(3)。

4、【例3】 把15这五个数填入右图中的O里 (已填入5)，使两条直线上的三个数之和 相等。分析：法1:与例1不同之处是"重叠数为 5，而不知道两条直线上的三个数之 和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于(1+2+3+4+5)+5 +2=10。F4法2 :只需将1、2、3、4填如空格，我们可以利用对称的思想。|；)-1|5【例4】 将1020填入右图的O内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。分析：中间O内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三

5、个数字之和等于 (10+11+ +20)+15 X 4十 5=45剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=30)的有10, 20; 11, 19; 12, 18; 13, 17;16。于是得到右下列图的填法。【例5】 把15这五个数填入右图中的O里，使每条直线上的三个数之和相等。分析：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例3是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和。本例是这两样什么都不知道，但由例1、例3的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和X 2，所以，每条直线上三数之和=(15+ 重叠数)十2。因为每条直线上的三数之和是整数，所以“15+重叠数只能是偶

6、数，重叠数只可能是1, 3或5。假设“重叠数 =1，那么两条直线上三数之和为 假设“重叠数 =3，那么两条直线上三数之和为 假设“重叠数 =5，那么两条直线上三数之和为<5)(IM3W5)由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。【例6】 把16这六个数填入右图的O里，使每个圆圈上的四个数 之和都相等。分析：为方便分析，我们不妨将两个重叠数记为a、b，那么有(1+2+3+4+5+6)+a+b = 2倍的和，即21+a+b=2倍和，所以a+b必须为奇数 ，那么它们可能是：1+2、1+4、1+6、3+2、3+4、3+6、5+2、 5+4、5+6，经检验可得如下答案：=12=13=14(

7、3)每个圆周的四数之和=15(5)每个圆周的四数之和=16(1) 每个圆周的四数之和【例7】将18这八个数分别填入右图的O中，使两个大圆上 的五个数之和都等于 21。分析：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为21X2-(1+2+8)=6。在的八个数中，两个数之和为6的只有1与5, 2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。如果两个重叠数为1与5,那么剩下的六个数2,3,4, 6,7,8平分为两组，每组三数之和为15的只有2与4,那么同理可得左下列图的填法。【例8】 将16这六个自然数分别填入右图的六个O内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。分析：此题有三个

8、重叠数，即三角形三个顶点O内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于11X3-(1+2+6)=12。16中三个数之和等于12的有1, 5, 4, 5。(1) 如果三个重叠数是 1, 5, 6,那么根据每条边上的三个数之和等于 所填数不是16,不合题意。(2) 同理，三个重叠数也不能是 3, 4, 5。(3) 经试验，当重叠数是 2, 4, 6时，可以得到符合题意的填法。6； 2,11,【例9】 将29这八个数分别填入右图的O里，使每条边上的三个数之和都等于 分析：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是18 >4-(2+3+ +9)=28。1次。所以四个重叠数之和等于4+7+8+

9、9=28 或 5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1 , 1不是的八个数之一，所以,8和9只能填对角处。由此得到下左图所示的重叠数的两种填法:而在的八个数中，四数之和为28的只有:“试填的结果，只有上右图的填法符合题意。【例10】 把17分别填入右图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。分析：这道题的"重叠数很多。有重叠2次的(中心数，记为a);有重叠1次的(三个数, 分别记为 b, c, d)。根据题意应有(1+2+ +7)+a+a+b+c+d =13X3,1 卩 a+a+b+c+d=11 。因为1+2+3+4=10 , 11-10=1，所以只有a=1, b,

10、c, d分别为2, 3, 4才符合题意，填法 见右图。【例11】(奥林匹克初赛 A卷)10个连续的自然数，9是其中第三大的数.把 这10个数填到右图的十个方格中.每格填一个数，要求图中三个2 X 2的正方形中四数之和相等那么，这个和数的最小值是_ .分析：10个连续自然数中，9是其中第三大的数， 所以这10个自然数为2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。图中三个2X 2的正方形中四数之和相等，所以2 + 3+11再加上两个重复的数，和被3整除.因为2+3+1仁65.要使和数最小，两个重复数的和应最小，这两个数可以取2与5,或3与4 这时和数是24.和数为24是可能的，如以下两图：9n斗9

11、115325723471U68J06【例12】(第六届“华杯赛 口试)你能在 3X3 然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于 假设不能，请说明理由.的方格表中每个格子里都填一个自1997吗？假设能，请填出一例,分析：如右下列图，我们取4条虚线所在的和，那么有：1997以，重叠数应是1997，但其不是整数，所以不能填入九个自然数满足要求.3【例13】将17这七个数分别填入右图的O里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。分析：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆 周上的所有数之和为：(1 + 2+ - + 7) X2 +中心数=56

12、+中心数。因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是 心数在1至7之间，所以中心数是 中心数是4,每边其余两数之和是 得到右下列图的填法。可参考附2、4。每条边及每个圆周上的三数之和等于12-4=8，两数之和是 8的有1，7 ； 附4解法。5的倍数，再由中(56 + 4)弋=12。2, 6; 3, 5。于是24X 1997=3 X 1997+3 X 重叠数，所【附1】把09这10个数不重复地填入圆圈内，然后在每个小三角形内写上这个三角形3个顶点处填的数之和，最后再把9个小三角形内的数加起来，那么这个和的最小值是.分析：注意到正中央的圆圈中的数属于 6个不同的三角形，因此被加了6次

13、.而最大的三角形3个顶点处的数被加了1次，其余的数被加了 3次.为了使总和尽量小，应该加的次数越多的圆圈中的数越小，所以和的最小值是0X 6+(1+2+3+4+5+6)X 3+(7+8+9) X 1=87 .分析：三条线上的和相加等于两个圆圈上的和相加，再加上 3个“好.所 个“好就是每条线上的和.6个“好就是两个圆圈上的和相加，【附2】(第六届?小数报?数学竞赛决赛 )如右图， 手、参、谋这 7个汉字代表17这7个数字. 数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等. 表.“好、伙、伴、助、3条直线上的3个图中间的“好代以37 个“好就是 1+ 2 + 3+4+5+6+7,从而“好1 2

14、3 4 5 6 7 =4.7【附3】小学数学奥林匹克初赛 C卷将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,分别填 人图中的九个圆圈中，使其中一条边上的四个数之和与另一条边上的四个数之和的 比值最大那么这个比值是 。分析：应该把大数尽可能往一条边上填，小数尽可能往另一条边上填，先把9, 8,7填在右面这条边上，1 , 2, 3填在左面这条边上，再考虑两边的共用 圆圈应选择 4. 5. 6中的哪一个？比拟一下：987630123612987529123511987428123410所以比值最大是空=2.810【附4】第七届“华杯赛复赛将 角形和直线上的三个数字之和相等分析：仿例14思想可

15、得答案：1-9这九个数字填入图中的【附5】仁华学校20002001学年度入学考试四年级试题 如右图，可以从 2、3、5、7、II、13、17、19中选出适当的 数填入图2和图3中，要求同一个图中不能填相同的数，并使图2中每条直线上的 3个数之和是23，图3中每条直线上的 3 个数之和是43.那么图2中间圆圈填的数与图 3中间圆圈填 的数之和是 .9个圈中，使每个三图2頤3分析：图3中每条直线上的 3个数之和是43,那么图3中5个数的和再加上1个中间数就等于 43X 2=86, 而最大的5个数加起来等于19+17+13+11+7=67，比86小19,所以图3的中间圆圈只能填 19,此时另外4 个

16、圆圈里可以填成 7+17=11 + 13.再看图2,每条直线上的 3个数之和是23,那么这5个数的和再加上1个中间数就等于 23X 2=46, 如果中间圆圈填 2，那么另外4个数的和就是462 X 2=42，可以是3+7+13+19，但这4个数中的任意两 个数和都不等于 42- 2=21;如果中间圆圈填 3,那么另外4个数的和就是46-3 X 2=40,可以是5+7+11 + 17, 但任意两数的和都不等于40十2=20;如果中间圆圈填 5或者更大的数，可以找到当中间数填7的话，另外4个数可以填5+1仁3+13。所以中间两个圆圈中填的数之和为19+7=26。习题三12。1. 如图1,将17这七

17、个数分别填入图中的O里，使每条直线上的三个数之和都等于解答:2. 如图2，将19这九个数分别填入图中的O里其中9已填好，使每条直线上的三个数之和都相等。解答：3. 如图3，将19这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。至少找出V十53 | B3T312pl5回I42g57g698和妁2$和为即4. 如图4,将39这七个数分别填入图的O里，使每条直线上的三个数之和等于20。22265.十一届“迎春杯决赛如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列 及两条对角线上的三个整数的和相等那么X=.1解答：x= 22+26=24 .26 .把18这八个数字分别填入右图中的圆圈内，使每个圆圈上与每条直线上四个数之和都相等，给出 一种具体的填法 解答：“行啊，行啊，你坐下吧！唐米老鼠和唐老鸭的争论米老鼠和和唐老