同课异构：方程的根与函数的零点(公开课)(1).PPT

1、.1.2ax2+bx+c=0 (a0) y= ax2+bx+c (a0) 这叫方程，是一元二次方程这叫函数，是二次函数一元二次方程一元二次方程) 0( 02acbxax的的根根与二次函数与二次函数)0(2acbxaxy的的图像图像有什么关系？有什么关系？思考：思考：请大家来看看下面几个例子.4 函数的图象函数的图象与与x x轴交点轴交点方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3 y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy0132112123

2、4.xy0132112543.yx012112y= x22x+3观察：函数图象与观察：函数图象与x轴的交点和相应方程的根有什么关系？轴的交点和相应方程的根有什么关系？判别式判别式 0 0 0)的根与二次函数的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a0)的图象有如下关系：的图象有如下关系：xyx1x20 xy0 x1xy0函数的图象与函数的图象与 x 轴的交点轴的交点(x1,0) , (x2,0)没有交点没有交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根两个不相等的两个不相等的实数根实数根x1 、x2 0 ,2ab(x1,0)即即在这里，方程的在这里，方程的实数根实数

3、根就是相应函数图象与就是相应函数图象与x轴轴交交点的横坐标点的横坐标,也是相应函数的也是相应函数的零点零点，.6 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的的实数实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的零点的零点. .注意：注意：零点指的是一个实数零点指的是一个实数零点是一个零点是一个点吗点吗? ?的零点函数)(xfy 的实数根方程0)(xf轴交点的横坐标图象与函数xxfy)(.7对零点的理解：对零点的理解：数数的角度：的角度：形形的角度：的角度：即是使即是使f(x)=0的实数的实数x的值的值即是函数即是函数f(x)的图象与的图象与x轴轴

4、的交点的横坐标的交点的横坐标求函数零点的方法：求函数零点的方法：(1) 图象法：图象法：(2) 图象法：图象法：解方程解方程f(x)=0, 得到得到y=f(x)的零点的零点画出函数画出函数y=f(x)的图象的图象, 其图象其图象与与x轴交点的横坐标是函数轴交点的横坐标是函数y=f(x)的零点的零点求下列函数的零点求下列函数的零点: 1log)(442)(334)(21)(122 xxfxfxxxfxxfx1)1( x答案：答案：31)2( xx，2)3( x2)4( x求函数求函数y=f(x)的零点实际上也是求方程的零点实际上也是求方程f(x)=0的根。的根。 有很多方程用我们常规的公式法是很

5、难求根的，但有很多方程用我们常规的公式法是很难求根的，但用函数零点的几何意义，来探讨方程的根是否一种有用函数零点的几何意义，来探讨方程的根是否一种有效的方法呢？首先，我们来观察一个例子效的方法呢？首先，我们来观察一个例子1. f(-2)= ，f(1) = f(-2) f(1) 0 (填填“”或或“”或或“”)发现在区间发现在区间(2，4)上有零点上有零点 观察二次函数观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象图象 5-4-1 3-352xy013211212344 以上大家有什么发现呢？以上大家有什么发现呢？1.1.在在(a,b)上连续不断，上连续不断， 且且 f(a)f(b) _ 0（填或）（

6、填或） 在区间在区间(a,b)(a,b)上上_(_(有有/ /无无) )零点；零点； 2.2.在在(b,c) 上连续不断，上连续不断，且且f(b) f(c)_ 0（填或）（填或）在区间在区间(b,c)(b,c)上上_( (有有/ /无无) )零点；零点； 思考：思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况函数在区间端点上的函数值的符号情况，与与函数零点是否存在某种关系函数零点是否存在某种关系？ 猜想：猜想：若函数在区间若函数在区间a,ba,b上图象是连续的，如果有上图象是连续的，如果有 成立，成立，那么函数那么函数在在区间区间(a,b)(a,b)上有零点。上有零点。观察函数观察函数f(x)f(x)

7、的图像的图像0yx有有有有f(a)f(b) 0二、函数零点存在性定理：二、函数零点存在性定理： 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的上的图象是连续不断的一条曲线图象是连续不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零点。内有零点。 即存在即存在 c(a,b) ，使得，使得 f(c) =0， 这个这个c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的根。的根。（1 1） f(a)f(b)0f(a)f(b)0则函数则函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点。内有零点。（2 2） 函数函数y=f(x)

8、y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内零点内零点，则，则f(a)f(b)0f(a)f(b)0。函数零点存在定理的三个注意点：函数零点存在定理的三个注意点： 1 1 函数曲线是连续的。函数曲线是连续的。 2 2 定理不可逆。定理不可逆。 3 3 至少存在一个零点。至少存在一个零点。定理理解：判断正误定理理解：判断正误2-2-4-6-8-15-10-5x1g x 2-2abab000yxxyyx错错错错错错（3） f(a)f(b)0，则，则函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内只有一个零点内只有一个零点如果如果“曲线是不连续的曲线是不连续的”，定理成立吗？，定理成立吗？.13如f(x

9、)= 图象如下：x1642-2-4-6-55-11有有f(-1)xf(1)0但没有零点，为什么？但没有零点，为什么？答：因为在（答：因为在（-1，1）上，）上，曲线是不连续的，所以不曲线是不连续的，所以不要要“连续不断连续不断”这个条件这个条件，定理是不成立的，定理是不成立的例例1：求求函数函数 的的零点零点个数个数？62ln)( xxxf由表格可知由表格可知f(2)0，即，即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内有零点内有零点由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是内是增函数，所以它仅有一个零点增函数，所以它仅有一个零点x0246105y24108

10、6121487643219 例例1:求函数求函数 的零点个数的零点个数.62ln)( xxxf解法解法2：的的根根个个数数的的零零点点个个数数等等于于方方程程函函数数062ln)( xxxfy的的交交点点个个数数，如如图图与与数数该该方方程程的的解解个个数数等等于于函函62ln xyxy有有一一个个零零点点故故函函数数62ln)( xxxf62ln xx则则21-1-21240yx30 x归纳：求函数归纳：求函数零点零点或零点个数的或零点个数的方法方法(1)定义法定义法：解方程：解方程 f(x)=0，得出函数的零点。得出函数的零点。(2)图象法图象法：画出：画出y= f(x)的图象，其图象的图象，其图象与与x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。(3)定理法定理法：函数零点存在性定理。：函数零点存在性定理。.17 课课堂堂练习练习:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上在下列哪个区间上有零点有零点( ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) B .18课堂练习：课堂练习：.191.1.知识方面：知识方面： 零点的概念，零点与方程的根、函数图零点的概念，零点与方程的根、函数图像与像与x x轴的交点关系，零点存在性定理；轴的交点关系，零点存在性定理；2.2.数学思想方面：数学思想方面： 函数