2019秋高中数学第三章空间向量与立体几何313空间向量的数量积运算练习含解析新人教A版选修2 1

1、 - 1 - 3.1.3 空间向量的数量积运算 A级 基础巩固 一、选择题 1对于a，b，c向量和实数，下列命题中的真命题是( ) A若a·b0，则a0或b0 B若a0，则0或a0 C若a2b2，则ab或ab D若a·ba·c，则bc 答案：B 2已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a3b|( ) A13 B.13 C2 D.5 解析：|a3b| （a3b）2 a26a·b9b2 16×cos 60°9 13. 答案：B 3若a与a2b的数量积为6，且|a|2，|b|1，则向量a与b之间的夹角为( ) A. 6

2、 B. 3 C.23 D.5 6 答案：B 4A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC0，AC·AD0，AB·AD0，M为BC中点，则AMD是( ) A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 答案：C 5已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|2，|b|3，|c|4，则a与b的夹角为( ) A30° B45° C60° D以上都不对 答案：D 二、填空题 6已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则a·bb·cc·a的值为_ 解析：因为abc0，所以(abc

3、)20， - 2 - 所以a2b2c22(a·bb·cc·a)0， 所以a·bb·cc·a321242 213. 答案：13 7已知|a| 32，|b|4，mab，nab，a，b135°，mn，则_ 解析：由mn，得(ab)·(ab)0， 所以a2(1)a·bb20， 所以18( 1)·32×4cos 135°160， 即460，所以32. 答案：32 8已知向量a与b的夹角为135°，且|a|b|4，则a·(2ab)_ 解析：a·(2ab)2a

4、2a·b2×424×4·cos 135°32 82 答案：32 82 三、解答题 9如图所示，在平行四边形ABCD中，AD4，CD3，BAD120°，PA平面ABCD，PA6.求PC的长 解：因为PCPAADDC， 所以|PC|2PC·PC(PAADDC)2 |PA|2|AD|2|DC|22PA·AD2PA·DC2AD·DC 6242322·|AD|·|DC|·cos 120°49. 所以|PC|7，故PC的长为7. 10如图所示，正三棱柱ABC-A1B1

5、C1 中，底面边长为2. (1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为 3，求侧棱的长 - 3 - (1)证明：AB1ABBB1，BC1BB1BC. 因为BB1平面ABC， 所以BB1·AB0，BB1·BC0. 又ABC为正三角形， 所以AB，BCBA，BC 32 3. 因为AB1·BC1(ABBB1)·(BB1BC)AB·BB1AB·BCBB12BB1·BC|AB|·|BC|·cosAB·BCBB12110， 所以AB1BC1. (2)解：结合(1)知AB1

6、3;BC1|AB|·|BC|·cosAB，BCBB12 BB121. 又|AB1| （ABBB1）2 2BB12|BC1|， 所以cosAB1，BC1BB1212BB1 212. 所以|BB1|2，即侧棱长为2. B级 能力提升 1已知空间向量a，b，c，两两夹角为60°，其模都为1，则|ab2c|( ) A.5 B5 C6 D.6 解析：因为|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°， 所以a·bb·ca·c12，a2b2c21. 所以|ab2c| （ab2c）2 - 4 - a2b24c22a·b4a·

7、;c4c·b 1 142×12 4×124×12 61225. 答案：A 2已知|a|2，|b|1，a，b60°，则使向量ab与a2b的夹角为钝角的实数的取值范围是_ 解析：由题意知?（ab）·（a2b）<0，cosab，a2b1， 即?（ab）·（a2b）<0，（ab）·（a2b）|a b|·|a2 b|，? 2 22<0.所以1 3<<13. 答案：(13，13) 3.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E，F分别是 DD，BD的中点，G在棱CD上，且CG14CD，H

8、为CG的中点 (1)求EF，CG所成角的余弦值； (2)求FH的长 解：设ABa，ADb，AAc， 则a·bb·cc·a0，|a|2a21，|b|2b21， |c| 2c21. (1)因为EFEDDF12c12(ab)12(abc)， CGCCCGc14a， 所以EF·CG12(abc)·?c14a12(14a2c2)38， |EF|214(abc)214(a2b2c2)34， - 5 - |CG|2?c14a2c21 16a217 16， 所以|EF| 32，|CG| 174， cosEF，CGEF·CG|EF|C G| 5117， 所以EF，CG