反比例函数及其图象教案

1、反比例函数及其图象教案反比例函数及其图象教学目标：1 、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；2 、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；3 、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；4 、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；5 、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力 .教学重点：结合图象分析总结出反比例函数的性质； 教学难点：描点画出反比例函数的图象教学用具：直尺教学方法：小组合作、探究式教学过程：1 、从实际引出反比例函数的概念我们在小学学过反比例关系例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比例 即vt

2、=S S是常数；当矩形面积S 一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S S是常数从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成： S 是常数 S 是常数一般地，函数 k 是常数，叫做反比例函数如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数当矩形面积S是常数时, 长 a 是宽 b 的反比例函数在现实生活中，也有许多反比例关系的例子可以组织学生进行讨论下面的例子仅 供2 、列表、描点画出反比例函数的图象 例 1 、画出反比例函数与的图象 解：列表x-6-5-4-3123456-1-1.2-1.5-26321.51.211.21.52-6-3-2-1.5-1.21说明

3、：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象 . 取点的时候最好 多取几个，正负可以对称着取分别画点描图一般地反比例函数 k 是常数，的图象由两条曲线组成，叫做双曲线 .3 、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质前面学习了三类根本的初等函数，有了一定的根底，这里可视学生的程度或展开全面 的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习 .显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？ 并能从解析式或列表中得到论证 . 以下答案仅供参考1的图象在第一、三象限 .可以扩展到 k>0 时的情形，即 k>0 时，双曲线两支各在 第一和第三象限从解析式中，也可

4、以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限 .的讨论与此类似 .抓住时机，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法 . 表达了由特殊到 一般的研究过程 .从图象中可以看出，当 x 从左向右变化时，图象呈下坡趋势 .从列表中也可以看出这 样的变化趋势 . 有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，假设除数大于零，除数越大， 商越小；假设除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当 k>0 时，函数的图象，在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小 .同样可以推出的图象的性质 .3函数的图象不经过原点，且不与 x轴、y轴交.从解析式中也可以看出，.如果x

5、 取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果 x取负值且越来越小时，y的值也越 来越趋近于零 . 因此，呈现的是双曲线的样子 . 同理，抽象出图象的性质 .函数的图象性质的讨论与次类似 .4 、小结：本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质 . 大家展开了充分的讨论，对函 数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识 .数学学习要求我们要深刻地理解，找出 事物间的普遍联系和开展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定 的解释.即数学是世界的一个局部，同时又隐藏在世界中 .5 、布置作业习题 13.81-4教学设计例如 2反比例函数及其图像一、素质教育目标一知识教学点1

6、使学生了解反比例函数的概念；2 使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；3 使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随 自变量的增加或减小而变化的情况；4 会用待定系数法确定反比例函数的解析式 .二能力训练点1 培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；2 向学生渗透数形结合的教学思想方法 .三德育渗透点1 向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；2 使学生体会事物是有规律地变化着的观点 .四美育渗透点通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣， 也培养学生积极探求知识的能力 .二、学法引导教师采用类比法、观察法、练

7、习法学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像 的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数 k 的符号 .三、重点 ? 难点 ? 疑点及解决方法1 教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析 式. 因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.2 教学难点：画反比例函数的图像 . 因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个 分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难 .3 教学疑点： 1反比例函数为何与 x 轴， y 轴无交点； 2反比例函数的图像只 能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在

8、第几象 限或说在它的每一个象限内 .4 解决方法： 1中隐含条件是或； 2 双曲线的两个分支是断开的，研究函数 的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论 .四、教学步骤一教学过程提问：小学是否学过反比例关系？是如何表达的？ 由学生先考虑及讨论一下 .答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系 .看下面的实例：出示幻灯1 当路程 s 一定时，时间 t 与速度 v 成反比例；2 当矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比例；它们分别可以写成s是常数，S是常数写在黑板上，用以得出反

9、比例函数的 概念：板书一般地，函数 k 是常数，叫做反比例函数 .即在上面的例子中，当路程 s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说： 速度 v 是时间 t 的反比例函数呢？通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足 k 是常数，就可以因此可以说速度 v是时间t的反比例函数，因为s是常量对第2个实例也一样.练习一：教材 P129中1 口答.P1301根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？答：图像和性质.通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、开展过程有一个明确的认识，以 后学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究.下面，我们就来看一个

10、例题：出示幻灯例1画出反比例函数与的图像.提问：1 画函数图像的关键问题是什么？答：合理、正确地选值列表.2 在选值时，你认为要注意什么问题？答： 1由于函数图像的特点还不清楚，多项选择几个点较好；2不能选，因为时函数无意义；3选整数较好计算和描点.这个问题中最核心的一点是关于的问题，提醒学生注意.3 你能不能自己完成这道题呢？学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先 连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：注意： 1一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线； 2这两条曲线不相交；3这两条曲线无限延伸，无限靠近 x 轴和

11、 y 轴，但永不会与 x 轴和 y 轴相交 关于注意 3可问学生：为什么图像与 x 和 y 轴不相交？ 通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和 深刻性再让学生观察黑板上的图，提问：1 当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内， y 随 x 的增大怎样变化？2 当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内， y 随 x 的增大怎样变化？ 这两个问题由学生讨论总结之后答复，教师板书：对于双曲线 1当： 1当时，双曲线的两分支位于一、三象限，y 随 x 的增大而减少； 2当时，双曲线的两分支位于二、四象限，y 随 x 的增大而增大3 反比例函数的这一性

12、质与正比例函数的性质有何异同？ 通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用练习二：教材P129中2由学生在练习本上完成，教师巡回指导P130中2、3填在书上上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的 例题：出示幻灯例 2 y 与成反比例，并且当时，求时， y 的值. 用提问的方式对此题加以分析：1y 与成反比例是什么含义？ 由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了：. 2根据这个式子，能否求出当时，y 的值？3要想求出 y 的值，必须先知道哪个量呢？ 4怎样才能确定 k 的值？用什么条件？答：用待定系数法，把时代入

13、，求出 k 的值 .5你能否自己完成这道例题：由一名同学板演，其他同学在练习本上完成 .例 3 ：，与 x 成正比例，与 x 成反比例，当时，时，求 y 与 x 的解析式 .分析：一定要先写出 y 与 x 的函数表达式，要用 x 分别把，表示出来得，要注意不能写成k，二解：设，由题意得二总结、扩展教师提问，学生思考答复：1 什么是反比例函数？2 反比例函数的图像是什么样的？3 反比例函数的性质是什么？4 命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以 及其函数解析式确实定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考 试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几

14、何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰 富了压轴题的形式和内容 .五、布置作业1 .教材 P130 中 4, 5, 62 .选做：P130 中 B1, 2六、板书设计13. 8 反比例函数及其图像引例： 1例 1：例 2：例 3：1 反比例函数：2 反比例函数的性质探究活动：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于点C,与x轴交于点Dbo(1) 求反比例函数的解析式；(2) 设点A的横坐标为m的面积为S,求S与m的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；(3) 当的面积等于时，试判断过 A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。解：( 1)过点 B 作轴于点 Ho在 Rt 中，由勾股定理，得又，点 B ( 3, 1 )o设反比例函数的解析式为o点B在反比例函数的图像上，o反比例函数的解析式为。(2) 设直线AB的解析式为。由点A在第一象限，得。又由点A在函数的图像上，可求得点 A的纵坐标为。T点 B ( 3, 1),点，解关于、的方程组，得直线AB的解析式为求得点 D 的横坐标为。过点 A 作轴于点 G 由，直线经过第一、二、三象限，,即。由此得。即。3过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不