立体几何小结与复习

1、小结与复习教学目的 :2. 在有关问题的解决过程中 ,进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能 , 并探索立体几 何中论证问题的规律 ;在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思 维能力、空间想象能力及 化归和转化的数学思想的应用 .3. 在解决有关空间角的问题的过程中 ,进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的 性质与判定的 应用,掌握作平行线 （面 和垂直线 （面 的技能;通过有关空间角的问题 的解决 ,进一步提高学 生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力 .4. 通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧 ,发掘不同问题 之间的内在联 系 ,提高解题能力 .5. 在学生解答问题

2、的过程中 ,注意培养他们的语言表述能力和 “说话要有根据 ”的 逻辑思维的 习惯、提高思维品质 .使学生掌握化归思想 ,特别是将立体几何问题转化 为平面几何问题的思 想意识和方法 ,并提高空间想象能力、推理能力和计算能力 .教学过程 :一、知识纲要空间的直线与平面1. 平面的基本性质三个公理及公理三的三个推论和它们的用途 . 斜二测画法 .2空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线公理四 （平行线的传递性 .等角定理 .异面直线的判定 ：判定定理、反证法异面直线所成的角 :定义（求法 、范围 .3. 直线和平面平行于平面和平面平行直线与平面平行 :直线和平面的位置关系、直线和平面平

3、行的判定与性质平行平面 :两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质 .4. 直线和平面垂直直线和平面垂直 :定义、判定定理 .三垂线定理及逆定理 .空间向量5空间向量及其运算空间向量及其加减与数乘运算 （几何方法 .共线向量定理与共面向量定理 .空间向量基本定理 .两个向量的数量积 :定义、几何意义 .6空间向量的坐标运算空间直角坐标系 :坐标向量、点的坐标、向量的坐标表示 .向量的直角坐标运算 .夹角和距离公式 .夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角平面的斜线和平面所成的角 :三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角 .二面角：定义、范围、二面角的平面角、

4、直二面角互相垂直的平面及其判定定理、性质定理.8. 距离点到平面的距离 .直线到与它平行平面的距离 .两个平行平面的距离 ：两个平行平面的公垂线、公垂线段 .异面直线的距离 ：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段 .简单多面体9. 棱柱与棱锥多面体.棱柱与它的性质 ：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质 .平行六面体与长方体 ：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体 ;平行六面体的性质、长方体的性质 .棱锥与它的性质 ：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质 .直棱柱和正棱锥的直观图的画法 .10. 多面体欧拉定理的发现简单多面体的欧拉公式正多面体 .二、方法总结1. 解立体几何问题的基

5、本思路：化立体几何问题为平面几何问题2. 熟练掌握所学习的定义、定理，掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与 平面的相互位置关 系的内在联系 ,灵活的进行互相转化是解立体几何证明题的基础 .3关于空间的角和距离的计算问题，要依据定义转化为平面概念，然后灵活运用 勾股定理、正余 弦定理和向量方法进行计算 .要严格按照 “一作、二证、三计算 ”即, 先构造、再定性、后定 量的程序进行 .4.空间向量是解决立体几何问题的有力工具要熟练掌握向量的各种运算的定 义、几何意义 ,恰 当的引入向量运算 ,化几何证明、逻辑推理为简单的代数运算 ,以降 低解题难度 .三、讲解范例 ：【例1】如图,P是/ ABC

6、所在平面外一点，M , N分别是PA和AB的中点，试 过点M , N作平行于AC的平面a求：(1画出平面a分别与平面ABC ,平面PBC ,平面PAC的交线；(2试对你的画法给出证明 .解:(1过N点作NE/AC交BC于E，过M点作MF/AC交PC于F ,连结 EF ,则平面 MNEF 为平行于 AC 的平面 a,NE , EF , MF分别是平面 a与平面ABC ,平面PBC ,平面PAC的交线.(2v NE/AC, MF/AC,二 NE/MF.直线NE与MF共面,NE , EF , MF分别是平面 MNEF与平面ABC ,平面PBC 平面PAC的交线. NE/AC, NE ?平面 MNEF

7、 , AC/ 平面 MNEF . 平面MNEF为所求的平面 a.F EABCDA1B 1C 11【例2】 在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E、F分别为BB 1、D 1B 1的中 点,求证:EF丄平面B 1分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理,证明:设A 1B 1 的中点 G，连 EG、FG、A 1B ,则 FG / A 1D 1, EG / A 1B , v A 1D 1 丄平 面 A 1B，二 FG 丄平面 A 1B , v A 1B 丄 AB 1, a EG 丄 AB 1,由三垂线的逆定理，得EF丄AB 1,同理EF丄B 1C ,又AB 1A B 1C =B 1,a

8、 EF 丄平面B 1分析二：证明:设AB =a , AD =b , 1AA =c ,则(21 (21 (211111111AB AD AA BD AA D B BB F B EB EF -+=+=+=+=(-a +b +c/2 11AA AB AB +=a +b1AB EF ? a =(-a +b +c/2? (a+b =(b2-a 2+c ? a +c ? b/2=(|b|2-|a|2+0+0/2=0,1AB EF 丄二，即 EF 丄 AB 1,同理 EF 丄 B 1C ,又AB m B 1C =B 1,. EF丄平面B 1分析三：建立空间直角坐标系，利用向量, 且将向量的运算转化为实数 (

9、坐标的运算 ,以达到证明：设正方体的棱长为 2,建立如图所示的直角坐标系 , 则A(2,0,0,C(0,2,0,B1(2,2,2,E(2,2,1,F(1,1,2,EF 二=(1,1,2-(2,2,1=( 1, 1,1 , 1AB =(2(2,0,0=(0,2,2AC =(0,2,0-(2,0,0=(-2,2,0 1AB EF ?二=(1, 1,1 ? (0,2,2=0AC EF ?=( 1, 1,1-2,(2,0 =0 二 EF 丄 AB 1, EF 丄 AC ,又 AB 1 A B 1C =B1,二EF丄平面B 1【例3】在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是一直角梯形，/ BAD =90&#

10、176; , AD / BC , AB =BC =a , AD =2a ,且 PA 丄底面 ABCD , PD 与底面成 30°(PD若AE丄PD，垂足为E求证:BE丄PD ;求异面直线 AE与CD解:以 A 为坐标原点 ,建立如图所示空间直角坐标系 A -xyz A(0,0,0,B(a,0,0,C(a,a,0, D(0,2a,0证明PD在底面上的射影是 DA ,且PD与底面成30： / PDA =30°, 332,0, 0(a Pa AE 丄 PD , 21,0(, |21|a a E a AD AE =, 332, 2, 0(, 23,21,(a a PD a a a

11、BE - PD BE a a a a a PD BE±：=-?+?+-? =?二，0 32(2322(0,即卩BE丄解:由知,2, 0, , (, 23,0(2aCD AE a a CD a a AE =? -=又42cos , 2|, |=-=a CD a AE ,(应赢arccos . 4异面直线AE与CD所成角的大小为【例4】 已知空间四边形 OABC中,BC OA丄，AC OB丄求证:AB OC丄.证 明:AB OC = ( OA OB OC - =OB OC -OA OC - . v BC OA 丄，AC OB 丄，二 0= BCOA , 0 =AC OB ,0( =-OB

12、 OC OA , 0( =-OA OC OB . / OB OA OC OA - =, OA OB OC OB =. OB OC =OA OC , AB OC =0. AB OC 丄四、小结：点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点 是坐标原点时.有向线段终点的坐标与向量的坐标相同.这一点务必向学生讲清楚.；明确用向量坐标法证明或计算几何问 题的基本步骤：建系设坐标向量点的 坐标化运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等 问题时，关键是建立适当五、课后作业选择题(1从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，若这些斜线与平面成等角，则如 下四个命题中：三斜足

13、构成正三角形：垂足是斜足三角形的内心；垂足是斜足 三角形的外心；垂足是斜 足三角形的垂心。其中正确命题的个数是(。A 1 B 2 C3 D 4 (2将锐角 A =60 ,°边长为 a 的菱形 ABCD 沿对角线 BD 折成 60 °的二面角,则翻 折后 AC 与 BD 的 距离是( 。 A43a B43a C23a D46a(3空间折线 ABCD 中,线段 AB 、 BC 、 CD 两两垂直,连接有关线段后得到一 个三棱锥 ,在这个 三棱锥中 ,直二面角的个数是 ( 。A 2 B 3 C 4 D 5(4设二面角的大小为a在二面角的两个平面内各有一条直线 a , b , a

14、, b所成的 角为B则a与B的大小关系是(。A a> BBaW 0 不5 确定0 D(5正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中, E 、 F 分别是 AA 1和 AB 的中点,则 EF 与 对角面 A 1C 1CA 所成的角的大小是( 。 A 30°B 45°C 60°D 90°(6一直线与直二面角的两个面所成角分别为 01与0 2则, 0 1+0的2值是(A .90 °B . 不超过 90°C . 不小于 90°D . 以上三种情况都可能二、如图,已知斜三棱柱 ABC -A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C丄底面ABC, / ACB =90°, BC =2, AC =23,且 AA 1 丄 A 1C , AA 仁A 1C ,(1 求侧棱 AA 1 到侧面 BB 1C 1C的距离;(2求A 1B与平面ABC所成的 角;(3求侧棱CC 1到侧面AA 1B 1B 的距离。三、如图,在长方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB =BC =3, BB仁4,连接B1C，作 BE丄B 1C，交CC 1于E，交B 1C于F ,(1求证:A 1C丄平面EBD ;