立体几何综合大题道理

1、立体几何综合大题（理科）40 道及答案1、四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,PA23,BCCD2,ACBACD.3()求证 : BD 平面 PAC ；()若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF7FC ,求三棱锥 PBDF 的体积。【答案】()证明 :因为 BC=CD ，即 BCD 为等腰三角形，又ACBACD ,故 BD AC .因为 PA 底面 ABCD ，所以 PABD , 从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线PA, AC 都垂直，故 BD 平面 PAC 。()解： S BCD1 BC ?CD ? sinBCD122 sin 23 .223由 PA底面 ABCD 知 VP BDC1

2、S BCDPA13 2 .33 23由 PF7FC , 得三棱锥 FBDC 的高为 1 PA ,8故： VF BDC 1S BCD1 PA1312 3138384VP BDFVP BCDVF BCD172442 、如图，四棱锥PABCD 中，四边形 ABCD 为矩形，PAD 为等腰三角形，APD90 ，平面 PAD平面 ABCD ，且 AB1, AD2 ，E, F 分别为 PC 和 BD的中点（）证明： EF P 平面 PAD ；（）证明：平面PDC平面 PAD ；（）求四棱锥 PABCD 的体积O【答案】（）证明：如图，连结AC 四边形 ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点 F 也是 A

3、C 的中点又E是PC的中点， EF P AP EF平面 PAD ， PA平面 PAD ，所以 EF P 平面 PAD ；（）证明：平面 PAD平面 ABCD ， CDAD ，平面 PADI平面ABCDAD ，所以平面CD平面 PAD，又PA平面PAD，所以PACD又 PAPD，PD,CD是相交直线，所以PA面 PCD又 PA平面PAD，平面PDC平面PAD ；（）取AD中点为O 连结PO ,PAD为等腰直角三角形，所以POAD ，因为面PAD面 ABCD 且面PAD I面ABCDAD ，所以，PO面 ABCD ，即 PO 为四棱锥 P ABCD 的高由 AD 2得PO 1又 AB1四棱锥 P

4、ABCD 的体积 V1PO AB AD233考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3 、如图，在四棱锥P ABCD中，PD平面 ABCD ，PA， DB平分ADC ，CD为的中点，DAC 45o，AC2.EPC（）证明：PA 平面 BDE；（）若PD2, BD22, 求四棱锥EABCD 的体积【答案】（）设ACBDF ，连接EF ，PD平面 ABCD ， CD平面 ABCD ，PDCD又CDPA， PDPAP，PD，PA平面 PADCD平面 PAD ，AD平面 PADCDADDAC45 , DADC , DB 平分 ADC, F 为 AC中点， E为 PC中点， EF 为 CPA 的中

5、位线 . EF PA, EF平面 BDE ， PA平面 BDE PA 平面 BDE .()底面四边形 ABCD 的面积记为 S ;S SADCSABC 1221232 2 2222点 E为线段 PC的中点，VE ABCD1S1PD12 122 32323考点： 1. 线面平行的证明； 2. 空间几何体的体积计算 .4 、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，其中 PA PDAD 2，BAD 60，Q为AD的中点(1) 求证： AD 平面 PQB ；(2) 若平面 PAD平面 ABCD , 且 M 为 PC 的中点，求四棱锥MABCD 的体积【答案】（1）Q PAPD ， Q

6、为中点，ADPQ连 DB ，在 ADB 中， AD AB ， BAD60 ，ABD 为等边三角形， Q 为 AD 的中点，ADBQ ,PQBQQ,PQ平面 PQB,BQ平面 PQB,AD平面 PQB .（2）连接 QC ,作 MHQC 于 H .Q PQAD,PQ平面PAD ,平面 PAD平面 ABCDAD ,平面 PAD平面 ABCD ，PQ平面 ABCD,QC平面 ABCD,PQQCPQ/MH .MH平面 ABCD ,又 PM12PC, MH1 PQ1323 .2222在菱形 ABCD 中， BD2 ,S ABD1AB ADsin 600 =1223=3 ,222菱形ABCD2S ABD2

7、 3.S1S菱形 ABCD12331VM ABCDMH2335、如图， E是矩形 ABCD 中 AD 边上的点， F 为CD 边的中点，AB AE2 AD 4 ，现将 ABE 沿 BE 边折至PBE 位置，且平面 PBE平面3BCDE . 求证：平面 PBE平面 PEF ； 求四棱锥 PBEFC 的体积 .PAEDEDFFBCBC(1)(2)DEF中EDDF45DEF【答案】 (1)证明：由题可知，EDDFEF BE中AEAB45ABEAEAEBAB平面 ABE平面 BCDE平面 ABE I 平面 BCDE BEEF平面 PBE平面 PEFEF BE平面 PBEEF平面 PEF(2)SBEFC

8、SABCDSABESDEF6411，则4 4221422V1SBEFCh1 142 2282 .3336 、已知四棱锥 PABCD 中， PD平面 ABCD, ABCD 是正方形， E 是 PA 的中点，PEABDC(1)若 PDAD ，求PC 与面 AC 所成的角(2) 求证： PC / 平面 EBD(3) 求证：平面 PBC 平面 PCD【答案】(1) Q PD平面ABCD ，DC是直线PC 在平面ABCD 上的射影，PCD是直线PC 和平面ABCD 所成的角。又Q PDDA ，四边形ABCD 是正方形，DADC ,PDDC ，PCD450 ；直线PC 和平面ABCD 所成0的角为 45（

9、 2）连接 AC 交 BD 与 O,连接 EO, E、O 分别为 PA、AC 的中点 EO PCPC平面 EBD,EO（ 3） PD平面 ABCD, BC平面 ABCD 为正方形 BCCD ， PD CD=D, PD ， CD平面 PCD平面 EBDABCD ， PDPC平面 EBDBC ， BC 平面 PCD又BC平面 PBC平面 PBC平面 PCD7 、在边长为 4cm的正方形 ABCD 中， E、 F 分别为 BC、CD 的中点， M 、 N 分别为 AB、CF 的中点，现沿 AE、AF、EF 折叠，使 B、 C、D 三点重合，重合后的点记为 B ，构成一个三棱锥（ 1）请判断 MN 与

10、平面 AEF 的位置关系，并给出证明；（ 2）证明 AB 平面 BEF ；（ 3）求四棱锥 E AFNM 的体积【答案】（1 ） MN 平行平面 AEF证明：由题意可知点M 、N 在折叠前后都分别是AB、CF 的中点（折叠后 B、C两点重合）所以 MN 平行 AFMN面 AEF因为 AF面 AEF ，所以 MN 平行平面 AEF .MN 平行 AF（ 2）证明：由题意可知 ABBE 的关系在折叠前后都没有改变 .因为在折叠前 ADDF ，由于折叠后 AD与AB重合 ，点 D与F重合 ，所以AB BFABBEABBF因为 BE面BEF ，所以 AB平面 BEF .BF面 BEFBEBF =B（3

11、） VEAFNMVEABFVE MBNVA BEFVM BEN1SBEFAB1 SBENMB112 24 112123332322 .8 、在如图所示的几何体中， 四边形 ABCD 是正方形， MA 平面 ABCD ， PD MA ， E 、 G 、 F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点，且 AD PD2MA .(1)求证：平面 EFG 平面 PDC ；(2)求三棱锥 PMAB 与四棱锥 P ABCD 的体积之比【答案】 (1)证明： MA平面 ABCD ， PD MA ， PD 平面 ABCD ，又 BC平面 ABCD ， PDBC ， ABCD 为正方形， BC DC. PD I

12、DCD ， BC平面 PDC .在 PBC 中，因为 G、 F分别为 PB 、 PC 的中点，GF BC，GF平面 PDC .又 GF平面 EFG ，平面 EFG平面 PDC .(2)不妨设 MA=1， ABCD 为正方形， PDAD2 ，又 PD平面 ABCD ，所以V ABCD 1正方形 8 .P3SABCD PD3由于 DA平面MAB，且 PDMA，所以 DA即为点 P 到平面 MAB 的距离，三棱锥 VP MAB 1× 11 2 ×22.323所以 VPMAB : VPABCD1: 4 .9 、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC 90 , SA 面

13、 ABCD ， SA AB BC 1, AD1 .2(1)求四棱锥 S-ABCD的体积 ;(2)求证： 面SAB面SBC;(3)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值。【答案】（1 ）解：v1 Sh11( ADBC) AB SA1(11)111332624（ 2）证明：SA面 ABCD ， BC面 ABCD ,SABC又 AB BC，SA AB A, BC 面 SABBC面SAB面SAB面SBC（ 3）解：连结 AC, 则SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角。在三角形 SCA 中， SA=1,AC= 12122 ,SA12tan SCA22AC10. 如图，四棱锥 S ABCD

14、中，底面 ABCD 为矩形， SD底面 ABCD ，AD2DCSD2，点M在侧棱 SC 上，o ABM=60。（ I）证明： M 是侧棱 SC 的中点；求二面角 S AM B 的大小。【答案】分别以 DA 、DC 、DS 为 x、y、 z 轴如图建立空间直角坐标系 D xyz ，则 A(2,0,0), B(2 ,2,0),C (0,0,2), S(0,0,2) 。zSMCyDABx（）设 SM2,222MC ，则 M(0,),MB ( 2,)1111又 AB(0,2,0),MB,AB60o故MB ?AB|MB | AB | cos60 o ，即42(2) 2(2)2 ，解得1 ，111所以 M

15、 是侧棱 SC 的中点。（）由（）得 M (0,1,1), MA( 2,1,1)，又 AS (2,0,2) ，AB(0,2,0) ，设 n1( x 1 , y1 , z1 ), n2( x 2 , y2 , z2 ) 分别是平面 SAM 、 MAB 的法向量，则n1 ? MA 0n2 ? MA 0，即2x1y1z102x 2y2 z2 0且且2 y20n1 ? AS 0n1 ? AB 02x12z10分别令 x 1 x22 得 z1 1, y1 1, y20, z22，即n1 (2 ,1,1), n2(2,0,2) ， cosn1 , n22026263二面角 S AMB 的大小arccos6

16、。311 、如图，直三棱柱ABC -A1 B 1C1 中，AB AC ,D 、E 分别为 AA1 、B1 C 的中1（）设二面角 A- BD -C 为 60°,点，DE 平面 BCC （）证明：AB =AC1AC1求 B 1 C 与平面 BCD 所成的角的大小B1DEACB【答案】（）以 A 为坐标原点，射线AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz 。设 B （1 ，0 ， 0），C（ 0， b， 0 ）， D （0 ，0 ，c ），则 B1 （1 ，0 ，2c ）,E （ 1 ， 2b ，c）.2于是 DE =（ 1 ， b ， 0）， BC =（ -1 ，b,

17、0 ） .由 DE 平面 BCC1 知 DE BC ， 2 2DE BC =0，求得 b =1 ，所以AB =AC。（）设平面 BCD 的法向量 AN( x, y, z), 则 AN BC 0, AN BD 0.又 BC =（-1 ，1， 0 ），xy0BD =（ -1 ，0 ，c ）, 故cz0x令 x=1, 则 y=1, z=1, AN =(1,1,1)。cc又平面 ABD 的法向量 AC =（0，1，0）由二面角 ABDC 为 60 °知， AN，AC =60 °，故 ANACAN1AC cos60 °，求得 c2于是AN （1，1，2） ，CB1(1， 1

18、， 2）cos AN，CB1ANCB11，ANCB12AN ，CB160 °所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30 °DC平面 ABC ，EB / / DC ，AC BC EB 2DC2 ，ACB120o，12 、如图，P, Q 分别为 AE , AB 的中点（I）证明： PQ / / 平面 ACD ；（II ）求 AD 与平面 ABE所成角的正弦值【答案】（）证明：连接 DP, CQ ，在ABE 中， P, Q 分别是 AE , AB 的中点，1BE，又DC/1平面 ACD，DC平所以 PQ /BE ，所以 PQ / DC ，又 PQ22面 ACD ， 所以 PQ

19、 / 平面 ACD（）在ABC 中， ACBC2, AQBQ ，所以 CQAB而 DC平面 ABC ， EB / DC ，所以 EB 平面 ABC而 EB平面 ABE ， 所以平面 ABE平面 ABC ， 所以 CQ平面 ABE由（）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以 DP / CQ所以 DP 平面 ABE ， 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP ，所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP在Rt APD中，ADAC 2DC 22 2125，DPCQ2 sinCAQ1所以 sinDAPDP15AD5513PD、如图，四棱锥底面 ABCD ，点PABCDE在棱PB的底面是正

20、方形，上. （）求证：平面AEC平面 PDB；（）当 PD2 AB 且E 为PB的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 .【答案】（）四边形 ABCD 是正方形， AC BD ， PD 底面 ABCD ，PDAC， AC平面 PDB ，平面 AEC平面 PDB .（）设 AC BD =O ，连接 OE ，由（）知 AC 平面 PDB 于 O， AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，O，E 分别为 DB 、PB 的中点，1OE /PD ， OEPD ，又 PD底面 ABCD ，OE 底面 ABCD ，OE AO ，在 Rt AOE 中， OE1 PD2 AB AO ，22 AOE

21、 45 ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 .14 、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PAP平面 ABCD ，PAAD4 ，AB2 以 BD 的中点 O 为球心、BD 为直径的球面交 PD 于点 M （ 1）求证：平面 ABM 平面 PCD ；（ 2）求直线 PC 与平面 ABM 所成的角；（ 3）求点 O 到平面 ABM 的距离MADOBC【答案】（1 ）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面， 则， 因此有平面， 所以平面平面 .（）设平面与交于点， 因为，所以平面，则，由（ 1 ）知，平面，则MN 是 PN 在平面 ABM

22、 上的射影，所以PNM 就是 PC 与平面 ABM 所成的角，且PNMPCDtanPNMtan PCDPD2 2DC所求角为 arctan22（ 3）因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，由（ 1 ）知，平面于 M ，则 | DM | 就是 D 点到平面 ABM 距离 .因为在 Rt PAD 中，AM，所以M为PD中点，DM2 2 ，PA AD4 PD则 O 点到平面 ABM 的距离等于2 。15 、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE, FAFE,AEF45 （I）

23、求证： EF平面 BCE ；（ II ）设线段 CD 、 AE 的中点分别为P 、 M ，求证：PM 平面 BCE（ III ）求二面角 FBDA 的大小。【答案】（I ）因为平面 ABEF 平面 ABCD ， BC平面 ABCD ，BC AB ，平面 ABEF 平面 ABCD =AB ，所以 BC 平面 ABEF .所以 BC EF.因为 ABE 为等腰直角三角形， AB =AE ，所以AEB =45°，又因为AEF =45,所以FEB =90°，即EFBE .因为BC平面 ABCD , BE平面BCE ,BC BE =B所以EF平面 BCE（II ）取BE的中点N,连结

24、CN ,MN ,则MN12ABPC PMNC 为平行四边形 ,所以 PM CN . CN 在平面 BCE 内 ,PM 不在平面 BCE 内, PM 平面 BCE .（ III ）由 EA AB ,平面 ABEF 平面 ABCD ,易知 EA 平面 ABCD .作 FG AB ,交 BA 的延长线于 G,则 FG EA .从而 FG 平面 ABCD ,作 GH BD 于 H ,连结 FH , 则由三垂线定理知 BD FH .FHG 为二面角 F-BD -A 的平面角 . FA =FE ,AEF =45 °,AEF =90 °, FAG =45 °.设 AB=1, 则

25、 AE=1,AF=2AF sin FAG1,则 FG2213在 Rt BGH 中, GBH =45 °,BG =AB +AG=1+ 2 = 2 ,GH BG sin3232GBH24,2在 Rt FGH中 , tan FHGFG2GH,3 二面角F2BD A 的大小为 arc tan316 、如图，四棱锥S- ABCD 的底面是正方形， SD 平面 ABCD ,SD AD a,点 E 是 SD 上的点，且DE a(0< 1).()求证：对任意的（0 、 1），都有 AC BE :()若二面角 C-AE -D 的大小为 60 0 C，求的值。【答案】（）证发 1：连接 BD ，由

26、底面是正方形可得ACBD 。SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得ACBE .(II )SD平面ABCD，平面，SDCD .又底面是正方形， D D ，又AD=D，CD平面SAD 。过点 D 在平面 SAD 内做 DFAE 于 F，连接 CF ，则 CFAE ，故 CFD 是二面角 C-AE -D的平面角，即 CFD =60 °在 Rt ADE 中，AD = a , DE = a ， AE = a21 。AD ?DEa于是， DF =2AE1DF在 Rt CDF 中，由 cot 60 °=2CD1得3 ，即 3 23 =3213(0,1 ， 解得=221

27、7 、如图3 ，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB =4 ,AA17,点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且DEA1 E . （）证明：平面 A1DE平面 ACC1A1 ;（）求直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值。【答案】（）如图所示，由正三棱柱ABCA1B1C1 的性质知 AA1平面 ABC .又 DE平面 ABC ，所以 DEAA1 .而 DEA1 E， AA1 IA1EA1 ,所以 DE 平面 ACC1 A1 .又 DE平面 A1DE ，故平面 A1 DE 平面 ACC1A1 .（）过点A 作AF 垂直 A1E于点 F ,连接 DF . 由（）知，平面 A

28、1DE 平面 ACC1 A1，所以 AF平面 A1DE ,故ADF 是直线 AD 和平面 A1DE 所成的角。因为 DEACC1A1 ，所以 DEAC. 而 ABC 是边长为 4 的正三角形，于是 AD=2 3，AE= 4-CE =4 - 1 CD =3.2又因为 AA17 ，所以 A1E=A1 EAA12AE 2( 7)232 =4,AFAE AA13 7 ,sinADFAF21 .A1E4AD8即直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值为21.818 、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形， AB AE , FA FE , AE

29、F 45 （ I）求证： EF 平面 BCE ；（ II ）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ，求证： PM 平面 BCE（ III ）求二面角 F BD A 的大小。【答案】（ I）因为平面 ABEF 平面 ABCD ，BC平面 ABCD ，BC AB ，平面 ABEF平面 ABCD =AB ，所以 BC 平面 ABEF .所以 BC EF.因为 ABE 为等腰直角三角形， AB =AE ，所以AEB =45°，又因为AEF =45,所以FEB =90°，即EFBE .因为BC平面 ABCD , BE平面BCE ,BC BE =B所以EF平面 BCE（II

30、 ）取BE的中点N,连结CN ,MN ,则MN12ABPC PMNC 为平行四边形 ,所以 PM CN . CN 在平面 BCE 内 ,PM 不在平面 BCE 内, PM 平面 BCE .（ III ）由 EA AB ,平面 ABEF 平面 ABCD ,易知 EA 平面 ABCD .作 FG AB ,交 BA 的延长线于 G,则 FG EA .从而 FG 平面 ABCD ,作 GH BD 于 H ,连结 FH , 则由三垂线定理知 BD FH .FHG 为二面角 F-BD -A 的平面角 .FA =FE ,AEF =45 °,AEF =90 °, FAG =45 °

31、;.设 AB=1, 则 AE=1,AF=2AF sin FAG1,则 FG2213在 Rt BGH 中, GBH =45 °,BG =AB +AG=1+ 2 = 2 ,3232GH BG sin GBH2,24Rt FGH中tan FHGFG2在,GH3 , 二面角F BDA 的大小为 arc tan2319、如题（18）图，在五面体 ABCDEF 中，DC ，BADCDAD2，AB，2四边形 ABFE 为平行四边形， FA平面 ABCD ， FC3, ED7 求：（）直线 AB 到平面 EFCD 的距离；（）二面角 F AD E 的平面角的正切值【答案】（）Q AB PDC,DC平面EFCD ,AB到面EFCD的