江南十校2016届高三联考数学(理)带解析

1、2016年安徽省“江南十校”高三联考数学试题（理科）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 来源 第I卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，则中的元素个数为(A) (B) (C) (D)（2）若复数满足，则

2、的实部为(A) (B) (C) (D)（3）“”是“函数为奇函数”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件（4）已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为(A) (B) (C) (D) （5）在平面直角坐标系中，满足的点的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系中，满足，的点的集合对应的空间几何体的体积为(A) (B) (C) (D) （6）在数列中，为的前项和.若，则数列 的前项和为(A) (B) 开始结束否是输出输入 (C) (D)（7）设是所在平面内一点，则(A) (B)(C) (D)（8）执行如图所示

3、的程序框图，如果输入的，则输出的(A) (B) (C) (D)（9）已知函数的最小正周期为，且对，有成立，则的一个对称中心坐标是(A) (B) (C) (D)（10）若满足约束条件则的取值范围为(A) (B) (C) (D) （11）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为侧视图正视图俯视图(A) (B) (C) (D) （12）已知函数存在极小值，且对于的所有可能取值，的极小值恒大于，则的最小值为 (A) (B) (C) (D) 第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题第24题为选考题，考生根据要求做

4、答.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）年月日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，岁以下的约人，岁至岁的约人，岁以上的约人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为的样本进行调查，已知从岁至岁的女性中抽取的人数为人，则 .（14）的展开式中，的系数为 .（15）椭圆的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于 两点，若，则椭圆的离心率为 .（16）已知为数列的前项和，若存在唯一的正整数使得不等式成立，则实数的取值范围为 .三.解答题：解答应写出

5、文字说明，证明过程和演算步骤.(17)(本小题满分12分)如图，平面四边形中，求（）；（）的面积.(18)(本小题满分12分)如图，多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形为等腰梯形，平面平面.（）证明：平面;（）若梯形的面积为，求二面角的余弦值.CBFEDA(19)(本小题满分12分)第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国

6、代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为，求的分布列及数学期望.中国俄罗斯12345(20)(本小题满分12分)已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.（）求线段的长；（）设不经过点和的动直线交

7、于点和，交于点，若直线、的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由. (21)(本小题满分12分)已知函数.（）当时，讨论的单调性；（）设函数，讨论的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有和的区间）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分) 选修4-1 :几何证明选讲如图，过外一点作的两条切线，其中为切点，为的一条直径，连并延长交的延长线于点.（）证明：；（）若,求的值.(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直

8、角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，圆的方程为（）求在平面直角坐标系中圆的标准方程；（）已知为圆上的任意一点，求面积的最大值.(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数，记的解集为.（）求；（）已知,比较与的大小. 10分2016 年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）试题参考答案与评分标准ì 1ü（1）B【解析】 A = í x - £ x £ 3ý ， A Ç B = 0,1, 2 ， A Ç B 中有 3 个元素，故选 Bî 2þ

9、数学答案（理科）第 15 页 共 10 页（2）A【解析】由 （z 1 - i）= 1 - i + i ，得 z =2 + i = ( 2 + i)(1 + i) =2 -1 +2 + 1 i ，z 的实部为2 -1 ，故选 A21 - i(1 - i)(1 + i)22（3）C【解析】 f ( x) 的定义域为x x ¹ 0 ，关于原点对称当 a=0 时， f ( x) = sin x - 1 ，xf (- x) = sin(- x) -1 (- x)= - sin x + 1 = -(sin x - 1 ) = - f ( x) ，故 f ( x) 为奇函数；xx1反之，当 f

10、( x) = sin x - + a 为奇函数时， f (- x) + f ( x) = 0x11又 f (- x) + f ( x) = sin(- x) - + a + sin x - + a = 2a ，故 a=0(- x)x所以“ a=0 ”是“函数 f ( x) = sin x - 1 + a 为奇函数”的充要条件，故选 Cx（4）C【解析】 F1 (-6, 0), F2 ( 6, 0) ，不妨设 l 的方程为 y =2x ，设 P( x0 , 2x0 )由2PF1 × PF2 = (-6 - x0 , -2 x0 ) × ( 6 - x0 , -2 x0 ) =

11、 3x0- 6 = 0得 x0 = ±2 ，故 P 到 x 轴的距离为2 x0= 2 ，故选 C（5）B【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体14p积为´ p´13 = ，故选 B836（6）C【解析】an + an+1 的前10 项和为 a1 + a2 + a2 + a3 + L a10 + a11 =2(a1 + a2 + L a10 ) + a11 - a1 = 2S10 + 10 ´ 2 = 120 ，故选 Cuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（7）D【解析】 BD = AD - AB =

12、 AC + CD - AB = AC -1 uuuruuuruuurAB - AB = AC -3 uuurAB ，故22选 D（8）B【解析】第一次运行后 s = 2, a = 3, n = 1；第二次运行后 s = 5, a = 5, n = 2 ；第三次 运 行 后 s = 10, a = 9, n = 3 ； 第 四 次 运 行 后 s = 19, a = 17, n = 4 ； 第 五 次 运 行 后s = 36, a = 33, n = 5 ；第六次运行后 s = 69, a = 65, n = 6 ；此时不满足 s < t ，输出 n = 6 ，故选 Bf恒( )（9）A【

13、解析】由 f ( x) = sin(wx + j) 的最小正周期为 4p，得w= 1 .因为 f ( x) £ p23p 1 p p p p成立，所以 f ( x)max =f ( ) ，即´ +j= + 2kp(k Î Z ) ，由 j <3232，得j= ，故23f ( x) = sin( 1 x +p 1) .令x + p = kp(k Î Z ) ，得 x = 2kp-2p(k Î Z ) ，故 f ( x) 的对称23233中心为 (2kp- 2p,0)(k Î Z ) ，当 k = 0 时， f ( x) 的对称中心

14、为 (- 2p,0) ，故选 A33（10）B【解析】作出可行域，设直线 l : y = x + z ，平移直线 l ，易知当 l 过 3x - y = 0 与x + y - 4 = 0 的交点 (1, 3) 时，z 取得最大值 2 ；当 l 与抛物线 y = 1 x2 相切时 z 取得最小值2ì z = y - x由 ï，消去 y 得：x2 - 2 x - 2 z = 0 ，由 D = 4 + 8z = 0 ，得 z = - 1 ，故 - 1 £ z £ 2 ，í y = 1 x222îï2故选 B（11）D【解析】由三视

15、图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为 2 ´ 4 ´ 2 = 16 ，两个底面面积之和为 2 ´ 1 ´ 2 ´23 = 23 ；半圆柱的侧面积为p´ 4 = 4p，两个底面面积之和为 2 ´ 1 ´p´12 = p，所以几何体的表面积为25p+ 16 + 23 ，故选 D2（12）A【解析】 f ¢( x) = a - x + b = - x+ bx + axx因为 f ( x) 存在极小值，所以方程 - x2 + bx + a = 0 有两个不等的正根

16、ì x1 +x2 = b > 0í 12故 ï x × x = -a > 0îïD = b2 + 4a > 0Þ b > 2 -ab - b2 + 4ab + b2 + 4a由 f ¢( x) = 0 得 x1 = ， x2 = ，分析易得 f ( x) 的极小值点为 x1 ，22b - b2 + 4a-2a因为 b > 2-a ，所以 x1 = = Î (0,-a )f ( x)=f ( x ) = a ln x2- 1 x 2 + bxb + b2 + 4a极小值112

17、11= a ln x- 1 x 2 + x 2 - a = a ln x+ 1 x 2 - a12 1112 1设 g ( x) = a ln x + 1 x2 - a(0 < x < -a ) ，则 f ( x) 的极小值恒大于 0 等价于 g ( x) 恒大于 022因为 g ¢( x) = a + x = a + x xx< 0 ，所以 g ( x) 在 (0,3-a ) 单调递减故 g ( x) > g (-a ) = a ln-a -a ³ 0 ，解得 a ³ -e3 ，故 amin2= -e3 ，故选 A（13） 200 【解析

18、】由题意可得3600= 60 ，故 N = 2002400+3600+6000N5（14） -40 【解析】 x2 y3 的系数为 C 3 ´ 22 ´ (-1)3 = -402 5PQa（15） 【解析】不妨设点 P 在第一象限，由对称性可得 OP = = ，因为 AP PQ5OP在 RtDPOA 中， cos ÐPOA =22= 1 ，故 ÐPOA = 60o ，易得 P( 1 a,3 a) ，代入椭圆OA2441方程得：+ 3a= 1 ，故 a2 = 5b2 = 5(a2 - c2 ) ，所以离心率 e = 2 521616b 25（16） -2

19、< t £ -1 或 1 £ t < 1 【解析】 n ³ 2 时， a= S - S= (n + 1)an - nan -1a整理得 n =an -12，又 a =1，故 a = nnnn-122nn -11nnn不等式 a 2 - ta- 2t 2 £ 0 可化为： n2 - tn - 2t 2 £ 0设 f (n) = n2 - tn - 2t 2 ，由于 f (0) = -2t 2 £ 0 ，由题意可得ìï f (1) = 1 - t - 2t 2 £ 01í ，解得 -2

20、< t £ -1 或£ t < 1ïî f (2) = 4 - 2t - 2t 2 > 02(17) 【解析】（）在 DBCD 中，由正弦定理得：BD =CDsin ÐCBD× sin ÐBCD =3 ´ 3 = 3 ，2 分122在 DABD 中，由余弦定理得：cos ÐADB =AD2 + BD2 - AB22 AD × BD(2 2 )2 + 32 - ( 5)22= =2 ´ 2 2 ´ 324 分所以 ÐADB = 45o 6 分（）因为

21、 ÐCBD = 30o ， ÐBCD = 120o ，所以 ÐCDB = 30o因为 sin ÐADC = sin(45o + 30o ) =16 + 248 分所以 S =AD × CD × sin ÐADC2= 1 ´ 2 2 ´ 3 ´6 + 2 = 3 + 312 分242（18）【解析】（）设 AC、BD 的交点为 O ，则 O 为 BD 的中点，连接 OF由 EF / BD, EF = 1 BD ，得 EF / OD, EF = OD2所以四边形 EFOD 为平行四边形，故 ED /

22、 OF又 ED Ë 平面 ACF , OF Ì 平面 ACF3 分所以 DE / 平面 ACFE6 分PFDOCMAB（）方法一：因为平面 EFBD 平面 ABCD ，交线为 BD ， AO BD所以 AO 平面 EFBD ，作 OM BF 于 M ，连 AMQ AO 平面 BDEF ， AO BF ，又 OM Ç AO=O BF 平面 AOM ， BF AM ,故 ÐAMO 为二面角 A - BF - D 的平面角.8 分 取 EF 中点 P ，连接 OP ，因为四边形 EFBD 为等腰梯形，故 OP BD11因为 S= ´ (EF + BD

23、) ´ OP = ´ ( 2 + 2 2 ) ´ OP = 3梯形EFBD22所以 OP =2 .由 PF = 1 OB =2，得 BF = OF =OP2 + PF 2 = 10222因为 SDFOB= 1 OB × OP = 122OM × BFOB × OP2 103 10所以 OM = = ，故 AM =OA2 + OM 2 = 10 分BF55OM2所以 cos ÐAMO = =AM3故二面角 A - BF - D 的余弦值为 2312 分方法二：取 EF 中点 P ，连接 OP ，因为四边形 EFBD 为等腰梯形

24、，故 OP BD ，又平面EFBD 平面 ABCD ，交线为 BD ，故 OP 平面 ABCD ，如图，以 O 为坐标原点，分别以 OA ， OB ， OP 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O - xyz .EzPFDCOxAy11因为 S= ´ (EF + BD) ´ OP = ´ ( 2 + 2 2 ) ´ OP = 3梯形EFBD22所以 OP =2 , A(2 ,0，0), B(0，2 ,0), C (-2 ,0，0), F (0， 2 , 2 )2uuur uuur 2因此 AB = (-2, 2，0), BF

25、 = (0, -，2 )28 分设平面 ABF 的法向量为 n = ( x, y, z)r uuurìïn × AB = 0ì- 2 x +ï2 y = 0由 í r uuur，得 í2，令 z = 1，则 n = (2, 2,1)ïîn × BF = 0ï- y +î22 z = 0因为 AO BD ，所以 AO 平面 EFBD ，故平面 BFD 的法向量为 OA = ( 2, 0, 0)10 分uuur rOA × n2 22于是 cos < OA, n

26、>= uuur r = =OA × n22 + 22 + 1 × 23由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角 A - BF - D 的余弦值为 2312 分(19) 【解析】（）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下中国俄罗斯6182283415437623 分通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的 平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。6 分（）解： X 的可能取值为 0,1, 2, 3 ，设事件 A、B、C 分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则P( X = 0) = P( A) &#

27、215; P(B) × P(C ) = (1 - 4 )2 ´ (1 - 3) = 255125P( X = 1) = P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC )= C1 ´ 4 ´ (1 - 4 ) ´ (1 - 3) + (1 - 4 )2 ´ 3 = 19255555125P( X = 2) = P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC ) = ( 4 )2 ´ (1 - 3) + C1 ´ 4 ´ (1 - 4 ) ´ 3 = 5655P( X = 3)

28、 = P( A) × P(B) × P(C ) = ( 4 )2 ´ 3 = 482555125故 X 的分布列为55125X0123P2125191255612548125EX = 0 ´ 2+ 1´ 19+ 2 ´ 56+ 3´ 48= 1110 分12 分1251251251255(20) 【解析】（）由抛物线 C : y 2 = 2 px 经过点 M (2, 2) ，得22 = 4 p ，故 p = 1， C 的方程为 y 2 = 2xC 在第一象限的图象对应的函数解析式为 y =2 x ，则 y¢ = 1

29、2x2 分故 C 在点 M 处的切线斜率为 1 ，切线的方程为 y - 2 = 1 ( x - 2)22令 y = 0 得 x = -2 ，所以点 N 的坐标为 (-2, 0)故线段 ON 的长为 25 分（） l2 恒过定点 (2, 0) ，理由如下：由题意可知 l1 的方程为 x = -2 ，因为 l2 与 l1 相交，故 m ¹ 0b + 2b + 2由 l2 : x = my + b ，令 x = -2 ，得 y = -m设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，故 E(-2, - )mì x = my + b由 íî y 2 =

30、 2 x消去 x 得： y 2 - 2my - 2b = 0则 y1 + y2 = 2m ， y1 × y2 = -2b7 分直线 MA 的斜率为 y1 - 2 =y1 - 2 =2，同理直线 MB 的斜率为2x1 - 2y 2 1 - 22y1 + 2y2 + 2直线 ME 的斜率为2 + b + 2m4因为直线 MA 、 ME 、 MB 的斜率依次成等差数列，所以2 + b + 22+ 2= 2 ´m= 1 + b + 2y1 + 2y2 + 242m即2( y1 + y2 + 4)= 1 +4 - y1 y2= 1 + b + 210 分2( y1 + y2 ) +

31、y1 y2 + 42( y1 + y2 ) + y1 y2 + 42m整理得：b + 2= b + 2 ，2m - b + 22m因为 l2 不经过点 N ，所以 b ¹ -2所以 2m - b + 2 = 2m ，即 b = 2故 l2 的方程为 x = my + 2 ，即 l2 恒过定点 (2, 0)12 分(21) 【解析】（）当 a=1时，f ¢( x)=ex + x - 1易知 f ¢( x) 在 R 上单调递增，且 f ¢(0) = 0 ，2 分因此，当 x < 0 时， f ¢( x) < 0 ；当 x > 0

32、时， f ¢( x) > 0故 f ( x) 在 (-¥, 0) 单调递减，在 (0, +¥) 单调递增5 分（）由条件可得 g ( x) = ex + 2ax - 2a ， g ¢( x) = ex + 2a（i）当 a = 0 时， g ( x) = ex > 0 ， g ( x) 无零点（ii）当 a > 0 时， g¢( x) > 0 ， g ( x) 在 R 上单调递增g (0) = 1 - 2a, g (1) = e > 0若1 - 2a < 0 ，即 a > 1 时， g (0) = 1

33、- 2a < 0 ， g ( x) 在 (0,1) 上有一个零点2若1 - 2a = 0 ，即 a = 1 时， g (0) = 0 ， g ( x) 有一个零点 02)若1 - 2a > 0 ，即 0 < a < 1 时， g ( 2a -12 a -1= e 2 aç-1 < 0 ， g ( x) 在 æ 2a -1÷, 0 ö 上有一个22aè 2aø零点8 分（iii）当 a < 0 时，令 g¢( x) > 0 ，得 x > ln(-2a) ；令 g¢( x

34、) < 0 ，得 x < ln(-2a)所以 g ( x) 在 ( -¥, ln(-2a) 单调递减，在 (ln(-2a), +¥ ) 单调递增，g ( x)min = g (ln(-2a) = 2a ln(-2a) - 2e2若 ln(-2a) - 2 < 0 ，即 - < a < 0 时， g ( x) > 0 ， g ( x) 无零点2e2若 ln(-2a) - 2 = 0 ，即 a = - 时， g (2) = 0 ， g ( x) 有一个零点 22e2若 ln(-2a) - 2 > 0 ，即 a < - 时，g (1

35、) = e > 0 ，g (ln(-2a) < 0 ，g ( x) 在 (1, ln(-2a)2有一个零点； 10 分 设 h( x) = ex - x2 ( x ³ 1) ，则 h¢( x) = ex - 2 x ，设 u( x) = ex - 2x ，则 u¢( x) = ex - 2 ， 当 x ³ 1时， u¢( x) = ex - 2 ³ e - 2 > 0 ，所以 u( x) = h¢( x) 在1, +¥) 单调递增，h¢( x) ³ h¢(1) = e

36、 - 2 > 0 ，所以 h( x) 在1, +¥) 单调递增，h( x) ³ h(1) = e -1 > 0 ，即 x > 1时， ex > x2 ，故 g ( x) > x2 + 2ax - 2a设 k ( x) = ln x - x( x ³ 1) ，则 k ¢( x) = 1 -1 = 1 - x £ 0 ，所以 k ( x) 在1, +¥) 单调递减，xxk ( x) £ k (1) = -1 < 0 ，即 x > 1 时， ln x < xe2因为 a < -

37、 时， -2a > e2 > 1 ，所以 ln(-2a) < -2a ，2又 g (-2a) > (-2a)2 + 2a(-2a) - 2a = -2a > 0 ，g ( x) 在 (ln(-2a), -2a ) 上有一个零点，故g ( x) 有两个零点e2综上，当 a < - 时，g ( x) 在 (1, ln(-2a) ) 和 (ln(-2a), -2a ) 上各有一个零点，共有两个零2e2e21点；当 a = - 时，g ( x) 有一个零点 2 ；当 - < a £ 0 时，g ( x) 无零点；当 0 < a < 时，222g ( x) 在 æ 2a -1 , 0 ö 上有一个零点；当 a = 1 时，g ( x) 有一个零点 0 ；当 a > 1 时，g ( x) 在ç 2a÷ 22è ø(0,1) 上有一个零点。12 分(22) 【解析】（）连接 AB 、OE ，因为 EA 、 EB 为圆 O 的切线，所以 OE 垂直平分 AB又 BC 为圆 O 的直径，所以 AB CD ，所以