等参元和高斯积分PPT课件

1、北京航空航天大学 实际问题常常需要使用一些几何形状不太规整的单元来逼近原问题。直接研究这些不规整单元的表达式比较困难（在整体坐标系下构造位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁）。事实上，形状不规整的单元和形状规整的单元（矩形单元、正六面体单元）可以建立一种映射关系，使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标系中的局部坐标一一对应。 等参单元等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。第1页/共30页北京航空航天大学4.1 等参单元等参单元 等参单元定义的给出等参单元定义的给出 平面问题四边形等参单元计算公式平面问题四边形等

2、参单元计算公式 三维问题六面体等参单元计算公式三维问题六面体等参单元计算公式 采用等参单元的优点采用等参单元的优点第2页/共30页北京航空航天大学等参单元定义的给出 等参单元：用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示出单元的几何坐标与位移的单元，称为等参单元。 等参单元的插值函数用自然坐标给出。 如果坐标变换节点数多于位移插值的节点数，称为超参变换。反之，如果坐标变换节点数少于位移插值的节点数，则称为亚参变换。第3页/共30页北京航空航天大学平面问题四边形等参单元的推导平面问题四边形等参单元的推导整体直角坐标整体直角坐标单元局部自然坐标( , )P x y( , )P （一般四边形）（规

3、格化的矩形）( , )P x y( , )P 映射11( ,)x y44(,)xy33(,)xy22(,)xy坐标映射第4页/共30页北京航空航天大学( , )( , )xxyy 12341234xy ( , )P x y( , )P 映射( ,)( ,)iiiiiixxyy 节点条件：构造插值函数112 1314 1 1212232422312333433412434444xxxx 11234212343123441234xxxx11332244( ,)( 1, 1) (,)(1,1)(,)(1, 1) (,)( 1,1) 第5页/共30页北京航空航天大学11223344 1 1 1 11

4、1 1 111 1 1 14 1 1 1 1xxxx11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1yyyy12341 1223344123411223344xN xN xN xN xyN yN yN yN y 132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN第6页/共30页北京航空航天大学1122123431234344000 0000 0 xyxyNNNNxxNNNNyyxy ( , )( , )e xNx第7页/共30页北京航空航天大学12341234( ( , ), ( , )( , )( ( , ), ( , )( ,

5、 )u xyuv xyv 11( ,)x y44(,)xy33(,)xy22(,)xy( 1, 1) ( 1,1)(1,1)(1, 1)( ,)( ,)iiiiiiuuvv 节点条件：11332244( ,)( 1, 1) (,)(1,1)(,)(1, 1) (,)( 1,1) 位移函数第8页/共30页北京航空航天大学112 1314 1 1212232422312333433412434444uuuu 11234212343123441234uuuu11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1uuuu11223344 1 1 1 11 1 1 111 1

6、1 14 1 1 1 1vvvv同理可得：第9页/共30页北京航空航天大学12341 122334412341 1223 344( ( , ), ( , )( ( , ), ( , )u xyN uN uN uN uv xyN vN vN vN v 132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN1122123431234344000 0( ( , ), ( , )000 0 ( ( , ), ( , )uvuvNNNNu xyuNNNNv xyvuv ( ( , ), ( , )( , )exy uNq第10页/共30页北京航空航天大学单元的几何坐标与位移用

7、同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示。形状函数用自然坐标给出。( , )( , )e xNx( ( , ), ( , )( , )( , )exy uuNq132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN第11页/共30页北京航空航天大学12341234 0 0 0 0 0( , )0 0 0 0 0 xNNNNNNNNyyx B ( ( , ), ( , )( , )( , )( , )eexy uNqBq132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNNiiNxNy?第12页/共30页北京航空航天大学1 iiiiii

8、iiiiiiiiiNNNxyxyNNNxyxyNxyNNxxNNNxyyyNNxNy JJ*1 iNJJJ偏导数变换 xyxyJ雅可比矩阵：第13页/共30页北京航空航天大学11111111( ( , ), ( , )( ( , ), ( , )( , )( , )( , )TeTeSxyxytdxdytd dd d KBDBBDBJFJ111111TTeepTTeeepbSebepdVdAtd dtCd PN bN pPPPN b JPN p1/222xyC在常数的面上第14页/共30页北京航空航天大学四边形等参单元形状要求四边形等参单元形状要求0J不能有重节点不能出现内角大于180o的情况

9、内角最好介于30o-150o之间（有限变形的情况）避免出现第15页/共30页北京航空航天大学三维问题六面体等参单元的计算公式( , )( , )e xNx( , )( , )( , )ex y uuNq8 3第16页/共30页北京航空航天大学 xyzxyzxyzJ( , )( , )( , )ex y uuNq ( , , )( , , ) BN第17页/共30页北京航空航天大学111111TTeedVd d d KB DBB DB J1111TTepepSdACd d PN pN pTTeepeeepbSdVdAPN bN pPP111111TTeebdVd d d PN bN b J在常数

10、的面上1/2222yzyzzxzxxyxyC第18页/共30页北京航空航天大学采用等参单元的优点 借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。 等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算都是在自然坐标系中规格化的母单元内进行，相关运算大大简化。 不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的通用化程序。第19页/共30页北京航空航天大学4.2 数值积分 数值积分及其基本思想 Newton-cotes积分公式 Gauss-Legendre积分公式 等参元中积分阶次的选择第20页/共30页北京

11、航空航天大学关于数值积分 计算刚度矩阵及等效节点载荷列阵的元素时，往往涉及到复杂函数的定积分，在有限元分析中广泛采用数值积分方法。 数值积分方法是一种近似的方法。一个函数的定积分可以通过n个结点的函数值的加权组合来表示111111TTeeeeeedVd d d KB DBB DB J1( )( )nbiiaifdA f第21页/共30页北京航空航天大学数值积分的基本思想( ),( ),( ,1,2,., )( )( ), )( ) : ( ),(1,2,., )( )?( ),I( )( )baiiibbaafdninffinfddff 对于一个定积分 I构造一个多项式使得在区间内 个点上与相

12、同 即(则用来近似代替积问题是如何构造多项式使其对有最好分式变的逼近为第22页/共30页北京航空航天大学求积公式插值法1101111111(1,2,., ),( ), )=( ) ( ) ( )(1)1 ,( ),()0 , innniinininjnniijjijj ininLagrangelfaaalnLagrangeijllij 基于区间内 个结点将多项式取为插值多项式即(其中为阶插值函数显然11111 )( )( )( ),I( )( )( ) ( ) ( )( )( )iinbbbniiaaainnbniiiiaiifffddlfdldfA f (则用来近似代替积分式变为至少具有n-

13、1次代数精度第23页/共30页北京航空航天大学Newton-cotes求积公式 如果n个结点 等距分布，则前面的插值型求积公式称为Newton-cotes求积公式。 Newton-cotes求积公式具有n-1次代数精度 几个常用求积公式 梯形公式，n=1 Simpson公式，n=2(1,2,., )iin( )( )( )2babaf x dxf af b( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b第24页/共30页北京航空航天大学Gauss-Legendre求积公式 n个插值结点非等距分布 结点和积分权系数可以查表111()(niiiAfdf第25页/共30页北京航空航天大学 高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分。 高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式，用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分结果。 第26页/共30页北京航空航天大学等参元高斯求积公式的