初中数学阿氏圆最值模型归纳

1、几何模型：阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知a、b两点，点p满足pa：pb=k（k1），则满足条件的所有的点p的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图 1 所示，o 的半径为r，点 a、b 都在o 外 ，p为o上一动点，已知r=ob，连接 pa、pb，则当“pa+pb”的值最小时，p 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 ob 上截取oc使 oc=r，则可说明bpo与pco相似，则有pb=pc。故本题求“pa+pb”的最小值可以转化为“pa+pc”的最小值，其中与a与c为定点，p为动点，故当 a

2、、p、c 三点共线时，“pa+pc”值最小。【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点p使得的值最小，解决步骤具体如下：1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即op，ob2. 计算出这两条线段的长度比3. 在ob上取一点c，使得，即构造pombop，则，4. 则，当a、p、c三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在rtabc中，c=90°，ac=4，bc=3，以点c为圆心，2为半径作圆c，分别交ac、bc于d、e两点，点p是圆c上一个动点，则的最小值为_ 【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处p点轨迹

3、是圆，注意到圆c半径为2，ca=4，连接cp，构造包含线段ap的cpa，在ca边上取点m使得cm=2，连接pm，可得cpacmp，故pa：pm=2:1，即pm=问题转化为pm+pbbm最小值，故当b，p，m三点共线时得最小值，直接连bm即可得变式练习>>>1如图1，在rtabc中，acb=90°，cb=4，ca=6，圆c的半径为2，点p为圆上一动点，连接ap,bp，求，的最小值. 答案：=，=2，=，=.例题2. 如图，点c坐标为(2,5)，点a的坐标为(7,0)，c的半径为,点b在c上一动点，的最小值为_.答案：5.变式练习>>>2如图，在平面直

4、角坐标系xoy中，a(6,-1)，m(4,4)，以m为圆心，为半径画圆，o为原点，p是m上一动点，则po+2pa的最小值为_.答案：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，ab为直径，ac、bd为切线，ac1，bd2，p为上一动点，求pc+pd的最小值【解答】解：如图当a、p、d共线时，pc+pd最小理由：连接pb、co，ad与co交于点m，abbd4，bd是切线，abd90°，badd45°，ab是直径，apb90°，pabpba45°，papb，poab，acpo2，acpo，四边形aopc是平行四边形，oaop，aop90°，四边形aopc

5、是正方形，pmpc，pc+pdpm+pddm，dmco，此时pc+dp最小adam2变式练习>>>3如图，四边形abcd为边长为4的正方形，b的半径为2，p是b上一动点，则pd+pc的最小值为5；pd+4pc的最小值为10【解答】解：如图，连接pb、在bc上取一点e，使得be1pb24，bebc4，pb2bebc，pbecbe，pbecbe，pd+pcpd+pe，pe+pdde，在rtdce中，de5，pd+pc的最小值为5连接db，pb，在bd上取一点e，使得be，连接ec，作efbc于fpb24，bebd×44，bp2bebd，pbepbd，pbedbp，pep

6、d，pd+4pc4（pd+pc）4（pe+pc），pe+pcec，在rtefc中，ef，fc，ec，pd+4pc的最小值为10故答案为5，10例题4. 如图，已知正方abcd的边长为6，圆b的半径为3，点p是圆b上的一个动点，则的最大值为_【分析】当p点运动到bc边上时，此时pc=3，根据题意要求构造，在bc上取m使得此时pm=，则在点p运动的任意时刻，均有pm=，从而将问题转化为求pd-pm的最大值连接pd，对于pdm，pd-pmdm，故当d、m、p共线时，pd-pm=dm为最大值变式练习>>>4（1）如图1，已知正方形abcd的边长为9，圆b的半径为6，点p是圆b上的一个

7、动点，那么pd+的最小值为，pd的最大值为（2）如图2，已知菱形abcd的边长为4，b60°，圆b的半径为2，点p是圆b上的一个动点，那么pd+的最小值为，pd的最大值为 图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在bc上取一点g，使得bg4，pbgpbc，pbgcbp，pgpc，pd+pcdp+pg，dp+pgdg，当d、g、p共线时，pd+pc的值最小，最小值为dgpdpcpdpgdg，当点p在dg的延长线上时，pdpc的值最大，最大值为dg故答案为，（2）如图4中，在bc上取一点g，使得bg1，作dfbc于f2，2，pbgpbc，pbgcbp，pgpc，pd+pcdp+pg，dp+

8、pgdg，当d、g、p共线时，pd+pc的值最小，最小值为dg，在rtcdf中，dcf60°，cd4，dfcdsin60°2，cf2，在rtgdf中，dgpdpcpdpgdg，当点p在dg的延长线上时，pdpc的值最大（如图2中），最大值为dg故答案为，例题5. 如图，抛物线y=x2+bx+c与直线ab交于a（4，4），b（0，4）两点，直线ac：y=x6交y轴于点c点e是直线ab上的动点，过点e作efx轴交ac于点f，交抛物线于点g（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；（2）连接gb，eo，当四边形geob是平行四边形时，求点g的坐标；（3）在y轴上存在一点h，连接e

9、h，hf，当点e运动到什么位置时，以a，e，f，h为顶点的四边形是矩形？求出此时点e，h的坐标；在的前提下，以点e为圆心，eh长为半径作圆，点m为e上一动点，求am+cm它的最小值【解答】解：（1）点a（4，4），b（0，4）在抛物线y=x2+bx+c上，抛物线的解析式为y=x22x+4；（2）设直线ab的解析式为y=kx+n过点a，b，直线ab的解析式为y=2x+4，设e（m，2m+4），g（m，m22m+4），四边形geob是平行四边形，eg=ob=4，m22m+42m4=4，m=2，g（2，4）；（3）如图1，由（2）知，直线ab的解析式为y=2x+4，设e（a，2a+4），直线ac：y

10、=x6，f（a，a6），设h（0，p），以点a，e，f，h为顶点的四边形是矩形，直线ab的解析式为y=2x+4，直线ac：y=x6，abac，ef为对角线，（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），a=2，p=1，e（2，0）h（0，1）；如图2，由知，e（2，0），h（0，1），a（4，4），eh=，ae=2，设ae交e于g，取eg的中点p，pe=，连接pc交e于m，连接em，em=eh=，=，=，=，pem=mea，pemmea，=，pm=am，am+cm的最小值=pc，设点p（p，2p+4），e（2，0），pe2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，pe=，5（p+

11、2）2=，p=或p=（由于e（2，0），所以舍去），p（，1），c（0，6），pc=，即：am+cm=变式练习>>>5如图1，抛物线yax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点a（4，0），与y轴交于点b，在x轴上有一动点e（m，0）（0m4），过点e作x轴的垂线交直线ab于点n，交抛物线于点p，过点p作pmab于点m（1）求a的值和直线ab的函数表达式；（2）设pmn的周长为c1，aen的周长为c2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段oe绕点o逆时针旋转得到oe，旋转角为（0°90°），连接ea、eb，求ea+eb的最小值【解答】解：（

12、1）令y0，则ax2+（a+3）x+30，（x+1）（ax+3）0，x1或，抛物线yax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点a（4，0），4，aa（4，0），b（0，3），设直线ab解析式为ykx+b，则，解得，直线ab解析式为yx+3（2）如图1中，pmab，peoa，pmnaen，pnmane，pnmane，neob，an（4m），抛物线解析式为yx2+x+3，pnm2+m+3（m+3）m2+3m，解得m2（3）如图2中，在y轴上 取一点m使得om，连接am，在am上取一点e使得oeoeoe2，omob×34，oe2omob，boemoe，moeeob，mebe，ae+bea

13、e+emam，此时ae+be最小（两点间线段最短，a、m、e共线时），最小值am达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在rtabc中，b=90°，ab=cb=2，以点b为圆心作圆与ac相切，圆c的半径为，点p为圆b上的一动点，求的最小值.答案：.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为o，p是o上一动点，则pa+pb的最小值为_.答案：.3. 如图，等边abc的边长为6，内切圆记为o，p是o上一动点，则2pb+pc的最小值为_.答案：.4. 如图，在rtabc中，c=90°，ca=3，cb=4，的半径为2，点p是上的一动点，则的最小值为？ 5. 如图，在平面直角坐标系中，

14、p是aob外部第一象限内的一动点，且bpa=135°，则的最小值是多少？答案6. 如图，rtabc，acb90°，acbc2，以c为顶点的正方形cdef（c、d、e、f四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点c自由转动，且cd，连接af，bd（1）求证：bdcafc；（2）当正方形cdef有顶点在线段ab上时，直接写出bd+ad的值；（3）直接写出正方形cdef旋转过程中，bd+ad的最小值【解答】（1）证明：如图1中，四边形cdef是正方形，cfcd，dcfacb90°，acfdcb，accb，fcadcb（sas）（2）解：如图2中，当点d，e在ab边上时，acbc

15、2，acb90°，ab2，cdab，adbd，bd+ad+1如图3中，当点e，f在边ab上时bdcf，ad，bd+ad+（3）如图4中取ac的中点m连接dm，bmcd，cm1，ca2，cd2cmca，dcmacd，dcmacd，dmad，bd+adbd+dm，当b，d，m共线时，bd+ad的值最小，最小值7. （1）如图1，在abc中，abac，bd是ac边上的中线，请用尺规作图做出ab边上的中线ce，并证明bdce：（2）如图2，已知点p是边长为6的正方形abcd内部一动点，pa3，求pc+pd的最小值；（3）如图3，在矩形abcd中，ab18，bc25，点m是矩形内部一动点，ma15，当mc+md最小时，画出点m的位置，并求出mc+md的最小值【解答】解：（1）如图1中，作线段ab的垂直平分线mn交ab于点e，连接ec线段ec即为所求；abac，aeec，adcd，aead，abac，aa，adae，badcae（sas），bdce（2）如图2中，在ad上截取ae，使得aepa29，aead×69，pa2aead，paed