特征值问题的性质与估计

1、第九章 特征值与特征向量的数值求法第第9章章 矩阵特征值问题的数值解法矩阵特征值问题的数值解法教学目的教学目的 1. 1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法；掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法； 2. 2. 掌握求矩阵特征值的掌握求矩阵特征值的QRQR方法。方法。教学重点及难点教学重点及难点 重点重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法求矩阵特征值的幂法求矩阵特征值的QRQR方法；方法； 难点难点是求矩阵特征值的带原点位移的是求矩阵特征值的带原点位移的QRQR方法。方法。第九章 特征值与特征向量的数值求法9.2 特征值问题的性质与估计特征值问题

2、的性质与估计 工程实践中有多种振动问题，如桥工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，工程实践中有多种振动问题翼的振动，工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。向量的问题。以下以下是一些准备知识是一些准备知识第九章 特征值与特征向量的数值求法nnnnnnnnijaaaaaaaaaa212222111211)det()( ,)( AI

3、A则称已知定义1定义1.|) 1()( 12211特征多项式特征多项式的为AAaaannnnn.)( .(1.1) 0)det()( 的所有特征值的集合表示的的根称为的特征方程AAAAIA特征值特征值第九章 特征值与特征向量的数值求法.(1.2) 0)( ,特征值特征向量特征向量的的对应于称为的非零解相应的齐次方程组的为设AxxAIA 但高次多项式求根精度低但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法一般不作为求解方法. 目前的方目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法.其中的特征值及特征向量，求：例A 1210131012A第九章 特征值与特

4、征向量的数值求法32()d e t () 71 48 0AIA解： 的特征多项式421 321的特征值为：求得A机器机器 求解求解1231111 ;0;2111Axxx的 特 征 向 量 ：第九章 特征值与特征向量的数值求法.1 ,10 )4( , )3()( )( , )2()0( (1) , 11xxAAAxxAAxxIAIAAxA即的特征值为且非奇异，则设；即的特征值是；即的特征值为；常数的特征值是向量，则是对应的非零特征的特征值是矩阵设kkkknnppppcccR定理1定理1第九章 特征值与特征向量的数值求法1 (1, ), (1) tr( ),()11(2) det( ).iiiin

5、innnaAiiAAA若是矩阵 的特征值则称为 的迹定定理理2 2).()( , 3AAATnnR则设定理定理. , 亏损矩阵亏损矩阵定义2定义2为，则称个数少于线性无关的特征向量的且其对应的重特征值有一个如果设AAAkkRnn 一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，亏损矩阵在理论与计算上存在巨大的困难。亏损矩阵在理论与计算上存在巨大的困难。第九章 特征值与特征向量的数值求法. )()( , , 122211211miiiiimmmmAAAAAAAAAAA则均为方阵其中每个对角块为分块上三角阵设定理4定理4. , )2(; ) 1 (, , 1的特

6、征向量是则的特征向量是若有相同的特征值与则使非奇异即为相似矩阵与若APyByBAPPPBABA定理5定理5第九章 特征值与特征向量的数值求法., ,)( )2(. 1 2121211线性无关对应的特征向量则个不同的特征值有若个线性无关的特征向量具有的充要条件是使非奇异矩阵即可对角化，）（mmnnnnnxxxnmmRnRAAAPPPA定理6定理6第九章 特征值与特征向量的数值求法则为对称矩阵设对称矩阵的正交约化, )7(nnRA定理定理；个线性无关的特征向量有的特征值均为实数；nAA )2( (1).)(,), 2 , 1( )3(21211的特征向量为对应于向量的列而的特征值为且，使得存在正交

7、矩阵jjnin,niuuuuPAAPPP第九章 特征值与特征向量的数值求法,)(nnijaA 称为以称为以aii为圆心为圆心, ,以以ri为半径的复平面上一个为半径的复平面上一个定义定义3 3 设设其其中中集集合合,|CzrazzDiiii ), 2 , 1(|,|1niarnijjiji 圆盘圆盘。定理定理8 8 ( (盖尔圆盘定理）盖尔圆盘定理）,)()1(nnijaA 设设则则A的每一个特征值必属于某一个圆盘之中的每一个特征值必属于某一个圆盘之中, ,), 2 , 1(|,|1nianijjij iiira | )3 .1(即即A的所有特征值都在复平面上的所有特征值都在复平面上n个圆盘个

8、圆盘(1.3)(1.3)的并集中。的并集中。第一圆盘定理第一圆盘定理对于矩阵特征值界如何估计？对于矩阵特征值界如何估计？第九章 特征值与特征向量的数值求法第二圆盘定理第二圆盘定理(2) (2) 如果如果A的的m个圆盘组成并集个圆盘组成并集S(S(连通的连通的) )且与余下的且与余下的n- -m个个圆盘是分离的圆盘是分离的( (即不相交即不相交) )，则，则S内恰包含内恰包含m个个A的特征值。特的特征值。特别，当别，当S是一是一个圆盘且与其他的个圆盘且与其他的n-1-1个圆盘是分离的个圆盘是分离的( (即即S为孤为孤立圆盘立圆盘) )，则，则S中精确包含中精确包含一个特征值。一个特征值。第九章

9、特征值与特征向量的数值求法即为对应的特征向量的任意一个特征值为设证,0,:xA。0)(xAI, 0,max,),.,(21ikiTnxxxxxxx则记。jijnijjiiixaxa, 1)(有由于),( 1/ijxxij./ijijijijijiiaxxaa.定理得证属于说明iD分析分析 (1)(1)只要证明只要证明iiira | )3 .1( 定理的证明，不仅指出了A的每一个特征值必属于A的一个圆盘中，而且指出，若一个特征向量的第i个分量最大，则对应的特征值一定属于第i个圆盘中 第九章 特征值与特征向量的数值求法例例1 1 设有设有试估计试估计A及及A-1-1的特征值的范围。的特征值的范围。

10、nnA 4114114114解：解：因为因为A为对称阵，所以为对称阵，所以A的特征值均为实数。的特征值均为实数。由盖尔圆盘定理知由盖尔圆盘定理知A的特征值位于下述某个圆盘中，即的特征值位于下述某个圆盘中，即, 1|4| 2|4| 。或或62 且且A-1-1的特征值的特征值。2161 第九章 特征值与特征向量的数值求法410101.1114EAxample估计矩阵的特征值的范围A解： 有三个圆盘11111: |4|1njjjDra33313: |4 |2njjjDra22212: |2njjjDra由上述定理结论可知A的三个特征值位于三个圆盘的并集中， -4 0 1 4第九章 特征值与特征向量的

11、数值求法所以D1内恰包含A的一个实特征值1352323.ADD的其它两个特征值，包含在中由于D1是孤立的所以，2323DD第九章 特征值与特征向量的数值求法问题：问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么如何进一步估计上面两个特征值分别在什么范围？范围？解决途径：解决途径：若能够改变圆盘的半径，则有可能将圆若能够改变圆盘的半径，则有可能将圆盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围. .事实上，利用相似矩阵的性质，可使事实上，利用相似矩阵的性质，可使A A的某些圆的某些圆盘半径及连通性发生变化盘半径及连通性发生变化. .第九章 特征值与特征向量的数值求法

12、具体实施具体实施?11121(1,2, ) ininD1适当选取作=-1ijjin naAD AD对 作相似变换,第九章 特征值与特征向量的数值求法.即 可 解 决 上 述 提 出 的 问 题()ijjijn nin naAaB即,AB而与有 相 同 的 特 征 值第九章 特征值与特征向量的数值求法1110.9D若 选 取作相似变换114101010/90.90.94AAD AD对上边同一例题对上边同一例题1: |4|1E2:|1 9 / 9E3:|4 |1 .8E第九章 特征值与特征向量的数值求法123EEE 显 然135 ;219 / 919 / 9;35 .82 .2 第九章 特征值与特

13、征向量的数值求法.)()(),()( , , 商商瑞雷瑞雷定义4定义4RayleighRRnn的为关于向量称对于任一非零向量阶实对称阵是设xxx,xAxxxA.)(),(min 3,)(),(max 2 ,)(),( 1 . , 11111xx,xAxxx,xAxxxx,xAxAAxxxx00nnRnRnnnRn）（）（对于任何非零向量）（则的特征值为阶实对称阵为设定理定理第九章 特征值与特征向量的数值求法 从而1成立结论1说明Rayleigh商必位于 和 之间 n1证明 只证1，0 x 设，则有表达式,1iinixx,0),(21inixx。2112121),(iniiiniininxAx.,*组组征征向向量量也也构构成成正正交交向向量量其其特特征征值值都都是是实实数数，特特阵阵”，即即为为应应改改为为为为对对称称阵阵但但应应注注意意亦亦有有类类似似性性质质对对于于复复矩矩阵阵AAHermi