拉格朗日方程

1、17.2拉 格 朗 日 方 程 一、拉格朗日方程一、拉格朗日方程 设有设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有具有k个自由度，其位置可由个自由度，其位置可由k个广义坐标个广义坐标 来确定。则有来确定。则有kqqq,21 jjjQqTqTdtd)(), 2 , 1(kj 式中式中2121iinivmT为质点系的动能；为质点系的动能；jq 是广义坐标对是广义坐标对时间的变化率，称为时间的变化率，称为广义速度广义速度； 是对应广义坐标是对应广义坐标jQ 的广义力。的广义力。jq这就是这就是拉格朗日方程拉格朗日方程，简称简称拉氏方程拉氏方程。它是由它是由k

2、个二个二阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，就可以得出以就可以得出以广义坐标表示的质点的运动方程。广义坐标表示的质点的运动方程。17.2拉 格 朗 日 方 程 二、保守系统的拉格朗日方程二、保守系统的拉格朗日方程 在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程0)(jjqLqLdtd), 2 , 1(kj 式中式中 为质点系动能和势能之差，称为为质点系动能和势能之差，称为拉格拉格朗日函数。朗日函数。VTL这就是这就是保守系统的拉格朗日

3、方程保守系统的拉格朗日方程。 三、应用拉格朗日方程解题的步骤三、应用拉格朗日方程解题的步骤 1、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系统的自由度数目，选取合适的广义坐标。统的自由度数目，选取合适的广义坐标。 2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）17.2拉 格 朗 日 方 程 3、计算对应每个广义坐标的广义力、计算对应每个广义坐标的广义力 ；当主；当主动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能动力为有势力时，需要写出用

4、广义坐标表示的势能及拉格朗日函数及拉格朗日函数 。jQVTL 4、计算诸导数：、计算诸导数：jqTjqT)(jqTdtd或或jqLjqL)(jqLdtd 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到、写出拉格朗日方程并加以整理，得到k个二个二阶常微分方程。由阶常微分方程。由2 k个初始条件，解得运动方程。个初始条件，解得运动方程。17.2拉 格 朗 日 方 程 例4 在水平面内运动的行星齿轮机构如图。已知动齿轮半径为r，重为P，可视为均质圆盘；曲柄OA重Q，可视为均质杆；定齿轮半径为R。今在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M，使机构运动。求曲柄的运动方程。OMrRA 解：以整个系统为研究对象，系统具有一

5、个自由度，取曲柄转角 为广义坐标。 由运动学关系知，动齿轮的角速度 与曲柄的角速度 的关系为rRr 则系统的动能为17.2拉 格 朗 日 方 程OMrRA22222222)(92(121)21(21)(21)(3121RrPQgrgPRrgPRrgQT 给曲柄以虚位移 ，则对应的广义力为MMWQ求诸导数2)(92(61RrPQgT 2)(92(61)(RrPQgTdtd0T17.2拉 格 朗 日 方 程QTTdtd)(由，得MRrPQg 2)(92(61即2)(92(6RrPQMg 积分得曲柄的运动方程为0022)(92(3ttRrPQMg式中， 、 分别为初始转角和初始角速度。0017.2拉

6、 格 朗 日 方 程RRABCk 例5 如图轮A的质量为 ，在水平面上只滚动不滑动，定滑轮B的质量为 ，两轮均为均质圆盘，半径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性戏数为 ，试求系统的运动微分方程。1m2m3mk 解：以系统为研究对象，系统具有一个自由度。取 x 为广义坐标，x 从重物的平衡位置量起。系统的动能为x232123222221)843(16121)(21(21)2)(23(21xmmmxmRxRmRxRmT 设系统平衡时弹簧的静伸长为 ，则有关系式stRgmRkst23即gmkst3217.2拉 格 朗 日 方 程RRABCkx 以系统平衡位置为弹力及重物C的零势能位置，则系统的势能

7、为223)2(2ststxkgxmV利用前面的关系，整理得281kxV 则拉格朗日函数为2232181)843(161kxxmmmVTL代入保守系统的拉格朗日方程 得0)(xLxLdtd02)843(321kxxmmm 即为系统的运动微分方程。17.2拉 格 朗 日 方 程 例6 如图，均质圆轮的质量为 ，半径为R，在水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为 与轮在圆心A铰接，试求系统的运动微分方程。1m2mACR 解：以系统为研究对象，系统具有两个自由度。取 x 和 为广义坐标。x 系统的动能为x x 2L2222222221)121(21cos22421)(23(21LmxLLxmRxRmT整理

8、后得222222221241)cos41(2143LmxLLxmxmT17.2拉 格 朗 日 方 程 系统的广义力为0 xQACRxgm22Lsin2)90cos(222)(LgmgmWQL0)cos(2123221 dtdLmxmxm代入拉格朗日方程xQxTxTdtd得整理得0sincos)23(22221 LmLmxmm（1）代入拉格朗日方程QTTdtd得sin2sin21121)cos(21412222222LgmxLmLmxdtdLmLm 17.2拉 格 朗 日 方 程整理后得0sin3cos32gxL （2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。kOAR 例7 如图轮为均质圆盘，质量

9、为 ，半径为R，轮心O及重物A只能沿铅直方向运动，重物A的质量为 ，弹簧刚性系数为 ，原长为 。试求系统的运动微分方程。1m2mk0L 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。取 x 和 为广义坐标。x 系统的动能为2222121)(21)21(2121RxmRmxmT 系统的广义力为)()()()(021021)(LxkgmmxxLxkxgmmxWQxx17.2拉 格 朗 日 方 程gRmgRmWQ22)(代入拉格朗日方程xQxTxTdtd得)()()(02121LxkgmmRxdtdmxm 整理得)()()(021221LxkgmmRmxmm （1）代入拉格朗日方程QTTdtd得gRmxR

10、mRmm2222122)2( （2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。17.2拉 格 朗 日 方 程RAkB 例8 如图，物体A的质量为 ，B轮质量为 ，半径为R，在水平面上只滚动不滑动，物体A与水平面无摩擦，弹簧刚性系数为 ，试求系统的运动微分方程。1m2mk 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标。1x2x1x2x 系统的动能系统的动能为22221122222222114321)(21(212121xmxmRxRmxmxmT 系统的广义力系统的广义力为)()(012110121)1(1lxxkxxlxxkxWQx)()(012220122)2(2lxxkxxlxx

11、kxWQx17.2拉 格 朗 日 方 程代入拉格朗日方程拉格朗日方程111)(xQxTxTdtd得0)(01211lxxkxm （1）代入拉格朗日方程拉格朗日方程222)(xQxTxTdtd得0)(2301222lxxkxm （2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。17.2拉 格 朗 日 方 程 例9 实心均质圆柱A和质量分布与边缘的空心圆柱B，质量分别为 、 ，半径均为R，两者用通过定滑轮的绳索相连，如图。设圆柱A沿水平面作纯滚动，滚动摩擦不计，圆柱B铅直下降。试求两圆柱的角加速度和质心的加速度。AmBmAB 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标。ByAxAxBy

12、 系统的动能系统的动能为BABBBABAABBBBAAAAyxmymxmmRxyRmymRxRmxmT22222222)23(41)(2121)(21(2121gmAgmB 系统所受主动力只有重力，且皆为有势力。取过圆柱的水平面为零势面，则系统的势能为17.2拉 格 朗 日 方 程BBgymV故拉格朗日函数拉格朗日函数为BBBABBBABAgymyxmymxmmVTL22)23(41求诸导数0AxLBBABAAymxmmxL)23(21BBABAAymxmmxLdtd )23(21)(gmyLBBABBBBxmymyL2ABBBBxmymyLdtd 2)(代入拉格朗日方程拉格朗日方程0)(AA

13、xLxLdtd得0)23(21BBABAymxmm （1）17.2拉 格 朗 日 方 程代入拉格朗日方程拉格朗日方程0)(BByLyLdtd得02gmxmymBABBB （2）联立求解方程（1）、（2）得gmmmxaBABAA3 gmmmmyaBABABB)3(223 于是角加速度为gRmmmRaBABAA)3(gRmmmmRaaBABAABB)3(22317.2拉 格 朗 日 方 程 例10 质量为 的金属板放置在光滑水平面上，板上有半径为 r 、 质量为 的均质圆柱，圆柱在板上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力 拉动金属板，试求圆柱纯滚的角加速度和金属板的加速度。1m2mFFCA 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标。AxAxxgm1gm2 系统的动能系统的动能为2222221222222143)(21)21(21)(2121rmxrmxmmrmrxmxmTAAAA系统的广义力系统的广义力为FxxFxWQ