第一学期高等数学期末复习PPT课件

1、二、函数的导数和微分及其应用 第1题 1 / 2 第2题 1 / 2 第3题 1 / 2 第4题 1 / 2 第5题 1 / 2 第6题 1 / 2 第7题 1 / 2 第8题 1 / 2 第9题 1 / 2 第10题 1 / 2 第11题 1 / 2 第12题 1 / 2 第13题 1 / 2 第14题 1 / 2 第15题 1 / 2 第16题 1 / 2 第17题 1 / 2 第18题 1 / 2 第19题 1 / 2 第20题 1 / 2第1页/共87页三、不定积分和定积分及其应用 第1题 1 / 2 第2题 1 / 2 第3题 1 / 2 第4题 1 / 2 第5题 1 / 2 第6

2、题 1 / 2 第7题 1 / 2 第8题 1 / 2 第9题 1 / 2 第10题 1 / 2 第11题 1 / 2 第12题 1 / 2 第13题 1 / 2 第14题 1 / 2 第15题 1 / 2 第16题 1 / 2 第17题 1 / 2 第18题 1 / 2第2页/共87页四、简单的微分方程 第1题 1 / 2 第2题 1 / 2 第3题 1 / 2 第4题 1 / 2第3页/共87页一、函数的极限与连续第1、2题321221xxxlimx第1、2题分析： 代入法：分子、分母均趋于0，失效！ 方法一：因式分解，约去趋于0的因子； 方法二：根据“0/0”特征，使用洛必达法则。622

3、22xxxxlimx第4页/共87页一、函数的极限与连续第1题321221xxxlimx31111xxxxlimx311xxlimx31114221321221xxxlimxxxxlimx 32 12212221xxlimx2224221第5页/共87页一、函数的极限与连续第2题62222xxxxlimx32122xxxxlimx312xxlimx32125362222xxxxlimxxxxxlimx 6 222212122xxlimx12212253第6页/共87页一、函数的极限与连续第3、4题324322xxxxlimx第3、4题分析： 属于x时的多项式除法，不能使用代入法； 方法一：分子

4、、分母同时除以两个多项式中的最高次项（本题中为x 2）； 方法二：根据“/”特征，使用洛必达法则。2321422xxxlimx第7页/共87页一、函数的极限与连续第3题324322xxxxlimx22312413xxxxlimx00200323324322xxxxlimxxxxxlimx 32 4322231416xxlimxxxlimx 14 1646xlim第8页/共87页一、函数的极限与连续第4题2321422xxxlimx2223214xxxlimx0020422321422xxxlimxxxxlimx 232 1422348xxlimxxxlimx 34 848xlim2第9页/共8

5、7页一、函数的极限与连续第5、6题第5、6题分析： 属于重要极限 或等价无穷小类的极限 问题； 方法一：利用等价无穷小，即x0时， xsinx， xtanx； 方法二：根据“0/0”特征，使用洛必达法则。xtanxsinlimx320 xsinxlimx422010 xxsinlimx第10页/共87页一、函数的极限与连续第5题xtanxsinlimx320 xxlimx32032xtanxsinlimx320 xtanxsinlimx 3 20 xxsecxxcoslimx 33 2220 xsecxcoslimx332220131232第11页/共87页一、函数的极限与连续第6题xsinx

6、limx4220 xxlimx422020 xlimx0 xsinxlimx4220 xsinxlimx 4 220 xxcosxlimx 4440 xcosxlimx444014040第12页/共87页一、函数的极限与连续第7、8题第7、8题分析： 重要极限 的等价形式 类的极限问题； 口诀：前面是一家“1”；内外成倒数，指数趋无穷； 方法：根据“口诀”，先解决括号内的加减问题，再解决括号外的指数问题。exlimxx11xxxlim1021xxxlim301exlimxx101第13页/共87页一、函数的极限与连续第7题xxxlim1021xxxlim2102122e第14页/共87页一、函

7、数的极限与连续第8题xxxlim301xxxlim10133 e31e第15页/共87页一、函数的极限与连续第9、10题第9、10题分析： 重要极限 的应用问题； 口诀：前面是一家“1”；内外成倒数，指数趋无穷； 方法：根据“口诀”，先解决括号内的加减问题，再解决括号外的指数问题。exlimxx11xxxlim21xxxlim231第16页/共87页一、函数的极限与连续第9题xxxlim21221xxxlim22 e21e第17页/共87页一、函数的极限与连续第10题xxxlim231331xxxlim66e第18页/共87页一、函数的极限与连续第11题1 xf， 1xe， 1， 2x0 x0

8、 x0 x 0f xflimx0 xflimx0 xflimx00 x xf第19页/共87页一、函数的极限与连续第11题2 xf， 1xe， 1， 2x0 x0 x0 x xflimx0 xflimx0 00 xflimx0 x xf 10 f10 xxelim10 e0 xlimx20020 xflimx0 xflimx00， 1xe0 x， 2x0 x 10 f 00 xflimx 00fxflimx第20页/共87页一、函数的极限与连续第12题 1f xflimx1 xflimx1 xflimx11x xf xf， 11x， 1， 1313xx1x1x1x 第21页/共87页一、函数的

9、极限与连续第12题 1f xflimx1 xflimx1 21xflimx xf， 11x， 1， 1313xx1x1x1xx111x1313xx1x11xxlimx111111213131xxlimx1313242 xflimx1 xflimx121x xf 11 f 21xflimx 11fxflimx1第22页/共87页一、函数的极限与连续第13题第13题分析： 无穷大量概念： ； 无穷小量概念： ； 方法：依次计算各函数的极限，并根据结果得出相应的结论。 xflimx 0 xflimx第23页/共87页一、函数的极限与连续第13题12xx x11xexe12xlnxcosxsin1第2

10、4页/共87页0120 xxlimxxlimx110100eelimxx010 xxelimxxelim10 xxelim1020 xlnlimxxcosxsinlimx10 xcosxsinlimx 1 0 xsinxcoslimx0一、函数的极限与连续第13题第25页/共87页一、函数的极限与连续第14题5212xxxy3422xxxy522 xx412 x0 ,0342 xx02x2x1x3x 3 , 3 2 ,3x第26页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第1、2题第1、2题分析： 导数基本公式、基本性质的应用； 幂函数的多样性，常数的多样性； 注意导数和导函数的区别，不可以一个等

11、号到底。xexxy213 y 1 y5cosxlnxy y 1 y第27页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第1题xexxy213， y 1 yxexx y21 3 exxx 2 13xexx213221 xx 233 xx211 xx xxee e y2131 e22第28页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第2题5cosxlnxy y 1 y5 cosxlnx y0121xxxx121xx22 11211 y2312121 xxxxln1 x21第29页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第3题xcosxsiny2，dy 0 yxcosxsin y 2 dx ydy 0 y xc

12、osxsin 2 xsinxxcos 22xsinxcos22002sincos 0122dxxsinxcos 22xcosxsin xsinxcos dx ydy 第30页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第4题321xcosy，dy 0 y321 xcos ydxxcosxsin2216 xcosxcos 212132xsinxcos2021322216xcosxsin 2021060 cossin y0dx ydy xsinxcos dx ydy dxdududydxdy 233 uu第31页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第5题xcosxsiny1y 6 yxcosxsin

13、y1 21 11 xcosxcosxsinxcosxsin2101xcosxsinxsinxcosxcosvu2 vuvvu第32页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第5题6 y2221 xcosxsinxcosxcos y211xcosxcosxcos11611cos2311322322第33页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第5题y 21 1xcosxcos2 uuu1210 xcosxsinxcos1121xcosxsin第34页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第6题xxeey1和y 0 y y xxee1 21 11 xxxxxeeeee2101xxxxxeeeee22

14、21xxxxeeee21xxeevu2 vuvvu第35页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第6题2001 ee 0 y211141y 21xxee 422111 xxxxxeeeee421 1121xxxxxxeeeeee第36页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第6题y 31021xxxxxeeeee32212xxxxeeee321xxxeee311xxxeee第37页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第7题xlny1，dy y y yxln1211xlnxln121xln121xx 1112110121x121xdydx y dxx 121dydx y uln u1第38页/

15、共87页二、函数的导数和微分及其应用第8题1442xxlnydy y y y1442xxln212 xln122xln122xlnxx 12121202122x124xdydx y dxx124dydx y uln u1第39页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第9题 xfy 12223yyxxdxdy 1 2223yyxx 0 2 223yyxx 0 2 23222yyyxyxx0 2 22322yy yxxyx0 2 24322yy yxxyxxyx yyx43 2222 y yxxyx224322dxdy第40页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第10题 xfy 1322yxyx

16、dxdy 1 322yxyx 0 322yxyx 0 3 2222 yyyxyxx0 3 2222 yyyyxyx0 3 2222 yyxyyyx222 32yx yyxy y 22322yxyyxdxdy第41页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第11题0 xxexy 3 y xex 3xe 3 0 y03e132切线k 0 y20 xy003e1 1 0 ,021xy12 xy00 xxkyy切线k 0 x y第42页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第12题xlnxy12 xy y 11 ln切线k21x121xy12 xy00 xxkyy切线k 0 x y y,x直线kxlnx

17、x11211xy1第43页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第13题 ,133xxy y xx 133332 x0 y1x第44页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第13题x 列表分析 1 ,1 1 1 ,1 1 , y 00y31第45页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第13题 1 , 1 , 1 1 ,31 y 11y1x1x第46页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第14题 ,1224xxy y xx 1224xx4430 y11x02x13x第47页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第14题x 列表分析 1 ,1 0 1 ,1 1 , y 0y0001 1 0 ,

18、00第48页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第14题 1 , 1 , 0 1 , 10 y01 y0 x1x 1 0 ,1x 01 y第49页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第15题x 列表分析33 ,3333 33,33 33,y 00y9494第50页/共87页二、函数的导数和微分及其应用第15题 1 , 1 , 1 1 ,31 y 11y1x1x第51页/共87页积分学不定积分和定积分 原函数和不定积分 与复习相关的积分公式 积分的基本思路 定积分的应用第52页/共87页原函数和不定积分 原函数若在某区间上 ，则称 是 在该区间上的一个原函数。对应复习题三、15. 不定积分若

19、在某区间上， 是 的一个原函数，则称 是 在该区间上的不定积分。记作：对应复习题三、16. xfxF xF xf xF xf CxF xf CxFdxxf第53页/共87页相关性质微分与积分的互逆性 dxxf xf dxxfd dxxf dxdxxf CxFdxxF CxFxdF复习题三、16复习题三、15第54页/共87页与复习相关的积分公式 积分公式 导数公式kdxxdxx x dx 2xxdx2xdxdxkCxCx111Cx 221Cx 211xx2Ckxx1x第55页/共87页与复习相关的积分公式 积分公式 导数公式xdxx23xdxxx232123x1xCx111Cx 2332dxx

20、1Cx 2xx2121xdxx1Cxln xlnx1第56页/共87页与复习相关的积分公式 积分公式 导数公式 xedxexxcosxdxsinxsinxeCexCxcosxdxcosCxsinxsinxcosdxx211Cxarctan xarctan211x第57页/共87页与复习相关的积分公式 积分公式dxexxdxsinCexCxcosxdxcosCxsindxx211Cxarctan dxxdxxdxCxCx111Cx 221dxxCx 2332dxx1Cx 2dxx1Cxln 第58页/共87页积分的基本思路 首先考虑运用积分公式 注意幂函数的多样性（负指数、分数指数）、常数的多样

21、性（指数类、对数类、三角函数类等等）以及分式的分拆等 第1题、第2题 公式不行，进入换元积分，有两个角度： 问题症结在哪里，“头痛医头，脚痛医脚” 哪些可以积分，“捡软柿子捏” 第3题、第4题、第5题、第6题、第7题、第8题 换元积分不行，查看交换积分如何？用分布积分法 u(x)的选取优先考虑对数函数和反三角函数，其次考虑幂函数 第11题、第12题第59页/共87页定积分的应用 定积分的计算原则上与不定积分相同，主要有几个不同之处 运用牛顿-莱布尼兹公式是不要加“C” 上下限要代入函数进行完整的计算 分段函数注意运用积分区间可加性第9题、第10题 对称区间先考虑被积函数的奇偶性第13题、第14

22、题第60页/共87页三、不定积分和定积分第1题dxlnxcosx321dxlnxdxcosdxx321Clnxxsinx322dxlnxcosx321Cxdxx21CxsinxdxcosCxdx第61页/共87页三、不定积分和定积分第2题dxxsinexxx3212Cxlndxx 1CxcosxdxsinCedxexxdxxsinexxx3212xdxsindxedxxxx3212xcosedxxxx321Cxcosexxlnx3221 2Cxxdx221第62页/共87页三、不定积分和定积分第3题dxxx5232222dxxdxCuduu6561dxxx52322xdxx2325225232

23、dxx 252323231xdxCx62326131xdx22dxCx6232181第63页/共87页三、不定积分和定积分第4题dxxx223221dxxdxCuduu2332dxxx223xdxx223222321dxxxdx2dx212223232121xdxCx232233241Cx2322361第64页/共87页三、不定积分和定积分第5题dxeexx23xxdedxeCulnduu 1dxeexx23dxeexx231xxdee231xxede2323121Celnx2321dxexxde第65页/共87页三、不定积分和定积分第6题dxeexx21xxdedxexxdee21xxede

24、212121Cex23213221dxeexx21dxeexx21dxexxdeCex232131Cuduu2332第66页/共87页三、不定积分和定积分第7题dxxsinxcos2xsindxdxcosCulnduu 1dxxsinxcos2xdxcosxsin21xsindxsin21xsindxsin221Cxsinln2xdxcosxsind第67页/共87页三、不定积分和定积分第8题dxxcosxsin23xcosdxdxsinCuduu2332xcosdxcos23xcosdxcos232321Cx23cos233221dxxcosxsin23xdxsinxcos23xdxsinC

25、x23cos2331xcosd第68页/共87页 xf， 2x0 x0 x， 1 1 1 dxxf三、不定积分和定积分第9题 0 1 dxxf0 1 1 dxxf2201 1 0 dxxf1000 1 1dx1 0 2xdx0 1 x1 0 2x2CxdxCxxdx22dxxdx2x2x0 xx20 x1第69页/共87页三、不定积分和定积分第10题 3 0 dxxf220121011 0 1dxx3 1 1dxx1 0 x1 0 221x xf， 1x1x1x， 1x 3 0 dxxf 1 0 dxxf 3 1 dxxf3 1 x3 1 221x1322132121第70页/共87页三、不定

26、积分和定积分第11题edxxlnx 1 2 3231dxdxxdxxxlnd1edxxlnx 1 2 edxxxln 1 2dxx2edxxln 1 3 31313dxeexlndxxlnx 1 3 1 3 31bababavduvuudv eexlndxxlnx 1 3 1 3 edxxxlnelne 1 331131dxx1xlndedxxe 1 23031exe 1 33313191923e第71页/共87页三、不定积分和定积分第12题1 0 2dxxexdxex21 0 2dxxex1 0 2dxexx1 0 221xxdexde2211 0 21 0 221dxexexxbaudv

27、1 0 22221021xdeexxdex2212bavu bavdu 1412122ee41412e1412edxex221xde21 0 21 0 2dxexexx第72页/共87页分部积分中u(x)的选取顺序1.对数和反三角函数目的是要消灭对数和反三角函数2.幂函数 x n目的是降幂为 x n1，最终达到消灭幂函数的目的第73页/共87页三、不定积分和定积分第13题1 1 33 dxxsinx 33xsinxxf33xsinxxf33xsinx xf 33xsinxxf0 1 1 33dxxsinx第74页/共87页三、不定积分和定积分第14题1 1 2 11dxxxsin1 1 2 11dxxxsin1 1 21 1 2 1 11dxxxsindxx0 1121 0 2dxx1 0 2xarctan012arctanarctan 422第75页/共87页三、不定积分和定积分第15题xe3 xf dxxfd xe3 xf xfex 3xex 33xe33 dxxfd dxxfdxex33第76页/共87页三、不定积分和定积分第15题xe3 xf dxxf