二阶常微分方程解

1、第七节 二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。§7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为 pqy0 (7.1) 其中p、q是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的

2、特点是，y各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，其，y之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数erx，符合上述要求，于是我们令 yerx(其中r为待定常数)来试解将yerx，rerx，r2erx代入方程(7.1)得 r2erxprerxqerx0或 erx（r2prq）0因为erx0，故得 r2prq0由此可见，若r是二次方程 r2prq0 (7.2)的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一个以r为未

3、知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r，r2，此时erx，er2x是方程(7.1)的两个特解。因为 e常数所以er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)的通解为yC1er1xC2er2x(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根r1r2，此时p24q0，即有r1r2，这样只能得到方程(7.1)的一个特解yerx，因此，我们还要设法找出另一个满足常数，的特解y2，故应是x的某个函数，设u，其中uu(x)为待定函数，即 y2uy1uer

4、x对y2求一阶，二阶导数得 er1xruer1x(r1u)er1x (r2u2r1)er1x将它们代入方程(7.1)得 (r21ur1)er1xp(r1u)er1xquer1x0或 (2r1p) (rpr1q)uer1x0因为er1x0，且因r1是特征方程的根，故有rprq0，又因r1故有2r1p0，于是上式成为 0显然满足0的函数很多，我们取其中最简单的一个 u(x)x则y2xerx是方程(7.1)的另一个特解，且y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是 yC1er1xC2xer1x(C1C2x)er1x (3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r1i，r2i此时方程(7

5、.1)有两个特解 y1e(i)x y2e（i）x则通解为 yC1e（i）xC2e（i）x其中C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式 eixcosxisinx，eixcosxisinx有 (eixeix)cosx (eixeix)sinx (y1y)ex(eixeix)excosx (y1y2)ex(eixeix)exsinx由上节定理一知， (y1y2)， (y1y2)是方程(7.1)的两个特解，也即excosx，exsinx是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的通解为 yC1ex

6、cosxC2exsinx或 yex(C1cosxC2sinx)其中C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中，分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下特征方程r2prq0的根微分方程pqy0的通解有二个不相等的实根r1，r2yC1er1xC2er2x有二重根r1r2y(C1C2x)er1x有一对共轭复根yex(C1cosxC2sinx)例1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解 (1) 3y0(2) 44y0(3) 47y0解 (1)特征方程r23

7、r100有两个不相等的实根 r15，r22所求方程的通解 yC1e5rC2e2x(2)特征方程r24r40，有两重根 r1r22所求方程的通解y(C1C2x)e2x(3)特征方程r24r70有一对共轭复根 r12i r22i所求方程的通解 ye2x(C1cosxC2sinx)§7.2 二阶常系数线性非齐次方程的解法由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程 pqyf(x) (7.3)的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)的一个特解

8、。方程(7.3)的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。一、f(x)pn(x)ex，其中pn(x)是n次多项式，我们先讨论当0时，即当f(x)pn（x）时方程 pqypn(x) (7.4)的一个特解。(1)如果q0，我们总可以求得一n次多项式满足此方程，事实上，可设特解Qn(x)a0xna1xn1an，其中a0，a1，an是待定常数，将及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是n次多项式，比较两边x的同次幂系数，就可确定常数a0，a1，an。例1. 求2yx23的一个特解。解 自由项f(x)x23是一个二次多项式，又q20，则可设方程的特解为 a0x

9、2a1xa2求导数 2a0xa1 2a0代入方程有2a0x2(2a02a1)x（2a0a12a）x23比较同次幂系数 解得 所以特解x2x(2)如果q0，而p0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时Qn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n1)次多项式所满足，此时我们可设 xQn(x)a0xn1a1xnanx代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数a0，a1，an。例2. 求方程43x22的一个特解。解 自由项 f(x)3x22是一个二次多项式，又q0，p0，故设特解 a0x3a1x2a2x求导数 3a0x22a1xa2 6a0x2a1代入方程得12a0x2（8a16a0）x（a1

10、4a2）3x22，比较两边同次幂的系数 解得 所求方程的特解 x3x2x(3)如果p0，q0，则方程变为pn(x)，此时特解是一个(n2)次多项式，可设x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。下面讨论当0时，即当f(x)pn(x)ex时方程 pqypn(x)ex (7.5)的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子ex，如果能通过变量代换将因子ex去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设yuex，其中uu(x)是待定函数，对yuex，求导得exuex求二阶导数 ex2ex2uex代入方程(7.5)得 ex22

11、upexuquexpn(x)ex消去ex得 (2p) (2pq)upn（x） (7.6)由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结论有：(1)如果2pq0，即不是特征方程r2prq0的根，则可设(7.6)的特解un(x)，从而可设(7.5)的特解为 Qn(x)ex (2)如果2pq0，而p0，即是特征方程r2prq0的单根，则可设(7.6)的特解uxQn(x)，从而可设(7.5)的特解为 xQn(x)ex (3)如果r2pq0，且p0，此时是特征方程r2prq0的重根，则可设(7.6)的特解ux2Qn(x)，从而可设(7.5)的特解为 x2Qn(x)ex 例3. 求下列方程具有

12、什么样形式的特解 (1)56ye3x(2) 56y3xe2x(3) y(3x21)ex解 (1)因3不是特征方程r25r60的根，故方程具有形如a0e3x的特解。 (2)因2是特征方程r25r60的单根，故方程具有形如 x(a0xa1)e2x的特解。 (3)因1是特征方程r22r10的二重根，所以方程具有形如 x2(a0x2a1xa)ex的特解。例4. 求方程y(x2)e3x的通解。解 特征方程 r10 特征根 r±i得，对应的齐次方程y0的通解为 YC1cosxCsinx由于3不是特征方程的根，又pn(x)x2为一次多项式，令原方程的特解为 (a0xa1)e3x此时ua0xa1，3

13、，p0，q1，求u关于x的导数a0，0，代入(p) (2pq)u(x2)得： 10a0x10a16a0x2比较两边x的同次幂的系数有 解得 a0，a1于是，得到原方程的一个特解为 (x)e3x所以原方程的通解是 yYC1cosxC2sinx（x）e3x例5. 求方程23y(x1)ex的通解。解 特征方程 r22r30特征根 r11，r23所以原方程对应的齐次方程23y0的通解YC1exC2e3x,由于1是特征方程的单根，又pn(x)x21为二次多项式，令原方程的特解 x(a0x2a1xa2)ex此时 ua0x3a1x2a2x，1，p2，q3对u关于x求导 3a0x22a1xa2 6a0x2a1

14、代入(2p) (2prq)ux21，得12a0x2(6a08a)x2a14ax21比较x的同次幂的系数有 解得 故所求的非齐次方程的一个特解为 ()ex 二、f(x)pn(x)excosx或pn（x）exsinx，即求形如 pqypn(x)excosx (7.7) pqypn(x)exsinx (7.8)这两种方程的特解。由欧拉公式知道，pn（x）excosx，pn(x)exsinx分别是函数pn(x)e（i）x的实部和虚部。我们先考虑方程 pqypn（x）e（i）x (7.9)方程(7.9)与方程(7.5)类型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面讨论。 由上节定理五知道，方程(7.9)

15、的特解的实部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虚部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程(7.7)或(7.8)的一个特解。注意到方程(7.9)的指数函数e（i）x中的i(0)是复数，而特征方程是实系数的二次方程，所以i最多只能是它的单根。因此方程(7.9)的特解形为Qn(x)e（i）x或xn(x)e（i）x。例6. 求方程yexcos2x的通解。解 特征方程 r210 特征根 r11，r21于是原方程对应的齐次方程的通解为 YC1exC2ex为求原方程的一个特解。先求方程ye（2i）x的一个特解，由于12i不是特征方程的根

16、，且pn(x)为零次多项式，故可设ua0，此时(12i)，p0，q1代入方程(2p) (2pq)u1得（2i）21a01 ，即(4i4)a01，得 a0 (i1)这样得到ye（2i）x的一个特解 y (i1)e（2i）x由欧拉公式y (i1)e（2i）x (i1)ex(cosxisin2x) ex（cos2xsin2x）i(cos2xsin2x)取其实部得原方程的一个特解 ex(cosxsin2x)故原方程的通解为 yYC1exC2exex(cos2xsin2x) 例7. 求方程y(x2)e3xxsinx的通解。解 由上节定理三，定理四，本题的通解只要分别求y0的特解Y， y(x2)e3x的一

17、个特解， yxsinx的一个特解然而相加即可得原方程的通解，由本节例4有 YC1cosxC2sinx，(x)e3x下面求，为求先求方程 yxeix由于i是特征方程的单根，且pn（x)x为一次式，故可设ux(a0xa1)a0x2a1x，此时i，p0，q1，对u求导 2a0xa1，2a0代入方程 (2p) (2pq)ux得 2a2i(2a0xa1)0x即 4ia0x2ia12a0x比较x的同次幂的系数有： 得 即方程yxeix的一个特解 (x2x)eix (x2)(cosxisinx) (x2sinxxcosx)i(x2cosxxsinx)取其虚部，得x2cosxxsinx所以，所求方程的通解y

18、Y C1cosxC2sinx()exxcosxxsinx综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程 pqyf(x)当自由项f(x)为上述所列三种特殊形式时，其特解可用待定系数法求得，其特解形式列表如下：自由项f(x)形式特解形式f(x)pn(x)当q0时Qn(x)当q0,p0时Qn(x)当q0,p0时x2Qn(x)f(x)pn（x）ex当不是特征方程根时Qn(x)ex当是特征方程单根时xQn(x)ex当是特征方程重根时x2Qn(x)exf(x)pn(x)excosx或 f(x)pn(x)exsinx利用欧拉公式eixcosxisinx，化为f(x)pn(x)e（i）x的形式求特解，再分别取其实部或虚部 以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法，当然可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。例8. 求y3y3yyex的通解解 对应的齐次方程的特征方程为 r33r23r10 r1r2r31所求齐次方程的通解Y(C1C2xC3x2)ex由于1不是特征方程的根因此方程的特解a0ex代入方程可解得a0故所求方程的通解为yY(C1C2xC3x2)exex。§7.3 欧拉方程下述n阶线性微分方程 a0xna1xn1an1xanyf(x)称为欧拉方程，其中a0，a1，an都是常数，f(x)是已知函数。欧拉方程可通过变量替换化为常系数线性方程。下面以二阶为例说明。对于二阶欧拉方程 a0x2a