第一章-有限差分法PPT课件

1、第1页/共43页 第2页/共43页 ( )()( )f xf xhf x0( )( )limxdff xfxdxx ( )()( )( )f xf xhf xfxxh第3页/共43页 ( )()( )dff xf xhf xdxxh( )( )()dff xf xf xhdxxh( )()()2dff xf xhf xhdxxh第4页/共43页 200001()()()()2!f xhf xhfxh fx200001()()()()2!f xhf xhfxh fx300002()()2()()3!f xhf xhhfxh fx第5页/共43页 20()/2!h fx302()/3!h fx22

2、211()( )( )()()2 ( )()xxxd fdfdfdxxdxdxf xhf xf xf xhhhhf xhf xf xhh前向差分前向差分第6页/共43页 (, , )( , , )uu xh y zu x y zxh222(, , )2 ( , , )(, , )uu xh y zu x y zu xh y zxh第7页/共43页22222( , )( , )x yF x yxy第8页/共43页 i-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h012342100120303()()O hxhO hxh22231011122000112!3!hhhxxx第9页/共43页 2

3、22103013132001()()()()2!hhhhxx 22/ x222313210hhhh 2210303101300131 313()()()()()hhxhhhh hh 2242024024240()()()hhyh h hh第10页/共43页 222103013132001()()()()2!hhhhxx 31hh21030310130222131 3130()()()()22()hhxhhhh hh 第11页/共43页21032202xh13hhh21,1,1,1,4ijiji ji ji ji jh F1,1,1,1,40ijiji ji ji j第12页/共43页 i-1i

4、jj+1j-1i+1013421h2h3h4h01234abL2134204aaaaaah F1342040bbbbb1a3b (0,2,4)aibiii第13页/共43页 ababnn1313aaabbb2012341224 111baaKKh FKKK1a3b/abK12:()sBoundary n DD第14页/共43页 4a2134204aaaaaah F1342040bbbbb1a3b (0)aibiiii-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h01234abLNM2b4a第15页/共43页 ababaaMaNbbMbNnni-1ijj+1j-1i+1013421abLN

5、M142322aaaMbbbN231422aaaNbbbM第16页/共43页 1a3b2b4a201423122()()4 111bbaaaKKh FKKK/abK第17页/共43页 第一类边界条件的差分离散化第一类边界条件的差分离散化 应用应用多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式，结点结点1、3的位函数值和可通过的位函数值和可通过 表示为表示为以以h和和h1分别与以上两式分别与以上两式相乘且相加，削去一阶相乘且相加，削去一阶偏导项，偏导项，然后截断与然后截断与h的二次项，便得到关于结点的二次项，便得到关于结点0的二阶偏导的二阶偏导数的差分格式数的差分格式01342034 hD12 1h 2h

6、L02223101112200022231022000112!3!112!3!hhhxxxhhhxxx第18页/共43页 同理，在同理，在0结点处关于结点处关于y方向的二阶偏导的差分格式方向的二阶偏导的差分格式 代入给定的泊松方程，得到通常代入给定的泊松方程，得到通常第一类边界条件第一类边界条件的差分的差分格式格式 2111302110222hhhhxhhhh2222402220222hhhhyhhhh2123401111111(1)(1)112h F12/ ,/hhhh第19页/共43页 第三类边界条件第三类边界条件的差分离散化的差分离散化 第一种情况，当结点第一种情况，当结点刚好着落刚好着

7、落于边界线于边界线L上时，这还取决于边上时，这还取决于边界结点处的界结点处的外法线与网格线外法线与网格线重合，重合， 03 0 3 hDLnxy0301020( )( )f rfrh12( , )( , )Sf r tfr tn第20页/共43页 外法线与网格线不重合情况，边界结点上的外向法向方外法线与网格线不重合情况，边界结点上的外向法向方向与水平夹角为向与水平夹角为，其法向导数显然是在，其法向导数显然是在x和和y方向的导方向的导数在法向的数在法向的投影组合投影组合， 03 0 hDLn2 xy000302cossincossinnxyhh 300201020( )cossin( )f rf

8、rhh第21页/共43页 第二种情况，当结点不落于边界线第二种情况，当结点不落于边界线L上时，只需要上时，只需要引入引入于结点于结点0相关的边界结点相关的边界结点O，点的外方向，点的外方向n作为结点作为结点0处的处的“外方向外方向n”，且，且近似地认为近似地认为边界条件中给定的函边界条件中给定的函数和均在数和均在O点上的取值。这样，此种情况下的点上的取值。这样，此种情况下的第三类第三类边界条件边界条件的离散格式于式相似，的离散格式于式相似， o3 0 hDLn2 xyo300201020( )cossin( )f rf rhh第22页/共43页 第二类边界条件第二类边界条件的差分离散化的差分离

9、散化 第二类齐次边界条件为第三类边界条件的特殊情况，即。第二类齐次边界条件为第三类边界条件的特殊情况，即。我们这里讨论最常见的一种情况我们这里讨论最常见的一种情况 上面也是上面也是对称边界条件对称边界条件的离散公式的离散公式12( )( )0f rfr/0n 0134201234LhD20124124h F13第23页/共43页第24页/共43页离 散 化 场 域 （ 网 格 剖 分 ）电 磁 场 问 题离 散 化 方 程 （ 差 分 原 理 ）计 算 方 程 组 （ 迭 代 法 ）差 分 方 程 组 （ 代 数 方 程 组 ）离 散 解插 值 计 算 其 他 值 或 可 视 化 显 示 结

10、果前 处 理数 据 计 算后 处 理第25页/共43页 i-1ijj+1j-1i+1(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)(i-1,j-1)(i-1,j+1)(i+1,j-1)(i+1,j+1)i increasej increase ( , )i j第26页/共43页21,11,1,2,1,121,1,1,1,21,11,1,2,1,1 44 i4 ijiji ji ji ji jijiji ji ji ji jijiji ji ji ji jh Fh Fjh F ncrease21,11,1,121,1,2,1,1,1,21,1112,1,1, 44 4i ji

11、 ji ji ji ji jijiji jijiji jii jijiji jji jh Fh Fh F increase j 第27页/共43页 . 0 1 0 0 0 . 0 1 -4 1 0 . . . 0 1 0 . . 0 1 0 0 . . 0 1 -4 1 0 . . 0 0 1 0 . . 0 1 0 . . . 0 1 -4 1 0 . 0 0 0 1 0 . 1,11,1,1,1,11,11,1,1 ijijiji ji ji jijijij= . . . . . . . . . . . .21,121,21,12,12,2,121,121,21,1 ijijiji ji

12、ji jijijijh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fiincreasej increasei*Ny+j+1i*Ny+ji*Ny+j-1i*Ny+j(i+1)*Ny+j(i-1)*Ny+ji*Ny+j-1i*Ny+j+1(i+1)*Ny+j-1(i+1)*Ny+j+1(i-1)*Ny+j-1(i-1)*Ny+j+1第28页/共43页第29页/共43页 21,1,1,1,12,1,11,1,414ijiji ji ji ji jnnnnni jiji jiji ji jh Fh F第30页/共43页1112,1,11,1,14nnnnni jiji jiji ji jh F第

13、31页/共43页 1, nnni ji ji ji j 112,1,11,1,14nnnni jiji jiji ji jh F112,1,11,1,44nnnnnni jiji jiji ji ji jh F第32页/共43页21 sin()bL22122bLm第33页/共43页 134222xyxyxyhh Eeeee134222mmmmmmmxyxyxyhhHeeee134222zzxyxyAAAAAAyxhh BAeeee第34页/共43页SKd PS1( )naviiKPi S 1( )naviiKPi SPUU第35页/共43页 Dxy0 a b 11020第36页/共43页 222200000000 ( , )010 xyx ay bx ay byx ax yDxy 第37页/共43页 Dij0 a b11020hh1,1,1,1,40ijiji ji ji j第38页/共43页 111,1,11,1,44nnnnnnni ji jiji jiji ji j0,0,00 ,011,0 10qpqppqand第39页/共43页 第40页/共43页 设 定 边 值和 误 差设