2020版高考数学大一轮复习坐标系与参数方程1第1讲坐标系新题培优练文含解析新人教A版选修4 4

1、 - 1 - 第1讲 坐标系 基础题组练 1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?x12x，y13y后，曲线C：x2y236变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标 解：设圆x2y236上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)， 则?x2x，y3y，所以4x29y236，即x2 9y2 41. 所以曲线C在伸缩变换后得椭圆x2 9y2 41， 其焦点坐标为(±5，0) 2在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos? 31，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点 (1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标； (2)设

2、MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程 解：(1)由cos? 31，得?1 2cos 32sin 1， 从而曲线 C的直角坐标方程为12x 32y1， 即x3y2. 0时，2，所以M(2，0) 2时， 233，所以N ? ?233，2. (2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为? ?0，233. 所以点P的直角坐标为 ?1，33， 则点P 的极坐标为? ?233， 6， 所以直线OP的极坐标方程为6，(，) - 2 - 3(2019·高考全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P. (

3、1)当0 3时，求0及l的极坐标方程； (2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程 解：(1)因为M(0，0)在C上， 所以当0 3时，04sin 3 23. 由已知得|OP|OA|cos 32. 设Q(，)为l上除P的任意一点连接OQ，在RtOPQ中，cos? 3|OP|2. 经检验，点P?2， 3在曲线cos? 32上 所以，l的极坐标方程为cos? 32. (2)设P(，)，在RtOAP中， |OP|OA|cos 4cos ， 即4cos . 因为P在线段OM上，且APOM， 故的取值范围是? 4， 2. 所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ， ? 4， 2. 4(

4、2019·南昌市第一次模拟测试卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?x2cos t，y2sin t2(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线C的极坐标方程； (2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为1 6(1R)，22 3(2R)，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求OMN的面积 解：(1)由参数方程?x2cos t，y2sin t2得普通方程为x2(y2)24， 把?xcos ，ysin 代入x2(y2)24，得24sin 0. - 3 - 所以曲线C的极坐标方程为4sin . (2)由直线l1：1 6(1R)与曲线

5、C的交点为O，M，得|OM|4sin 62. 由直线l2：22 3(2R)与曲线C的交点为O，N，得|ON|4sin2 3 23. 易知MON 2，所以SOMN12|OM|×|ON|12×2× 23 23. 综合题组练 1(2019·沈阳质量检测(一)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为?xcos t，y1sin t(t为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2(y2)24.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，0<<. (1)求曲线C1，C2的极坐标方程； (2)设A，B分别为射线l

6、与曲线C1，C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值 解：(1)由曲线C1的参数方程?xcos t，y1sin t(t为参数)，消去参数t得x2(y1)21，即x2y22y0， 所以曲线C1的极坐标方程为2sin . 由曲线C2的直角坐标方程x2(y2)24，得x2y24y0， 所以曲线C2的极坐标方程为4sin . (2)联立?，2sin ，得A(2sin ，)，所以|OA|2sin ， 联立?，4sin ，得B(4sin ，)，所以|OB|4sin ， 所以|AB|OB|OA|2sin ， 因为0<<，所以当 2时，|AB|有最大值，最大值为2. 2(2019·湖北八

7、校联考)已知曲线C的极坐标方程为29cos29sin2 ，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 (1)求曲线C的直角坐标方程； (2)A，B为曲线C上两点，若OAOB，求1|OA| 21|OB| 2的值 解：(1)由29cos29sin2 得2cos292sin29， 将xcos ，ysin 代入得到曲线C的直角坐标方程是x2 9y21. - 4 - (2)因为29cos29sin2 ，所以1 2cos2 9sin2， 由OAOB，设A(1，)，则点B的坐标可设为?2，± 2， 所以1|OA| 21|OB| 212 112 2cos2 9sin2sin

8、2 9cos219110 9. 3(综合型)(2019·河南名校联盟4月联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2(y1)21.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 (3cos sin )5. (1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； (2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标 解：(1)x2(y1)21即x2y22y0， 因为x2y2，sin y， 所以圆C的极坐标方程为22sin ，即2sin . (3cos sin )5 即3cos sin 5，因为cos x，sin y， 所以直线l的直角坐标方程为y

9、 3x5. (2)曲线C：x2(y1)21是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆 设圆上点A(x0，y0)到直线l：y 3x5的距离最短，所以圆C在点A处的切线与直线l：y 3x5平行 即直线CA与l的斜率的乘积等于1，即y01x 0×( 3)1. 因为点A在圆上，所以x20(y01)21， 联立可解得x0 32，y 012或x0 32，y032. 所以点A的坐标为? 32，12或 ? ?32，3 2. 又由于圆上点A到直线l：y3x5的距离最小， 所以点A 的坐标为? ?32，32， 点A的极径为 ? ?32 2?3 223，极角满足tan 3且 为第一象限角，则可取3. 所以点A的

10、极坐标为?3，3. - 5 - 4(2018·高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30. (1)求C2的直角坐标方程； (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程 解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24. (2)由(1)知C2是圆心为A(1，0)，半径为2的圆 由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2 ，所以|k2|k212，故k43或