最新教师版立体几何专题一：表面积体积计算

1、精品文档立体几何专题复习一：空间几何体的表面积与体积【高考会这样考】考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图 及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大.【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式 解决一些简单的问题.基础梳理1 .柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S 侧=2 nhV= Sh= n2h圆锥S侧=n1 1 2 1V=3Sh=3 n h=-3n/|2-r2圆台S 侧=n（1 + r 2）1V=3（S 上 + S 下+# S上 S ）h=1 n2 + r2+ r 1 r.2）h直棱柱S 侧=ChV-Sh正棱锥

2、1S 侧=qCh'1V-3Sh正棱台S侧=2（C+ C' ）h'V-3（S 上 + S 下+ S上 Sr ）h球2S球面=4 nR43V-4承2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积 等于侧面积与底面面积之和.两种方法.（1）解与球有关的组合体I问题的方法，一种是内切，一种是外接:解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，.确定有关元素间的数量关系，.并作出合适. 的截面图，如球内切于正方体,.切点为正方体各个面的中心?正方体的棱长等于. 球的直径；球外接于正方体，.正方

3、体的顶点均在球面上，.正方体的体对角线长等. 于球的直径:球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的. 组合，通过多面体.的一条.侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图（2）等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（.或几何. 体）的面积（或体积.）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的. 高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高一这一方法回避了具体通 过作图得到三角形.（或三棱锥.）的高，而通过直接计算得到高的数值H A KAOXIANGTANJIUDAOXI 02 考向探究导析考向一几何体的表面积【例1】？（2011安徽）一个空

4、间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）严（主）檯宙 删左）樓整A. 48B. 32+ 8 . 17C. 48+ 8.17D . 80 审题视点由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面 积.解析 换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱, 且等腰梯形的两底分别为2,4,高为4，故腰长为.17，所以该几何体的表面积为 48 + 8 17.答案 C二以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进 行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.【训练1】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（

5、）A. 3B. 2C. 2.3D. 6解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为 2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为 2X 1X 3= 6.答案 D考向二几何体的体积【例2】？（2011广东）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左A. 18 3 B. 12 3 C. 9 3D. 6 .3审题视点根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公精品文档式求解.解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边 长为3的正方形，咼为.3，故V= 3X3X ,3 = 9,3.答案 C以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三

6、视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系, 然后在直观图中求解.【训练2】（2012东莞模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）.c 16BE nD. 12 n28A.§ nC.|n+ 8 解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为 2,高为2的圆柱和半径为1的球 的组合体，则该几何体的体积为 nX 22X 2 + |n=晋冗.答案 A4 正视图捌视图考向三 几何体的展开与折叠【例3】?（2012 广州模拟）如图1,在直角梯形ABCD中， / ADC= 90° CD/ AB，AB= 4, AD = CD = 2,将厶 A

7、DC 沿AC折起，使平面ADC丄平面ABC,得到几何体DABC, 如图2所示.求证：BC丄平面ACD;(2)求几何体DABC的体积.审题视点(1)利用线面垂直的判定定理，证明 BC垂直于平面ACD内的两条相 交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明.(1)证明 在图中，可得 AC= BC = 2 2,从而 AC2 + BC2 = AB2, 故 AC丄BC,取AC的中点0,连接DO,贝U DO丄AC,又平面 ADC丄平面ABC，平面ADC G平面ABC = AC, DO?平面ADC，从而DO丄平面ABC,： DO丄BC,又 AC丄BC, ACA DO = O,： BC丄平面 ACD.解 由可知

8、，BC为三棱锥BACD的高，BC = 2 2, Sacd = 2,： Vbacd =114*2§Smcd BC = §X2X2 2 = ,由等体积性可知，几何体 DABC的体积为(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化 为平面上两点间的最短距离问题.【训练3】已知在直三棱柱ABCAiBiCi中，底面为直角三角形，/ ACB= 90° AC= 6, BC= CCi= Q2, P是BCi上一动点，如图所示，贝U C

9、P+ PAi的最小值为.解析 PAi在平面AiBCi内，PC在平面BCCi内，将其铺平后转化为平面上的问 题解决计算 AiB= ABi= 40，BCi = 2,又 AiCi = 6,故AiBCi 是ZAiCiB= 90的直角三角形铺平平面 AiBCi、平面BCCi，如图所示.n匚P - AMN的体积，便CP+ FAi> AiC.在ACiC中，由余弦定理得解:VAJMNP=VP JMNh = 1<-'AM'AN'A1P = 1<-y-a'-a'- a3 3 23 2 23424评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习

10、求点到 平面距离的一个理论依据.考向五分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法.例5如图2,在三棱柱ABC - AiBiCi中，E, F分别为AB, AC的 中点，平面EB-C-F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比.分析：截面EB-C- F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEA1B1C1 ;另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱 柱的体积减去棱台的体积求得.解：设棱柱的底面积为 S，高为h，其体积V = Sh .1则三角形AEF的面积为一S .4,1/SS ） 7由于 VAefabg = 一h'.

11、+S + = Sh，AEFBG 3 （42 ） 12则剩余不规则几何体的体积为v =V-Vaeubc =Sh-£sh 諾 Sh，所以两部分的体积之比为Vaef -bc : V、7 : 5 .评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算.H* KAOTlZHUAIMXdAMrLJPD 03为考题专项突破空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何

12、体纳入一个更大 的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的 技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键.【示例1】? (2010安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A. 280 B. 292 C. 360 D. 372想線该几何依的形状及构成该几何体是由两个长方体组合成的表面枳 S = ( 10 X 8 -F £1 X 2 -I- 10 K 2) X 2 +!(6X8 +2 X 8) X,2 = 360.选 C皋颠易摸压D；原面基範细善体鬲接籬乔药丽 "积也算进去了【示例2 ? (2011全国新课标)已知两个圆锥有公共底面

13、，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的磊，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .空间几何体的表面积与体积练习1. （人教A版教材习题改编）圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形, 那么这个圆柱的侧面积是（）.a . 4 nsb . 2 nsc . nsns解析设圆柱底面圆的半径为D.2.3 -3r，高为h,则r =又 h = 2 n = 2 . nS,.°.S 圆柱侧=（2n）2= 4 S.答案 A2. （2012东北三校联考）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一 个球面上，则该球的表面积为（）.2 2

14、2 2A. 3naB. 6naC. 12nD. 24 n解析 由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长方体的体对角线长为“ ：2a2+ a2 + a2= 6a.又长方体外接球的直径 2R等于长方体的体对角线，二2R =6a.S球=4 nR = 6 n2.答案 B3. （2011北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）.A. 8B. 62C. 10D. & 2解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6.2, 8,10，所以面积最大的是10,故选择C.答案 C4. （2011湖南）设3i上撓图髓槌图俯现图右图是某几何体的三视图，则该

15、几何体的体积为（）.99A. 2 n+ 12Bp n+ 18C. 9n+ 42D . 36 n+ 18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3,长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2X 32+4电卜|n+ 18. 答案 B5 若一个球的体积为4羽n则它的表面积为.解析 v=戌=4(3冗，=73, S= 4 nR=4 n 三12 n.答案 12 nAiC= ；6* i 2 3 4+ 2 2-2 - 2 os i3550= 5.2, 故 (CP+ PAi)min = 5 2.答案 5 .2考向四转换法等体积法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时,可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体