克罗内克(Kronecker)积及其应用

1、第VI章克罗内克 Kronecker)积及其应用6. 1 Kronecker 积6. 1. 1 Kronecker 积的概念定义1-1设A=(av)丘严、B = (by) gc",则称如卜的分块矩阵anB心aB为A的克罗内克(Kronecker)积.或称A与B的直积或张童积简记为力0 B =(厲£)士即力® B是一个mxn块的分块矩阵.最后是一个mp x nq阶的越阵.例11设/=那么aBA®B =cBbBax bxay byex dx xa xb ac bxxAxc xdex dxB®A =.M ya ybay byyc yd cy dy刖今

2、4x2由这个例子可以看出.A®BLjB®A -般不是同一矩阵.UP Kronecker积不满足交換律,但它们的阶数是相同的.对单位矩阵，有6. 1.2 Kronecker 积的性质不难验证.矩阵的Kronecker枳满足F列运算律:1. k(A® B) = kA® B = A®lcB. Ar gc ：2. 分配律(A + B)®C = A®C+ B®C ；3. 结合律(A® B)®C = A®(B0C).F面我们来研究Kronecker积的另一个重要性质，这条性质对进一步研% Kron

3、ecker枳有着垂嬰的作用。定理 11 设 4 =(勺)"£=(4)旳，° =(5)吟4=则(A®B)(C®D)=AC®BD(1-1)证肉为(>1®B)(C®D) = (z7vB)(c,D)=(丈弧 c*D) = (NC)uED)= AC®BD式中(AC) ij是矩阵AC中第i行第j列的元索。证毕推论若力=(%)计加£ =(垢)如，则A®B = (A® IJ(Zm ®B) = (Zm ® B)(A®In)定理 1一2 设A = (an,B=

4、(bv)pxqy 则(1 2)(13)证冈为1#anB anBaBTlfl=AtaB7同理可证A® B)h =Ah®Bh.证毕3定理1一3设A, B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则A® B也为可逆矩阵.II.B)_1 =-1®(1 一 4)证 由式(11)有3® B)(AX ® 3_1)=7 ® BBa)=I $ I = Int n nwi证毕山式(1-2). (1-4)可见.对T Kronecker积.转代和求逆的反序法则不再成立,这也是9通恬的矩阵乘法的二耍区别2定理 it设A = (av)B=(bv)pxq,则rank(A

5、® B) = rank(A)rank(B)(15)证设A与B的标准形为A与B 即MAN = A, P B Q = B ；其中M、N. P. Q分别为m阶、n阶、p阶和q阶非奇界矩阵.H(1 6) 1 1A =10耳=100 0 耳中数1的个数为rank 3)。小数1的个数为rank (4),山式(16)仃A = MAXN 9 E = p7EQ于是,由式(1-1)有A®B = (MiAlN'1) ® (P_1 BxQl)= (M_1® pT)G4, ® BjZ ® Q'1)由定理13知.均为非命异矩阵故5#rank(A&

6、#174; B) = rank(Ax ® B,)而4 ® 的秩为 rank(A)rankB) 丁 是证毕rank (A® B) = ran/c(A)ranlc(B)定理15 设人，人必是几”的m个特征值，的p个特征值，那 么X® E的mp个特征值为0 =1.2,m；丿=l,2.,p).山第三帝§2知.A与B定与Jordan标准形相似即存在可逆矩阵P与Q.使得'X* -/A* '. Q-1bq=j2 =o2frl 0/lpPAP=町=即有A* - *A = .PpB = Q0九o 0'从而山式（1-1）冇A®B

7、= (P®Q)(= (P®0(P®QYlMi人"】A® B 从而B 的 mp 个特征值为 & “j (j = 1,/!?； J = 1,/?),证毕定理1-6 设A为m阶矩阵，B为p阶矩阵，则det(/® B) = (det")/ (det(B)f(1 - 7)证 设A与B的Jordan标准形分别为J和厶，丁是“在井奇界矩阵P与Q，右p-lAP=Jly Q-'BQ7由式(11)»有A®B= (PJOP-1)®(QJ2Ql)丁是det(/40 7?)= det(人 ® J

8、2)显然，肖厶，厶均为下(上)三角矩阵时(丿1区厶)也为下(上)三角矩阵，故冇detG40 B) = det ® 厶卜f£ 疔亿d )(必"J尸】尸1=m)n)尸1尸1= (deM)p(det(B)m其屮人，人，无为A的特征值，“I,均，/J是B的轴征值，证毕定理1一7(1)若A. B均为对角矩阵时.则A® B也是对角矩阵:（2）若AB均为对称矩阵时,则A0B也是对称矩阵：（3）若AB均为Hermite矩阵时，则0 B也是Henrnte矩阵：（4）若A. B均为正交（西）矩阵时，则A®B也是止交（酉）矩阵。定理的证明作为练习.由例11我们已看到

9、,Kronecker枳的交换律不成立,即A® B -般不等-B®A ,但是,我们仍有下而的性质。定理1一8 设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵，则U A® B相似'B®Aa证 容易验证，对矩阵虫® Z”进行一系列“相介”变换（对矩阵的彳亍和柑应的列进行相同的初等变换，这甲是指对调矩阵的第I行与第J行，然后再对调第1列与第J列。），町以变成In®A,即存在一个mn阶凰换矩阵（冇限个初等矩阵的乘枳）P.使PT（A® In）P= In®A同理，对矩阵恥 £也有PT（Im®B）P= B®Im

10、再由此种初等矩阵的性质知I,有PT（A0B）P= PT（A®In）（!m®B）P= Pr（AIn）PPr=（T®A） （ B®nni=B®A证毕矩阵在Kronecker积的总义下也冇屣的概念。定义1-2 设有矩阵/ e C,记它是-个mk xnk阶矩阵。定理 19 设,则AB) = Ack)Bw(1 - S)证用归纳法，卅七=1时显然成立.设七一1时定理成立.则)叽)0)3)=Ba_1)证毕= ABW关于Kronecker枳的多项式的特征值问题，我们冇下而的结论。P定理110 设f(x.y)=工0亦"是变的复系数多项式，对J：AeCB

11、eCp定义加n阶矩阵：Pf(A B)二。/1 0 引(1 - 9)Q=0如果A和B的特征值分别是备易，无和“I，“2，它们对应的特征向虽分别是 可內,临协和儿，儿，几，则矩阵/W的特征值足/(心;“J，而对应/(心;“J的特 征向虽为x®y4 (厂= ,n?;s = l,?).证由心=AXr，见=/儿有虫比=XrXr , Bjyt = 儿丁是/(力;B)xr 0 儿=(£avA ® Bj)(xr ® 儿)=f勺3迢引)(耳®儿)= av(Alxr®BJ 儿)9=疋£0儿= /(r,/zJxr® 儿证毕恃别地，若f(

12、x,y) = xy ,则有f(A B) =A®B应用本定理，便有定理1一5的结论，即推论14® B的特征值为加n个数人(厂=1,加;$=1,/?), 11对应&“的特征向虽:为心儿.若HZ f(x9y) = x + y ,即/(x,y) =可+x°y ,则f(.A B) =A®In + Im®B应用本定理，便有推论2+的特征值是& +仏，其对应的特征向虽是Xr儿(厂=1,，加;s = l,，n)他阵In + Im® B称为A与B的Kronecka和。忆后，我们还要介绍一个在数理统计中很冇用的矩阵.定义1-3 元索为1或

13、-1的方阵H Rnxm, 2；：仃HHT = nln(1 - 10)则称H为n阶哈达马矩阵.定理1一11 设刃，与均为哈达马矩阵.则矩阵Hm®Hn为加n阶的哈达马矩阵。证因为(冷 ® HJ叽 ® H,y = (Hm ®0 Hj)= (HmHj)®(HnHnT) = (mIJ ®(n/n)=皿心故按定义.Hm O Hn为m n阶的哈达马矩阵.证毕本节讨论的Kronecker积,特别是哈达马矩阵在数理统计中应用很广。6. 2 Kronecker积应用举例6. 2. 1线性矩方程利用矩阵Kronecker枳的性质，能够方便地研究-般线性矩方

14、程+ + A.pXBp C(2 1)的相容性及貝:解法等问题，这甲-X,gCCgC ”为己知矩阵，是末知矩阵。对丁矩阵方程(2-1)可以转化为通常的线性方程组Gx = C(2 2)来讨论，其中系数矩阵G与A、B有头，向就x与矩阵X有头，向虽c与矩阵C何头，为此，先引入卜向 矩阵拉血的概念.矩阵的拉直定义21 设1 = (d& )加,将A的彳j；依次按列纵择得到的加n维列向吊.这种运第称为A的 拉直，记为玄，即力=(5，°12,，卫22,，dml，°沁，d”j)(-从定义2-1可看出,A是ran x 1阶矩阵,即为一个列向呈,这个列向量先把A的第一行按顺序写在 前面，

15、依次再写第二行.，最后写第/H行. «1 -1 一 T例21设力=则力=(1厂13J)1定理21 拉直算子处线性的，即A+ B = A+ B, kA= kA这些祁是显然的.定理221 xyT = x® y,其中为n维列向虽:2. Eq =孚;，其中血表示QJ)元索为1，其余元索为0的rnxn阶矩阵，q表示第1个元索为1,其余元索为。的列向厳；4瓦=et 0勺. «%54. Aet =.:5. 帚5="碍”,定理23设力=(珀)宀=(4)计。=©)叫，则ABC = (A®Ct)B(2 - 4)证证明分两步.先证AEC=(A®C

16、t)Ev(2 - 5)其中为nxp阶矩阵。事实上，AEC = AeC = Ae (C)r =Aet®CTej另一方面，有(A®Ct)E =(A®CT)(ei®eJ) = Aei®CTeJ即证明了式(2-5),下而再证明式(2-4).由于8=(久)£工4%1-1 J-1所以旋"(f 1?A)C1=1 尸 1W P_=工工gc1=1 >=11=1 尸 1=瓦i-1 j-1证牛= (A®Ct)B推论设A = Anv(myB= B.X =则1. AX=(AQ In)X2. XB = (Zm ® Bt )X3

17、. AT+A3 = (X® In + Im® Bt )X线性矩阵方程的解定理？一4克阵XeCn矩阵方程（2-D的解的充分必要条件是x= X为通帘的线性方程组Gx = cpT的解.其中,c = C .i-l证对矩阵方程（2-1）两端拉直.有C = XAlXBl = ZAlXBl=Z(A ® B：)立 r»l=GXUU GX = C .故矩阵方程（2-1）的解与通常的线性方程组（26）的郴同.证忆这样.欲求矩阵方程（2-1）的解.只耍将它转化为通戏的线性方程组（2-6）求解就行了。13推论1 矩阵方程（2-1）右解（相容）的充耍条件是rank (G|c) =

18、rank (G)推论2矩阵方程（2-1） U唯 解的充耍条件是G为II命界的。卜面我们来讨论矩阵方程（2-1）两个匝要的特殊惜况。1.设力gC.CgC,方程(2 7)AX+XB=C定理25矩阵方程（2-7） 唯一解的充耍条件有A和-B没有相同的特征值.即人 + 均 H 0 0 =l,- -,n?;j = 1,?）（2 - 8）证 将矩阵方程（2-7）两端拉克，并利用定理23推论（3）的结论知.方程（2-7）等价丁（A® In + Im® BT ）X = C（2 - 9）再山定理24的推论2知，方程（2-7）有唯一解的充要条件是矩阵A® In + Im®

19、BT是非奇界的， 即矩阵40 1 + Im ® BT没冇寥特征值.如果设A的转征值力入，九人.B （或/?）的特征值为儿，“2,"” 則由定理1口知 矩阵A® In +BT的特征值为 人+他 （/=1,，加;丿=1,/）,于是方程（2-7）唯-解的充耍条件是 & + &工0，即A与B没竹和同的特征值。推论 设AeCm则矩阵方程 AX-XA = O （即4T = X4） 必嘤非零解XwC"”。2. 设/ eCwm,B eCCeC",方程X + AXB = C（2 10）定理2 - 6 矩阵方程（2 10）有唯一解XeC ”的充耍条件是入JUj工-10 = 12,加；J = 1,2,.,/?）,人和/兮分别为A与B的特征值。证 把方程（2-10）艸端拉直.有C = ImXIn + AXB = （ImBt）X丁是方程（2-10）冇唯一解的充要条件是矩阵 ®I+A®BT的特征值全不为家 山定理1 -10知fn n1+入仏J工0证毕6. 2. 2矩阵函数积的导数令X = （x L”，F（X）=（人（X）L，人（X）为X的怖数，则F关丁矩阵X的导数为dF （ dF定理24设X = xM,f（x）= S（x）L，gq3）证令 A