坐标系与参数方程知识点

1、坐标系与参数方程知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点xx(0),在变换 :y(的作用y0)下 , 点 P(x,y)对应到点 P ( x , y ) , 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换.2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点O , 叫做极点 , 自极点 O 引一条射线 Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位 , 一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向 ), 这样就建立了一个极坐标系 .注 : 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为

2、几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2) 极坐标设 M是平面内一点 , 极点 O 与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴 Ox 为始边, 射线 OM 为终边的角xOM 叫做点 M的极角 , 记为. 有序数对 (,) 叫做点 M的极坐标,记作 M(,).一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数.特别地 , 当点 M 在极点时 , 它的极坐标为(0,)( R). 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极

3、坐标(,) 表示 ;同时 , 极坐标 (, ) 表示的点也是唯一确定的.3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位 , 如图所示 :(2) 互 化 公 式 : 设 M 是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 , 它 的 直 角 坐 标 是 (x, y) , 极 坐 标 是(,) (0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点 M直角坐标 ( x, y)极坐标 (, )xcos2x2y2互化公式y ( x 0)ysintanx在一般情况下 , 由 tan确定角时 , 可根据点 M 所在的象限最小正

4、角 .4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径r (02 )为 r 的圆圆心为 (r ,0) , 半径2r cos ()为 r 的圆22圆 心 为 (r ,) , 半22r sin(0)径为 r 的圆过极点 , 倾斜角为(1)(R)或(R)的直线(2)(0)和(0)过点 (a,0) , 与极轴cosa()垂直的直线22过 点 (a,) , 与 极2sina(0)轴平行的直线注 :由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,), 都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一性明显不同 . 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个

5、能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点M( ,)可以表示为44(,2 )或(,42 )或(-,5 )等多种形式 ,其中,只有 (,) 的极坐标满足方4444444程.二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中 ,如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数 t 的函数xf (t )M ( x, y) 都在这条曲线上 ,y , 并且对于 t 的每一个允许值 , 由方程组所确定的点g(t )那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数 x, y 的变数 t叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2. 参数方程和普通方

6、程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 .(2) 如果知道变数 x, y 中的一个与参数t 的关系 , 例如 xf (t) , 把它代入普通方程 , 求出另一个变数与参数的关系y g(t) , 那么xf (t )y就是曲线的参数方程 , 在参数方程与g(t )普通方程的互化中, 必须使 x, y 的取值范围保持一致.注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同， 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆O 的半径为 r ，点

7、M 从初始位置 M 0 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设 M ( x, y) ，则xr cos为参数)。y(r sin这就是圆心在原点O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中的几何意义是 OM 0 转过的角度。圆心为 (a, b) ，半径为 r 的圆的普通方程是( x a)2( yb) 2r 2 ，xar cos它的参数方程为：ybr sin( 为参数)。4椭圆的参数方程以坐标原点 O 为中心， 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为x2y21(a b0), 其参a2b2数方程为xa cos(为参数 ) ，其中参数称为离心角； 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方yb sin程是 y2x2x

8、b cos1(ab( 为参数 ), 其中参数0), 其参数方程为a sin仍为离心a2b2y角，通常规定参数的范围为0，2 ）。注： 椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0 到 2的范围内） ，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0时，相应地也有20，在其他象限内类似。25双曲线的参数方程以坐标原点 O为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为x2y21(a 0, b 0),a2b2xa sec为参数 ) ，其中0, 2 )且,3 .其参数方程为y(b tan22焦 点 在 y 轴 上

9、的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 y2x21(a0, b0),其参数方程为a2b2xb cot(为参数，其中(0,2且.ya csc)e以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以 坐 标 原 点 为 顶 点 ， 开 口 向 右 的 抛 物 线 y22px( p0)的参数方程为x2 pt 2y(t为参数 ).2 pt7直线的参数方程经过点 M 0 ( x0, y0 ) ，倾斜角为() 的直线 l的普通方程是 yy0tan ( x x0 ),2而过 M 0 ( x0 , y0 ) ，倾斜角为的直线 l 的参数方程为xx0t cos(t为参数 ) 。yy0t sin注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ，倾斜角为的直线 l 的参数xx0tcost 表示直线lM 0 为起点，任一点方程为y0(t为参数 ) ，其中上以定点ytsinM (x, y) 为终点