功率谱估计模型法

1、整理ppt1功率谱估计功率谱估计 - -参数估计方法参数估计方法整理ppt2周期图法的不足周期图法的不足v估计方法的方差性能差估计方法的方差性能差 在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算v分辨率低分辨率低 样本数据x(n)是有限长的，相当于在无限长样本数据中加载了窗函数(矩形窗、Hanning等)整理ppt3参数模型功率谱估计参数模型功率谱估计vMA模型模型vAR模型模型vARMA模型模型整理ppt4平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型v如果一个宽平稳随机信号如果一个宽平稳随机信号x(n)通过一个线性时不通过一个线性时不变系统变系统(LSI)h(n)，则系统输出，则系统输出y(n)也是

2、宽平稳随也是宽平稳随机过程，并且机过程，并且y(n)的功率谱密度和的功率谱密度和x(n)的功率谱的功率谱密度满足下式：密度满足下式：v其中其中Pyy、Pxx分别为系统输出、输入的功率谱密分别为系统输出、输入的功率谱密度，而度，而H(w)为系统脉冲响应的傅立叶变换。为系统脉冲响应的傅立叶变换。2( )( ) |( )|yyxxhPwPwHw整理ppt5平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型v如果系统输入为白噪声信号如果系统输入为白噪声信号u(n)，其功率谱密，其功率谱密度为常数度为常数2，则输出信号功率谱密度，则输出信号功率谱密度Pxx(w)完全完全由系统传递函数由系统传递函数|H(w)|

3、2决定，因此我们通过对决定，因此我们通过对H(w)进行建模，从而得到输出信号的功率谱密进行建模，从而得到输出信号的功率谱密度。度。H(z)u(n)x(n)整理ppt6平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型v在上图中，输入在上图中，输入u(n)为白噪声信号，其方差为为白噪声信号，其方差为2 ，则系统输出，则系统输出x(n)的功率谱密度的功率谱密度Pxx(w)为：为：22( )|( )|xxPwH w整理ppt7平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型v因此我们利用确定性系统传递函数因此我们利用确定性系统传递函数H(z)的特性的特性去表征随机信号去表征随机信号x(n)的功率谱密度，称为参

4、数模的功率谱密度，称为参数模型功率谱估计。型功率谱估计。v参数模型功率谱估计的步骤：参数模型功率谱估计的步骤： 对H(z)选择合适的模型：MA模型、AR模型、ARMA模型 根据已知样本数据x(n)，或者x(n)的自相关函数，确定H(z)的参数 利用H(z)估计x(n)的功率谱。整理ppt8平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型vH(z)的模型：的模型： AR模型：auto-Regressive 此模型只有极点，没有零点，对应其幅度谱结构存在谱峰11( )1piiiH za z整理ppt9平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型 MA模型：Moving-Average 此模型只有零点，

5、没有极点，对应幅度谱结构中存在谱谷点。1( )1qiiiH zb z 整理ppt10平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型 ARMA模型： 此模型同时有零点、极点，对应幅度谱结构中存在谱峰、谱谷111( )1qiiipiiib zH za z整理ppt11系统模型系统模型v对于一阶全极点传递函数对于一阶全极点传递函数 传递函数所对应的幅度响应实际上是：11( )1H zaz|1|( )|zH zzaza整理ppt12v当当a0整理ppt13v当当ap，因此我们利用，因此我们利用p个估计的自相关函数，个估计的自相关函数，可以对可以对mp所有的自相关函数所有的自相关函数rxx (m)进行延拓

6、，进行延拓，从而提高了自相关函数窗的长度，增加了功率从而提高了自相关函数窗的长度，增加了功率谱估计的频域分辨率。谱估计的频域分辨率。1( )()pxxk xxkrma rmk 整理ppt44AR模型阶数模型阶数p的选择的选择v如果模型的阶数过小，则会增加对功率谱的平如果模型的阶数过小，则会增加对功率谱的平滑作用，降低谱的分辨率滑作用，降低谱的分辨率v但如果阶数太高，虽然会降低预测误差的方差，但如果阶数太高，虽然会降低预测误差的方差，但会导致谱峰的分裂，增加估计误差。但会导致谱峰的分裂，增加估计误差。v这是由于阶数实际上对应于谱结构中的谱峰情这是由于阶数实际上对应于谱结构中的谱峰情况。况。整理p

7、pt45AR模型阶数模型阶数p的选择的选择整理ppt46AR模型阶数模型阶数p的选择的选择整理ppt47AR模型阶数模型阶数p的选择的选择v在进行在进行AR谱估计时，首先需要确定阶数谱估计时，首先需要确定阶数p。p的的选择可以基于以下三种准则进行。选择可以基于以下三种准则进行。v最终预测误差准则最终预测误差准则(FPE)v其中其中k为阶数，为阶数，N为样本数据为样本数据x(n)的长度，而的长度，而k表示表示k阶阶AR模型得到的白噪声方差。模型得到的白噪声方差。v上式最小值对应的阶数为最终选择的阶数。上式最小值对应的阶数为最终选择的阶数。( )kNkFPE kNk整理ppt48AR模型阶数模型阶

8、数p的选择的选择v阿凯克信息论准则阿凯克信息论准则(AIC)v同样选择使上式最小的同样选择使上式最小的k值作为模型的阶数。值作为模型的阶数。vAIC准测和准测和FPE准则在样本数据准则在样本数据x(n)长度较长时，长度较长时，估计得到的模型阶数相似。对于较短的样本数估计得到的模型阶数相似。对于较短的样本数据，建议使用据，建议使用AIC准则。准则。( )ln2kAIC kNk整理ppt49AR模型阶数模型阶数p的选择的选择v自回归传递函数准则自回归传递函数准则(CAT)v同样使得上式最小的同样使得上式最小的k为模型阶数。为模型阶数。111( )kiikNiCAT kNN整理ppt50AR模型参数

9、的求解模型参数的求解v自相关法自相关法v利用利用Yule-Walker方程得到方程得到AR模型参数模型参数ai：221( )|1|ARpjwkkkPwa e12(0)(1)(1)(1)(1)(0)(2)(2)(1)(2)(0)( )xxxxxxxxxxxxxxxxpxxxxxxxxarrrprarrrprarprprrp 整理ppt51AR模型参数的求解模型参数的求解vYule-Walker方程中的自相关函数方程中的自相关函数rxx(m)为有偏为有偏估计值：估计值：21(0)( )pxxk xxkra rk1 | |01( )( ) ()Nmxxnrmx n x nmN 整理ppt52AR模型

10、估计功率谱密度模型估计功率谱密度v系数矩阵不仅仅是对称的，而且沿着和主对角系数矩阵不仅仅是对称的，而且沿着和主对角线平行的任意一条对角线上的元素都相等，这线平行的任意一条对角线上的元素都相等，这样的矩阵称为样的矩阵称为Toeplitz矩阵，可以利用矩阵，可以利用Levinson-Durbin递推算法得到递推算法得到p个参数个参数ai以及方差以及方差2。整理ppt53AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v如果采用有偏估计得到自相关函数，就可以利如果采用有偏估计得到自相关函数，就可以利用用Levinson-Durbin高效的求解高效的求解AR模型参数，并模型参数，并且可以保证求解的系数且可以保

11、证求解的系数ai在单位圆内，即保证在单位圆内，即保证AR模型的稳定性。这种方法称为自相关法模型的稳定性。这种方法称为自相关法v同时自相关法计算的白噪声信号功率会随着阶同时自相关法计算的白噪声信号功率会随着阶数的增加而减小或者保持不变。数的增加而减小或者保持不变。整理ppt54AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v但自相关法也存在一定的问题，由于在求解自但自相关法也存在一定的问题，由于在求解自相关函数的时候，进行了矩形加窗处理，降低相关函数的时候，进行了矩形加窗处理，降低了分辨率。了分辨率。v同时当样本数据长度较短时，估计误差会比较同时当样本数据长度较短时，估计误差会比较大，出现谱峰偏移和谱

12、线分裂。大，出现谱峰偏移和谱线分裂。整理ppt55AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v协方差法协方差法(1)(1,1)(2,1)( ,1)(0,1)(2)(1,2)(2,2)( ,2)(0,2)(1, )(2, )( , )(0, )( )pxxxxpxxxxxxxxparrr prarrr prrprpr p prpap 整理ppt56AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v其中的自相关函数为：其中的自相关函数为：v同时白噪声的方差为：同时白噪声的方差为：1*1( , )()()Nxn pr k lx nl x nkNp21(0,0)(0, )pxxk xxkra rk整理ppt57

13、AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v计算自相关函数时，样本数据的取值范围与自计算自相关函数时，样本数据的取值范围与自相关法不同，这样保证了不对样本数据进行矩相关法不同，这样保证了不对样本数据进行矩形窗的截断，因此如果样本函数的长度较短时，形窗的截断，因此如果样本函数的长度较短时，可以获得比自相关法更好的谱分辨率。如果样可以获得比自相关法更好的谱分辨率。如果样本函数的长度远远大于阶数本函数的长度远远大于阶数p时，自相关法和协时，自相关法和协方差法的性能是差不多的。方差法的性能是差不多的。v同时协方差法求解的是非同时协方差法求解的是非Toeplitz阵，不能用迭阵，不能用迭代的方法计算，因此

14、运算复杂度较大。同时也代的方法计算，因此运算复杂度较大。同时也不能像自相关法一样保证不能像自相关法一样保证AR模型的稳定性。模型的稳定性。整理ppt58AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v修正的协方差法修正的协方差法v与协方差法类似，自相关函数的求解修正为：与协方差法类似，自相关函数的求解修正为：v同时估计的白噪声方差为：同时估计的白噪声方差为：1*1*01( , )()()2()() ()Nxn pNpnr k lx nl x nkNpx nk x nl 21(0,0)(0, )pxxk xxkra rk整理ppt59AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v修正的协方差法从线性预测的

15、角度分析，实际修正的协方差法从线性预测的角度分析，实际上是同时进行前向、后向预测，因此其估计谱上是同时进行前向、后向预测，因此其估计谱的分辨率比较高，谱峰的偏移也比较小。的分辨率比较高，谱峰的偏移也比较小。v但缺点同样是需要求解非但缺点同样是需要求解非Toeplitz阵，计算比较阵，计算比较复杂。复杂。整理ppt60AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度vBurg递推法递推法以上提到的自相关法、协方差法和修正的协方差以上提到的自相关法、协方差法和修正的协方差都要估计样本数据的自相关函数，如果能免去都要估计样本数据的自相关函数，如果能免去自相关函数的求解，从而直接根据样本函数得自相关函数的求解

16、，从而直接根据样本函数得到到AR模型参数模型参数ai，从而可以减少中间步骤，提，从而可以减少中间步骤，提高谱估计的性能。同时采用前向、后向线性预高谱估计的性能。同时采用前向、后向线性预测。测。这种算法对短数据的功率谱估计比自相关函数法这种算法对短数据的功率谱估计比自相关函数法要准确。要准确。整理ppt61应用应用v针对含噪正弦信号针对含噪正弦信号v数据数据64点，采用分段平均周期图法和点，采用分段平均周期图法和AR模型模型1122( )5*sin()5*sin()( )x nwnwnv n整理ppt62应用应用vAR模型，模型，周期图法周期图法0123456-10-5051015202530整

17、理ppt63应用应用v数据长度为数据长度为64，采用分段的周期图法和，采用分段的周期图法和AR模型模型( )( )(2)x nw nw n( )22cos2xxPww整理ppt64应用应用vAR模型，模型，周期图法周期图法0123456-15-10-50510整理ppt65应用应用v数据长度为数据长度为64点，取不同阶数点，取不同阶数(4、20)的的AR模型模型对谱估计的影响。对谱估计的影响。( )( )0.18* (2)x nv nx n整理ppt66应用应用01234567-2-1.5-1-0.500.511.522.5整理ppt67MA模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v与与AR模型一

18、样，首先推导模型一样，首先推导MA参数参数bi与样本数与样本数据据x(n)的正则方程。的正则方程。v首先，首先，MA模型参数为：模型参数为：1( )1qiiiH zb z 整理ppt68MA模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v输入白噪声信号输入白噪声信号u(n)、MA模型以及输出模型以及输出x(n)之之间为线性卷积的关系：间为线性卷积的关系：v与与AR模型进行相同的分析，得到：模型进行相同的分析，得到：1( )( )()qkkx nu nu nk b200,1,., ( )0q mkm kkxxb bmqrmmq整理ppt69MA模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度vMA模型只有模型只有q个

19、零点，并且注意个零点，并且注意MA的正则方的正则方程，程，MA模型计算的自相关函数的取值范围为模型计算的自相关函数的取值范围为-q q，并且类似于，并且类似于MA模型参数模型参数bi的自相关函数的自相关函数v这样估计的功率谱密度为：这样估计的功率谱密度为：221( )|1|qjwkkkP wb e整理ppt70MA模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v注意到，根据计算的自相关函数注意到，根据计算的自相关函数rxx(m)得到的功得到的功率谱为：率谱为：v因此从谱估计的角度，因此从谱估计的角度，MA模型谱估计等效于经模型谱估计等效于经典谱估计中的自相关法，谱估计的分辨率低。典谱估计中的自相关法，谱

20、估计的分辨率低。( )( )qjwmBTxxmqPwrm e220|qjwkkkb e整理ppt71ARMA模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度vARMA模型实际上模型实际上AR模型和模型和MA模型的综合，模型的综合，其正则方程为：其正则方程为：v其中其中h(k)为为ai和和bi的函数，因此该方程为非线性的函数，因此该方程为非线性方程，求解较为复杂。方程，求解较为复杂。2101()( )0,1.,( )()pq mk xxkkkxxpk xxka rmkh k bmqrma rmkmq整理ppt72最大熵谱估计方法最大熵谱估计方法vrxx(k)的最大熵外推法的最大熵外推法v经典谱估计中是零值外

21、推，对于窄带信号是很经典谱估计中是零值外推，对于窄带信号是很不精确的，如何对不精确的，如何对rxx(k)进行外推？进行外推？v这里这里re(k)表示自相关函数的外推值表示自相关函数的外推值1(1)| | (1)( )( )( )NjwkjwkxxxxekNkNPwrk er k e整理ppt73最大熵谱估计方法最大熵谱估计方法v对对re(k)的约束条件是什么？的约束条件是什么？ 保证得到的功率谱密度是实数，并且是非负的。 使随机信号x(n)的熵最大，等价为使得x(n)尽可能的白化，对功率谱而言，使得估计的功率谱Pxx(w)尽可能平坦。整理ppt74最大熵谱估计方法最大熵谱估计方法v对于能量有限

22、的信号，具有高斯分布的随机信对于能量有限的信号，具有高斯分布的随机信号号x(n)具有最大的熵率，并且具有最大的熵率，并且x(n)是高斯是高斯AR过过程，即程，即x(n)的功率谱是全极点形式的谱结构。的功率谱是全极点形式的谱结构。整理ppt75最大熵谱估计方法最大熵谱估计方法v根据以上要求外推的自相关函数根据以上要求外推的自相关函数rxx(k)：v而而ap为自相关正则方程的解：为自相关正则方程的解：1( )()0pxxk xxkrka rkll 11(0)(1)( )1(1)(0)(1)00( )(1)(0)xxxxxxppxxxrrrparrrparprpr 整理ppt76最大熵谱估计方法最大

23、熵谱估计方法v最大熵谱估计的解释是：根据给定随机信号最大熵谱估计的解释是：根据给定随机信号x(n)，利用对利用对x(n)AR模型的限制，对自相关函数进行模型的限制，对自相关函数进行外推，并且假设外推，并且假设x(n)为高斯分布。为高斯分布。v实际上最大熵谱估计与实际上最大熵谱估计与Yule-Walker方法估计功方法估计功率谱是等价的。率谱是等价的。整理ppt77最大熵谱估计方法最大熵谱估计方法v这里对最大熵谱估计方法的描述，用于解释该这里对最大熵谱估计方法的描述，用于解释该方法谱估计的实质问题。方法谱估计的实质问题。v最大熵估计外推对数据强加了一个全极点模型，最大熵估计外推对数据强加了一个全

24、极点模型，因此因此MEM估计是否优于传统方法，取决于所分估计是否优于传统方法，取决于所分析的信号类型，以及信号模型逼近析的信号类型，以及信号模型逼近AR过程的程过程的程度度整理ppt78特征分解法谱估计特征分解法谱估计v对于带有白噪声的正弦波组合，由于正弦波之对于带有白噪声的正弦波组合，由于正弦波之间是非谐波的关系间是非谐波的关系 ，因此不能用基于傅立叶变，因此不能用基于傅立叶变换的周期图法进行分析。而特征分解法可以得换的周期图法进行分析。而特征分解法可以得到比到比AR模型更高的分辨率，特别是信噪比比较模型更高的分辨率，特别是信噪比比较低的时候，谱估计的效果比较理想。低的时候，谱估计的效果比较

25、理想。整理ppt79特征分解法谱估计特征分解法谱估计v一阶谐波过程：一阶谐波过程：v其中复指数其中复指数A1=|A1|ej?1 , ?1是均匀分布的随机变是均匀分布的随机变量，量，w(n)是方差为是方差为w2 的白噪声的白噪声11( )( )jnwx nAew n整理ppt80特征分解法谱估计特征分解法谱估计v复数随机信号的自相关矩阵定义为：复数随机信号的自相关矩阵定义为：*(0)(1)(1)(1)(0)(2)(1)(2)(0)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrrrMrrrMRrMrMr整理ppt81特征分解法谱估计特征分解法谱估计vRss的秩为的秩为1.)(|)(2211keAkrw

26、jkwxxxxsswwRRR111111(1)(2)21(1)(2)11|1jwj Mwjwj Mwssj Mwj MweeeeRAee整理ppt82特征分解法谱估计特征分解法谱估计v定义定义v则则Rss可以用可以用e1表示：表示：v因此因此Rss的非零特征值为的非零特征值为M|A1|21111,.,jwjMw TeeeHsseeAR1121| 22111 1111|HssReAee eM Ae整理ppt83特征分解法谱估计特征分解法谱估计vRxx和和Rss的特征向量是一致的。的特征向量是一致的。vRxx的特征根是的特征根是Rss的特征根和噪声方差之和的特征根和噪声方差之和222()()()x

27、xisswwisswissiw isswiRvRRvRI vR vvv22max1|wM A整理ppt84特征分解法谱估计特征分解法谱估计v根据根据Rx 的特征值和特征矢量获得关于的特征值和特征矢量获得关于x(n)的参的参数：数： Rx进行特征值分解，最大的特征值为M|A1|2+w2 ，其它的特征值均为w2 利用Rx 的特征值求信号功率|A1|2和噪声方差：2min2maxmin1|wAM整理ppt85特征分解法谱估计特征分解法谱估计 最大特征值对应的特征矢量为e1，则e1第二个系数为 ejw1, 其频率即为w1整理ppt86特征分解法谱估计特征分解法谱估计v基于信号自相关矩阵分解的频率估计算

28、法：将基于信号自相关矩阵分解的频率估计算法：将样本空间分为信号子空间和噪声子空间，然后样本空间分为信号子空间和噪声子空间，然后用频率估计函数估计频率值。用频率估计函数估计频率值。v假设随机信号假设随机信号x(n)由由p个复指数信号和白噪声信个复指数信号和白噪声信号组成：号组成：v其中其中s(n)为正弦信号，为正弦信号，v(n)为白噪声为白噪声1( )( )( )( )ipjnwiix ns nv nAev n整理ppt87特征分解法谱估计特征分解法谱估计vX(n)信号的自相关函数：信号的自相关函数：v其中其中Pi是功率：是功率： Pi =|Ai|221( )( )ipjkwxxiwirkPek

29、 整理ppt88特征分解法谱估计特征分解法谱估计v则则x(n)的自相关矩阵为：的自相关矩阵为：(1)2(2)2(1)(2)2iiiiiijwj Mwiwiiiiijwj Mwiiwiiiixxj Mwj MwiiiwiiiPPePePePPeRPePeP整理ppt89特征分解法谱估计特征分解法谱估计v其中其中ei为：为：2Hxxsswwi i iwiRRRPee2(1)1,.,iiijwj wj MwTieeee整理ppt90特征分解法谱估计特征分解法谱估计v设设vi是是Rss的特征矢量：的特征矢量：vvi也是也是Rxx的特征矢量，并且的特征矢量，并且Rxx的特征根是的特征根是Rss特特征根和

30、噪声方差之和：征根和噪声方差之和：222()()xx isswwissiwissiiw iiwiR vRRvR vIvvvv2xsiiw整理ppt91特征分解法谱估计特征分解法谱估计vRss的秩为的秩为p，因此，因此Rss有有p个非零特征根，因此个非零特征根，因此Rxx特征根分为特征根分为p个大于个大于w2 的特征根，和的特征根，和M-p个为个为w2 的特征根的特征根。v对应于特征根的分类，特征矢量也分为两类。对应于特征根的分类，特征矢量也分为两类。实际上，大于实际上，大于w2的特征根和特征矢量对应信号的特征根和特征矢量对应信号子空间，而等于子空间，而等于w2的特征根和特征矢量对应噪的特征根和特征矢量对应噪声子空间。声子空间。v这样可以根据自相关函数这样可以根据自相关函数Rxx的特征根求解，最的特征根求解，最小的特征根就是白噪声信号的方差。小的特征根就是白噪声信号的方差。整理ppt92特征分解法谱估计特征分解法谱估计v如果自相关矩阵如果自相关矩阵Rxx的维数的维数M=p+1，则，则p个大于个大于w2 的特征根，的特征根，1个等于个等于w2 的特征根，因此信号的特征根，因此信号子空间的特征矢量为子空间的特征矢量为p个，噪声子空间的特征个，噪声子空间的特征矢量为矢量为