将军饮马问题的11个模型及例题

1、将军饮马问题问题概述1路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型已知：如图，定点 A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P,使PA+PB勺值最小解：连接AB交直线l于点巳点P即为所求,PA+PB勺最小值即为线段 AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P',连接AP'、BP',在4ABP 中,AP'+BP'>AB,即 AP'+BP'>AP+BP，P为直线AB

2、与直线l的交点时，PA+PBM小.2.已知：如图，定点 A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P,使得PA+PB直最小（或 ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交l于P, 点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA'的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA,要使PA+PBM小，则 需PA'+PB值最小，从而车t化为模型1.3.已知：如图，定点 A B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P,使I PA-PB |的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P,点P即为所求；4.理由：此时I

3、 PA-PB | =AB，在l上任取异于点连接AP'、BP',由三角形的三边关系知|即 | P'A-P'B | < | PA-PB |P的一点P',P A-P B | <AB,已知：如图，定点 A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P,使I PA-PBI的值最大解：作点B关于直线l的对称点B',连接B'A并延长交于点巳点P即为所求；理由：根据对称的性质知 l为线段BB'的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB,要使I PA-PBI最大，则需I PA-PB' |值最大，从而转

4、化为模型 3.典型例题1-12如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点 A和点B,点C、D分 3别为线段AB OB的中点，点P为OA±-动点，当PC+PDt小时，点P的坐标为,此时PC+PD勺最小值为 .【分析】符合基本模型2的特征，作点 D关于x轴的对称点D',连 接CD交x轴于点P,此时PC+PD直最小，由条件知 CD为 BAO的中位线，OP为 CDD'的中位线，易求 OP长，从 而求出P点坐标；PC+PD勺最小值即CD'长，可用勾股定理 （或两点之间的距离公式，实质相同）计算 .【解答】连接CD作点D关于x轴的对称点D',连接CD交x轴2于点P

5、,此时PC+PD直取小.令 y=-x+4中x=0,则y=4,，点B坐标（0, 4）;令y=-2x+4中y=0,贝|安+4=0,解得：x= - 6,点A的坐标 33为（-6, 0）.二点C、D分别为线段 AR OB的中点，CD为ABAO的中位线，.CD/ x 轴，且 CD=2AO=3点D'和点D关于x轴对称，。为DD的中点，D' （0,-1）,OP为4CDD 的中位线，OP=2 CD=3 ,.点P的坐标为（-|, 0）.在RtACDID中，CD = CD2 DD 2 = . 32 42 =5,即 PC+PD勺最/、值为 5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型

6、变化，C、D不是AB和OB中点时，则先求直线 CD的解析 式，再求其与x轴的交点P的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0, 1）,点B的坐标为（|, -2）,点P在直线y=-x上运动，当|PA-PB|最大时点P的坐标为, |PA-PB|的最大值是.【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y=-x对称点C, 连接BC,可得直线BC的方程；求得BC与直线y=-x的 交点P的坐标；此时|PA - PB|=|PC - PB|二BC取得最大值， 再用两点之间的距离公式求此最大值.连接BC,可得直线BC【解答】作A关于直线y=-x对称点C,易得C的坐标为（-1,（的方程为y

7、= - 74 x - -5 ,与直线y= - x联立解得交点坐标 P为（4, - 4）;此时|PA-PB|=|PC -PB|=BC取得最大值，最大值 BC=JC 1）2 （ 2）2 =亨；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4,需作一次对称点，连线得交点 .变式训练1-1已知菱形OABC&平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 A （5, 0）, OB=4v5,点P是对角线 OB上的一个动点，D （0, 1）,当CP+DPt短 时，点P的坐标为（）A. （0, 0）B . （1, 1） C（6, |）D . （； 5）25577变式训练1-2如图，菱形 ABCD4对角线 AC和BD交于

8、点O, AC=2BD=2v3,E为AB的中点，P为对角线 AC上一动点，则 PE+PB勺最小值为变式训练1-3如图，已知直线y=2x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=gx2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式；M的坐标.(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大，求出点拓展模型1.已知：如图，A为锐角/ MOW卜一定点;.12.要求：在射线 OMLk找一点巳在射线ON上找一点Q使AP+PQ的值最小.解：过点A作AQL ON点Q, AQ与OMf交于点P,此时，AP+PQt小;理由：AP+P&AQ

9、当且仅当A、P、Q三点共线时,AP+PQX得最小值AQ根据垂线段最短，当AQL ON时,AQ最小.已知：如图，A为锐角/ MO的一定点;要求：在射线 OMLk找一点P,在射线。找一点Q使AP+PQ的值最小.解：作点A关于OM的对称点A ,过点A'彳AQL ON于点Q A Q交OM点P,此时AP+PQt小；理由：由轴对称的性质知 AP=A巳 要使AP+PQt小,只需A P+PQ最小，从而转化为拓展模型1已知：如图，A为锐角/ MONft 一定点；要求：在射线 OMk找一点P,在射线ON上找一点Q使 APQ的周长最小解：分别作A点关于直线 OM勺对称点Ai,关于ON的对称点A2,连接A1A

10、2交。时点P,交ON点Q,点P和点Q即为所求，此时 APQW长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知 AP=AP, AQ=AQ APQ的周长 AP+PQ+AQ=A+PQ+AQ,当 Ai、P、Q A2 四点共线时，其值最小.已知：如图，A、B为锐角/ MO的两个定点；要求：在 OM±找一点 巳在ONLh找一点Q,使四边形APQB勺周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A',作点B关于直线ON的对称点B',连接A'B'交OW P,交ONT Q, 则点P、点Q即为所求，此时四边形 APQ能长的最小值即为线段 AB和A'B'

11、的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将 PA转化为PA',将QB转化为QB,当A'、P、Q B'四点共线时，PA PQ- QB'的值最小，即 PA+PQn QB的值最小.5.搭桥模型6.已知：如图，直线mil n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在mr n之间求作垂线段 PQ使得AP+PQ+B釜小.分析：PQ为定值，只需AP+BQt小，可通过平移，使P、Q “接头”，转化为基本模型解：如图，将点 A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A',使得AA =PQ连接A B交直线n于点Q,过点Q作PQL n,交直线m于点P,线段

12、PQ即为所求，此时AP+PQ+B最小.理由：易知四边形 QPAA为平行四边形，则 QA =PA当B、Q A三点共线时，QA' +BQ最小，即AP+BQt小，PQ长为定值，此时 AP+PQ+B最小.已知：如图，定点 A、B分布于直线l两侧，长度为a（a 为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得 AP+PQ+Q鼠小分析：PQ为定值，只需 AP+QB勺值最小，可通过平移，使P、Q “接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至 A',使AA PQ=a，连接A'B交直线l于点Q,在l上截取PQ=a （P在Q左边），则线段PQ即为所求，

13、此时AP+PQ+Q的最小值为A'B+PQ即A'B+a理由：易知四边形 APQA为平行四边形，则 PA=QA,当A'、Q B三点共线时，QA+QB最小，即PA+QB最小，又PQK为定彳1此时PA+PQ+QB!最小.已知：如图，定点 A B分布于直线l的同侧，长度a（a为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得 四边形APQBW长最小分析：AB长度确定，只需 AP+PQ+Q最小，通过作 A点关于l的对称点，转化为上述模型3解：作A点关于l的对称点A,将点A'沿着平行于l的方向，向右移至 A ；使A A' =PQ=a连接A B交l于Q

14、,在l上截取QP=a （P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形 APQ耐长的最小值为A B+AB+PQ 即 A B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCM, AB=10, BC=5若点M N分别是线段 AGAB上的两个动点，则 BM+MINJ最小值为 .【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E,再过 点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN勺最小值，借助等面积法和相似可求其长度【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作ENL AB于N,贝U BM+MN=EM+MN其最小值即 EN<AB=10, BC=5ACf'aB2 BC2 =5万,等面积法求得 AC

15、边上的高为10/=2痣,，BE=4j5, 5.5易知 ABSENB，黑代入数据解得 EN=8EN BE即BM+MN勺最小值为8.【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作有些题则作动点的定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解, 对称点易解.典型例题2-2如图，/ AOB=60，点P是/AOB内的定点且 OP“5,点M N分别是射线OA OB上异于点。的动点，则PMNW长的最小值是（）A.-B.C. 6 D . 3【分析】符合拓展模型 3的特征；作P点分别关于OA OB的对称点C D,连接CD分别交OAOB于MN,此日PMNW长最小，其值为C

16、D长；根据对称性连接OCOD,分析条件知 OC提顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.【解答】作P点分别关于OA OB的对称点C D,连接CM别交OA OB于M N,如图，贝U MP=MCNP=ND OP=OD=OC=;, / BOPh BOD / AOPW AOCPN+PM+MN=ND+MN+NC=D©ODh BOP它 BOD吆 AOP吆 AOC=2 AOB=120 ,此时 PMNW长最小，作 OHHLCD于H,贝U CH=DH / OCH=30 ,OHOC* ,22CH=&HjCD=2CH=3即PMN长的最小值是3;故选：D.【小结】根据对称的性

17、质，发现 OC比顶角为120。的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形 ABCO以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系， AB交y轴于点D, AD=2，OC=G ZA=60° ,线段EF所在的直线为 OD的垂直平分线，点P为 线段EF上的动点，PMLx轴于点M点，点E与E'关于x轴 对称，连接BR E' M.(1)请直接写出点 A坐标为，点B坐标为 ;(2)当BP+PM+ME的长度最小时，请求出点 P的坐标.【分析】(1)解直角三角形求出 OD BD的长即可解决；(2)符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形 OPME是平行四

18、边形，可得OP=EMPM是定值，PB+ME =OP+PB勺值最小时，BP+PM+ME的长度最小，此时 P点为直线OB与EF的交点，结合 OB的解析式可得P点坐标;【解答】(1)在 Rt ADO43, / A=60° , AD=2 OD=Ntan60 ° =2依，. . A ( - 2, 2/3), 四边形 ABCO平行四边形，AB=OC=6 DB=6- 2=4,B (4, 273)(2)如图，连接OP .EF垂直平分线段 OD PMLOC ./ PEO=Z EOMW PMO=90 , .四边形 OMPEE矩形, PM=OE=3,OE=OE , .1. PM=OE , PM/

19、 OE ,四边形OPME是平行四边形OP=EM PM是定值,PB+ME =OP+PB勺值最小时，BP+PM+ME的长度最小， 当。P、B共线时，BP+PM+ME的长度最小，二,直线 OB的解析式为y=f!_x,2 P (2,心).【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移 (构造平行四边形)的方法，转化为基本模型 .典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为 A ( 2, 0) , O (0, 0), B (0, 4),把 AOB绕点 O按顺时针方向旋转 90° ,得到 COD(1)求G D两点的坐标；(2)求经过 A B、D三点的

20、抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上取两点E、F (点E在点F的上方)，且EF=1,使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标.【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出 E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.(1)由旋转的性质可知：OC=OA=2 OD=OB=41C点的坐标是（0, 2）, D点的坐标是（4, 0）,（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,4a-2b+c=0 j由题意，得 «16a+4b+c=0c=4%1解得 a=-2 , b=1, c=4,，所求抛物线的解析式为y=-gx2+ x + 4;1(3)

21、只需AF+CE最短，抛物线y=-2x2+ x+ 4的对称轴为x=1 ,将点A向上平移至A ( - 2, 1),则AF=AE, A A关于对称轴x=1的对称点A (4, 1),连接A2C, A2c与对称轴交于点 E, E为所求，可求得 A2c的解析式.1.773为y=-4x+ 2,当x=1时，y=4,，点E的坐标为(1, 0 ,点F的坐标为(1, 4) .【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”;其中，作对称和平移的顺序可互换变式训练2-1几何模型：条件：如图1, A, B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点P,使PA+P即值最小.方法：作点A关于直线l的对称点A',连

22、接A B交l于点P,即为所求.(不必证明) 模型应用：(1)如图2,已知平面直角坐标系中两定点A (0, -1)和B (2, - 1), P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点 P的横坐标是 ,此时PA+PB=.(2)如图3,正方形ABCDW边长为4, E为AB的中点，P是AC上一动点，连接 BD,由 正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+P郎最小值是.(3)如图4,在菱形 ABCD43, AB=10, / DAB=60 , P是对角线 AC上一动点，E, F分别 是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是 .(4)如图5,在菱形 ABCD43, A

23、B=6, / B=60° ,点G是边CD边的中点，点 E. F分别是 AQ AD上的两个动点，则 EF+ED的最小值是 .图4'图5变式训练2-2如图，矩形 ABCD43, AD=15，AB=10, E为AB边上一点，且DE=2AE连接CE与对角线BD交于F;若P、Q分别为AB边 和BC边上的动点，连接 ER PQ和QF；则四边形EPQF周长 的最小值是.变式训练2-3如图，已知直线1 1 / 1 2, 11、12之间的距离为8,点P到直线11的离为6,点Q到直线12的距离为4, PQ=4面，在直线1i上有一动点A,直线l 2上有一动点 B,满足ABX 12,且PA+AB+B

24、Qt小，此时yPA+BQ=变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，直角梯形 OABM边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上， OA=AB=2 OC=3过点B作BD± BC,交OA于点时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点D.将/ DBCg点B按顺E和F.(1)(2)(3)求经过 A B、C三点的抛物线的解析式；当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF的长；在抛物线的对称轴上取两点P、Q （点Q在点P的上方），且的周长最小，求出 P、Q两点的坐标.PQ=1要使四边形 BCPQ中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区 距离之和最短？小聪以街道为A B

25、提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使 A B到它的x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0,ADE的周长最小时，点 E的坐标是（)当A. (0, A)B. (0, -k)C. (0, 2)D. (0, £L)3333 .如图，在矩形 ABCM, AB=5 AD=3动点P满足Sapab=1 S矩形abcq则点P到A B两点距3离之和PA+PB的最小值为()A ,B.北C. 5/2D.阿4 .已知抛物线y=/x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F (0, 2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(5，3), P是抛物线y士x2+1上一个动点，4则 P

26、MF周长的最小值是()A. 3B. 4C. 5D. 6第。题第5 .如图，点A (a, 3), B (b, 1)都在双曲线y=j上，点C, D,分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABC前长的最小值为()A.b.C. 2VH>2&D. 8726 .如图，在RtABC中，/C=90° , AC=3 BC=4 D E分别是 AB BC边上的动点，贝U AE+DE 的最小值为()7 .如图，RtABC中，/ BAC=90 , AB=3, AC=6/,点 D, E 分别是边 BG AC上的动点， 贝U DA+DE勺最小值为.8 .如图，等腰 ABC的底边BC=2Q面积为120,点

27、F在边BC上，且BF=3FC EG是腰AC的 垂直平分线，若点 D在EG上运动，则 CDF周长的最小值为 .9 .如图，菱形 ABCD勺边长为6, /ABC=120 , M是BC边的一个三等分点，P是对角线 AC上的动点，当 PB+PM勺值最小时，PM的长是()A.B.26410.如图，在 RtABC中，/ ACB=90 , AC=6, BC=3 AD平分/ CAB交 BC于 D点，E, F 分别是Aq AC上的动点，则 CE+EF的最小值为(B.15Tp 24C.5D. 611.如图，在平面直角坐标系中， 反比例函数yL-*(x>0)的图象与边长是 6的正方形OABC的两边AB, BC

28、分别相交于 M, N两点.OMN勺面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是()A. 6 二C. 2 1，D. 2 ：-<iB. 1012.如图，4ABC中，的形状是 形,的最小值是 .AC=BC=2 AB=1,将它沿AB翻折得至1 ABQ贝U四边形ADBCP、E、F分别为线段AR AD DB上的任意点，则PE+PF13.如图，已知抛物线连接AG BC,已知y=x2+bx+c 与直线A (0, 3), C ( 3,y=x+3交于A, B两点，交0).(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB-MD的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上

29、一动点，连接 于点Q,问：是否存在点 巳使彳导以A 相似？若存在，请求出所有符合条件的点x轴于C D两点,PA过点P作PQ! PA交y轴P, Q为顶点的三角形与 ABCP的坐标；若不存在，请说明理由.14 .如图，在四边形 ABCD, / B=/C=90° , AB>C口 AD=AB+CD(1)用尺规作/ ADC勺平分线DE,交BC于点E,连接AE (保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，证明：AE± DE，若CD=2 AB=4,点 M N分别是 AE, AB上的动点，求 BM+MN1最小值.15 .如图，抛物线 y=ax2+bx+c (aw 0)经过点 A

30、(-1, 0), B (3, 0), C (0, 3)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点 M的坐标；(2)连接AG BC, N为抛物线上的点且在第四象限，当&nbc=Saabc时，求N点的坐标；(3)在(2)问的条件下，过点 C作直线l / x轴，动点P (33)在直线l上，动点Q (m,0)在x轴上，连接 PM PQ NQ当m为何值时，PM+PQ+QN和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值.16 .如图，直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A, C两点的二次函数 y=ax2+4x+c 的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC,点N是线段BC上的

31、动点，作 NDLx轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点 M (4, m)是该二次函数图象上一点， 在x轴、y轴上分别找点F, E,使四边形HEFM勺周长最小，求出点 F, E的坐标.ti V17 .如图1,已知抛物线y= (x-2) (x+a) (a>0)与x轴从左至右交于 A, B两点，与y a轴交于点C.(1)若抛物线过点T (1,-与)，求抛物线的解析式；(2)在第二象限内的抛物线上是否存在点D,使彳#以A、B D三点为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求 a的值；若不存在，请说明理由.(3)如图2,在(1)的条

32、件下，点 P的坐标为(-1, 1),点Q (6, t)是抛物线上的点， 在x轴上，从左至右有 M N两点，且MN=2问MN& x轴上移动到何处时，四边形PQNM图11*12备用圈的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标.18 .如图，对称轴为直线 x=2的抛物线经过 A(- 1, 0), C (0, 5)两点，与x轴另一交点 为B.已知M (0, 1), E (a, 0), F(a+1, 0), P是第一象限内抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)当a=1时，求四边形 MEFP勺面积的最大值，并求此时点P的坐标；(3)若 PC娓以点P为顶点的等腰三角形，求 a为何值时，四边形 PMEF周长最小？请说 明理由.19 .探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点Pi(xi, yi), P2(X