《高等数学教学》第三节 幂级数ppt课件

1、)(. 2连连续续性性、求求导导、求求积积分分幂幂级级数数的的分分析析运运算算).()(,)(.),()(),(,00右右连连续续或或在在左左连连续续在在则则和和函函数数收收敛敛或或在在若若幂幂级级数数内内连连续续在在收收敛敛区区间间则则和和函函数数为为的的收收敛敛半半径径为为设设幂幂级级数数RxRxxsRxRxxaRRxsxsRxannnnnn )(1 连连续续性性、性性质质.),()()()(,)(,),(),(,01111100有有相相同同的的收收敛敛半半径径与与幂幂级级数数且且有有逐逐项项求求导导公公式式可可导导内内则则在在和和函函数数为为的的收收敛敛半半径径为为设设幂幂级级数数nnn

2、nnnnnnnnnnnnnnnxaxnaRRxxnaxaxaxsxsRRxsRxa )(2 可可微微性性、性性质质.1);,(,1)()()(:,)(,),(),(,01010000000具具有有相相同同的的收收敛敛半半径径与与且且幂幂级级数数且且有有逐逐项项积积分分公公式式可可积积内内则则在在和和函函数数为为的的收收敛敛半半径径为为设设幂幂级级数数 nnnnnnnnnnxnnxnnnxnnnxaxnaRRxxnadxxadxxadxxsxsRRxsRxa)(3 可积性可积性、性质性质.,10并并求求和和函函数数收收敛敛区区间间及及收收敛敛域域的的收收敛敛半半径径求求幂幂级级数数 nnnx、例

3、例1解解; 1; 121lim1121lim Rnnnnnn.,1)1(0收敛收敛莱布尼兹级数莱布尼兹级数 nnn.,111100发发散散调调和和级级数数 nnnnn).1 , 1 :1)(0 的的收收敛敛域域为为nnnxxs; 1)0( s, 0),1 , 1(: xx令令);(1111)(1010 xsxnxxnxxsnnnn ;1)(011 nnnxxs; 0)0(1 s;111)(0011xxnxxsnnnn dxxssxsx0111)()0()().1ln()1ln(1100 xxdxxxx )11(),1ln()(1 xxxs)0, 11( ;)1ln()(11)(10 xxxxx

4、sxnxxsnn)(lim)1(01xssx ; 2ln)1ln(lim01 xxx.0, 10, 11,)1ln()( xxxxxxs三、级数求和三、级数求和.3)1(1的的和和求求数数项项级级数数 nnnn; 11)1()2)(1(lim;)1(:1 Rnnnnxnnnnn收收敛敛半半径径幂幂级级数数令令);(3)1(,)1()(3111snnxnnxsnnnn 令令、例例2解解)()1()1()(11110010 xsnxdxxnndxxnndxxsnnnxnxnnx ;)1()()()(212121121 xxxxxxxnxxxsnnnnnn;)1()1(12222xxxxxx ;)1

5、 (23xx .492)1(49)1(2)(13313131 nnnns 422221)1()1(2)1(2)1()()(xxxxxxxxsxs四、函数的幂级数展开四、函数的幂级数展开泰泰勒勒级级数数的的概概念念. 1 .)(!)(.)(!)(.)(!2)()()(:)()(,)(000002000000nnnnnxxnxfxxnxfxxxfxxxfxfTaylorxfxxf 级级数数为为的的泰泰勒勒函函数数具具有有任任意意阶阶可可导导的的附附近近在在假假设设函函数数.!)0(.!)0(.! 2)0()0()0(:)()(0)()(2nnnnnxnfxnfxfxffMaclaurinxf 级级

6、数数为为的的麦麦克克劳劳林林函函数数直直接接展展开开法法.2. 0)()!1()(lim0)(lim)(!)()(:. 0)()(,:)(,)(1000)1(000)(0 nnnnnnnnnxxnxxxfxRxxnxfxfxRxfnxfxxf 即即的泰勒公式中的余项的泰勒公式中的余项时时当当是是勒级数的充分必要条件勒级数的充分必要条件在该邻域可以展开成泰在该邻域可以展开成泰则则的某邻域有任意阶导数的某邻域有任意阶导数在在若函数若函数1定定理理证证明明)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk )()()(!)(000)(xRxfxxkxfnknkk . 0)(lim)()(!)(

7、lim000)( xRxfxxkxfnnknkkn.)(展展开开成成麦麦克克劳劳林林级级数数将将函函数数xexf 、例例3解解. 10 ,)!1(!1.!211)(:)(12 nxnxxxnexnxxexfexf的的麦麦克克劳劳林林公公式式为为1)!1()(0 nxnxnexR 1)!1( nxxne ;)!1(1 nxenx102lim)!1()!2(lim12 nxnxnxnnnn 11)!1(nnnx收收敛敛级级数数比比值值判判别别法法; 0)!1(lim1 nxnn)(0)( nxRn).,(!.!1.! 21102 xnxxnxxennnx.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将

8、函函数数xxxf 、例例4解解);()!12()1(.! 5! 3sin)(:sin)(221253xRnxxxxxxfxxfnnn 的的麦麦克克劳劳公公式式为为;)!32()(3222 nxxRnn;)!32(2)32(sin)!32()()(3232)32(22 nnnnxnnxxnxfxR 0)!1(lim1nxnn0)!32(lim32 nxnn; 0)(22 xRn.)!12()1(.)!12()1(.! 5! 3sin0121253 nnnnnnxnxxxxx. 10),( x).,( x)1 , 1(.,!)1).(1(.!2)1(1)1(2 xxnnxxxn .)!12()1(

9、.)!12()1(.! 5! 3sin0121253 nnnnnnxnxxxxx).,(!.!1.! 21102 xnxxnxxennnx间接展开法间接展开法. 3、例例5.)0(),ln()(的的幂幂级级数数展展开开为为将将函函数数xaxaxf 解解. 11)1()(1100 xxxxnnnnn)1ln(x dxxdxxxxnnn 000)1(11 dxxxnnn00)1(xnnnnx0101)1( . 11,1)1(10 xnxnnn. 11)1()(1100 xxxxnnnnn)1ln(ln)1(ln)ln(axaaxaxa 1)()1(ln10naxannn.)1()1(ln110ax

10、aanxannnn .1,651)(2的的幂幂级级数数展展开开为为将将函函数数 xxxxf、例例6解解)21(121)1(1131216512 xxxxxxnnnnnnxx)21()1(21)1()1(00 ;)1)(211()1(10nnnnx 1211; 111 xx).0 , 2( x、例例7.,cos)(2的的幂幂级级数数展展开开为为将将函函数数xxxf 解解;2cos212122cos1cos)(2xxxxf ),(.)!12()1(.! 5! 3sin1253 xnxxxxxnn),(.)!2()1(.! 4! 21)(sincos242 xnxxxxxnnxx2cos2121co

11、s2 02)!2()2()1(2121nnnnx).,(;)!2(4)1(212102 xnxnnnn五、幂级数的运用五、幂级数的运用公公式式欧欧拉拉)(. 1Eulerieexeexxixeixixixixix2sin;2cossincos 01220)!12()()!2()(!)(nnnnnixnixnixnixe 01202)!12()()!2()(nnnnnixnix)!12() 1()!2() 1(12002 nxinxnnnnnnxixsincos .10,sin410 要要求求误误差差不不超超过过计计算算定定积积分分dxxx近近似似计计算算方方面面的的应应用用.2解解)!12() 1()!12() 1(1sin20120 nxnxxxxnnnnnn 0102102010)!12()1()!12()1(sinnnnnnnd