均匀磁化介质椭球的要点

1、13均匀磁化介质椭球的退磁因子及退磁场物理与机电工程学院 物理学2008042118 李珍 指导老师：兑自强【 摘要 】 : 介绍了磁介质的分类及其存在时静电场的基本规律。以此为基础，在椭球坐标系中求解均匀磁化介质椭球的介质分布。退磁因子和退磁场的表达式及特点。研究了椭球形状与退磁因子的关系，分析了介质磁化率对退磁场方向的影响。结论为：椭球磁介质内的退磁场是匀强磁场；退磁因子的大小与椭球形状有关，与椭球大小无关，沿椭球长轴方向的退磁因子较小；一般而言退磁方向与外磁场方向既不相同也不相反。【 关键词 】 ： 磁介质退磁因子退磁场磁化强度The damagnetizingfactor and de

2、magnetizng field of ellipsoidmaterial in uniform magnetic field .eacTher: Dui ziqiangCollege of Engineering Lizhen【Abstract】 : Introduces the classification and existing magnetic medium when the basic laws of electrostatic field.Based on thisin, the ellipsoxlal comlirate system, the magnetizing prob

3、lem of ellipsoid magnetic material in uniform magnetic field is solved . The analytical expressions of magnetic scalar potential and magnetic field in the entire space aswell as damgnetizing factors and damgnetizing field in the material are obtained The relation between the shape of ellipsoxl mater

4、ial and the damgnetizing factors as well as the influence of the material susceptilility on the direction of damgnetizing field are studied . It is found that the damgnetizing factor aiong the longer axis of e1lipsoxl is less than that along the shorter one . As the magnetizing field is along the el

5、lipsoid axisor the material is sphere the damgnetizing field is parallel with (aiong or opposite to)the magnetizing field .【 key word】 ： magnetic materia demagnetizing factordaemgannetizing field intensity of magnetization引言磁化介质中的退磁场与磁化强度的关系用退磁因子的描述， 介质中某一点处沿某方向的退磁因子等于磁化磁荷产生的同方向退磁场强度与磁化强度的比值。它与磁介质的形

6、状有关。 本文通过对磁介质存在时静磁场的基本规律的描述和对退磁因子和退磁场的分析， 更进一步的了解磁介质的分类， 得到了空间磁场、 介质中退磁场和退磁因子的表达式； 研究了椭球磁介质形状一退磁因子大小的关系，分析了介质磁化率对退磁场方向的影响。1 . 磁介质1.1 磁介质的概念由于磁场和事物之间的相互作用， 使实物物质处于一种特殊状态， 从而改变原来磁场的分布。 这种在磁场作用下，其内部状态发生变化， 并反过来影响磁场存在或分布的物质，称为磁介质。 事实上， 任何介质在磁场作用下都或多或少地发生变化并反过来影响磁场， 一次任何介质都可以看作磁介质。 真空也是一种磁介质。 磁场强度与磁通密度间的

7、关系决定于所在之处磁介质的性质。这种性质来源于物质内分子、原子和电子的性状及其相互作用。1.2 磁介质的分类按照磁介质磁化机构的不同， 磁介质可分为抗磁体、顺磁体、铁磁体、 反铁磁体和亚铁磁体五大类。1.2.1 抗磁体抗磁性是一些物质的原子中电子磁矩互相抵消， 合磁矩为零。 但是当受到外加磁场作用时，电子轨道运动会发生变化，而且在与外加磁场的相反方向产生很小的合磁矩。常见的抗磁物质：水、金属铜、碳（C） 和大多数有机物和生物组织。抗磁物质的一个重要特点是磁化率不随温度变化。物质抗磁性的应用主要有： 由物质的磁化率研究相关的物质结构是磁化学的一个重要研究内容； 一些物质如半导体中的载（ 电）流子

8、在一定的恒定 （直流 ）磁场和高频磁场同时作用下会发生抗磁共振（ 常称回旋共振） ， 由此可测定半导体中载流子（ 电子和空穴） 的符号和有效质量； 由生物抗磁 （性）组织的磁化率异常变化可推测该组织的病变（如癌变 ） 。 核磁共振谱中的抗磁性。 它是由于原子核外电子环流的作用使物质具有的磁特性。 当所产生的磁性作用在与外加磁场相反的方向时产生屏蔽， 则称为抗磁性。 如物质中存在不配对电子时， 则出现顺磁性， 而且可超过任何的抗磁性。 屏蔽与去屏蔽取决于核相对任一感生磁场的方向， 故称为各向异性效应。抗磁性各向异性是由兀和8电子云内的环流引起的。一般而言，分子中无不成对电子时, 物质呈抗磁性。1

9、.2.2 顺磁体当磁介质进入磁场, 受磁场感应, 也会产生一个小磁场. 如果小磁场和原磁场同方向 , 就会加强 （ 加强较小 ） 原磁场 . 这种磁介质就是顺磁质. 通常情况下，由于热运动使分子磁矩排列杂乱无章，介质对外不显示磁性。将顺磁质放入外磁场B0 中，在磁场的作用下，原来杂乱无章的分子磁矩转向外磁场方向整齐排列，介质被磁化而显示磁性，。铝、铂、铬、氧等磁介质属于顺磁质。 在外磁场作用下，原来取向杂乱的磁矩将定向，从而表现出顺磁性。顺磁性虽是一种弱磁性， 但也有其重要的应用， 例如， 从顺磁物质的顺磁性和顺磁共振可以研究其结构， 特别是电子组态结构； 利用顺磁物质的绝热退磁效应可以获得约

10、 1-10-3K 的超低温度， 这是一种产生超低温度的重要方法； 在顺磁性和顺磁共振基础上发展起来的顺磁微波量子放大器， 不但是早期研制和应用的一种超低噪声的微波放大器， 而且也促进了激光器的研究和发明， 在生命科学方面， 如血红蛋白和肌红蛋白在未同氧结合时为顺磁性， 但在同氧结合后便转变为抗磁性， 这两种弱磁性的相互转变就反映了生物体内的氧化和还原过程， 因而其磁性研究成为这种重要生命现象的一种研究方法； 如果目前医学上有着重要应用的核磁共振成像技术发展到电子顺磁共振成像技术， 可以预料利用这一技术便可显示生物体内顺磁物质 （ 如血红蛋白和自由基等） 的分布和变化， 这会在生命科学和医学上得

11、到重要的应用。 （ 另外，某些测氧仪的原理就是利用顺磁性）简而言之： 电子自旋产生磁场， 分子中有不成对电子时， 各单电子平行自旋， 磁场加强。这时物质呈顺磁性。1.2.3 铁磁体不同的铁磁体具有不同的临界温度， 高于该临界温度时变为普通的顺磁体， 低于该温度时有还原为铁磁体。 铁磁体在低于一定温度时， 内部存在许多自发磁化的小区域， 称为磁畴，磁畴具有磁有序结构， 同一磁畴内分子磁矩方向相同。 无外磁场时不同磁畴的取向作无规分布，宏观上不显示磁性；在外磁场作用下磁畴方向开始变化，宏观体积内的总磁矩不为零，内部可产生与外磁场方向一致的、 比外磁场要强得多的附加磁场。 外磁场撤去后仍保留部分磁化

12、强度。 当外磁场减弱时磁畴不按原来变化规律逆着退回原状， 便解释了铁磁体磁滞现象。还有铁磁体属强磁物质，是应用最广的磁介质。铁磁体的主要的特点归结为三个方面（1） 高u 值（2）非线性（3）磁滞。高 u 值是铁磁体应用特别广泛的一个主要原因。可以说，一切希望使用较小传导电流激发强大磁场的装置几乎都要采用铁磁材料。 在各种电机、 变压器、电磁铁中放置铁心就是常见实例。在线圈中置入高u铁心可以大大提高自感，实际上也可以归结为用较小传导电流获得强大磁场。 利用铁磁体的非线性可以制成各种非线性磁性元件，例如铁磁功率放大器、铁磁稳压器、铁磁倍频率及无触点继电器等。但是铁磁体的非线性也往往造成电机、 变压

13、器设计上的麻烦和运行上的问题。 非线性还会导致铁心线圈的自感不是常数（随线圈的电流或电压而变），设计和使用铁心线圈时应该注意。铁磁体的磁滞性使永磁铁的制造成为可能。 与电磁铁不同， 永磁铁无需传导电流， 因而使用方便并可免去因传导电流通过导线所带来的能量损耗。 由于这些有点， 永磁铁被广泛用于小型电机、 扬声器、耳机及电学仪表中，还可以制造录音机。1.2.4 亚铁磁体若一个物质原子胞中所有的磁性离子均指向它的磁体方向时才被称为被称为铁磁性， 假如只有部分离子的磁场指向其磁性方向， 则称此为亚铁磁性。 性质亚铁磁性物质具有高电阻率和各向异性的特性。各向异性实际上因外加场而产生。当这个外加的场按照

14、磁极排列时，它产生一个净磁偶极矩并使该磁极以外加场控制的频率进动，被称为拉莫尔进动或进动频率。作为特列， 微波信号循环被极化，与和磁极矩强烈交互的进动为同方向；当被相反方向的极化后， 该互动则非常弱。当互动强烈时， 该微波信号可以穿过该材料。 此方向性性质被用于微波设备中， 像隔离器， 循环器和旋转器中。 亚铁磁性物质还被用于生产光频隔离器和光学循环器中。1.2.5 反铁磁体若一个物质原子胞中所有的磁性离子均指向它的磁体方向时才被称为被称为铁磁性， 假如只有部分离子的磁场指向其磁性方向， 则称此为亚铁磁性。 若其磁性离子所指的方向正好相互抵消（尽管所有的磁性离子只指向两个正好相反的方向）则被称

15、为反铁磁性。1.3 磁介质的退磁场与退磁因子1.3.1 退磁场材料的磁反状态， 不仅依赖于它的磁化率， 也依赖于样品的形状。 当一个有限大小的样品被外磁场磁化时， 它两端出现的自由磁极产生一个与磁化强度方向相反的磁场， 该磁场被称为退磁场。退磁场 Hd的强度与磁体的形状及磁极的形状及磁极的强度有关。Hd=-NM这里的 N 称为退磁因子。 符号表示两者的方向相反。 由退磁场而引起的退磁能的作用不利于均匀磁化 , 而有利于形成磁畴。 如果没有交换作用能和磁晶各向异性能的制约 , 磁畴的分裂会无限制地继续 。 所以 , 磁性体内部的各种能量对磁畴的尺寸分布和畴壁的形状起着决定作用。从另一观点看, 交

16、换作用能只控制微观性质, 譬如畴壁内部。 而退磁能通常决定着整个晶体中磁化强度的分布图像, 为此就必须讨论退磁场。1.3.2 退磁因子将式子中Hd=-NM中的N称为退磁因子。其数值只与材料的形状有关。例如，对一个沿长轴磁化的细长样品， N 接近于 0. 而对于一个粗而短的样品 N 就很大。 对于一般形状的磁体，很难求出 N 的大小。所以退磁因子的计算。一般只能限于可被均匀磁化的磁性旋转椭球体。例如，若椭球体三个主轴的长度分别为啊， a,b,c 。沿三个主轴方向的退磁因子分别为Na，Nb, Neo则有：Na+Nb+Nc=1由该式可以直接得出简单形状磁体的退磁因子。2 .均匀磁介质椭球在匀强磁场中

17、的分析2.1 磁介质存在时静磁场的基本规律2.1.1 磁化电流与磁化强度磁介质的磁化可以用安培的分子电流假说来解释，由于电子运动，每个磁介质分子（或原子）相当于一个环形电流，称为分子电流，其磁矩叫做分子磁矩。没有外磁场时各分子磁矩方向杂乱，大量分子的磁矩相互抵消，宏观上不显磁性。当外磁场存在时，各分子磁矩或多或少地转向磁场方向， 这为磁化的简单模型。 在螺绕环内充满某种均匀磁介质。线圈电流在环内的磁场使磁介质的分子磁矩发生取向。为了方便，假定每个分子磁矩都是转到与外磁场相同的方向，考虑螺绕线的一个横截面，由于磁化均匀，宏观看来磁介质内部分子电流的效应互相抵消，而磁介质表面则相当于有一层面电流称

18、为磁化电流。与研究电场类似，讨论磁介质时必须区分磁化电流和非磁化电流。磁化电流是分子电流因磁化电流而呈现的宏观电流。它不相应于带点粒子的宏观位移。除磁化电流之外的电流叫做非磁化电流或称为传导电流。则有介质时磁场 B由两部分组成 B= Bo+ B', B0是由传导电流产生的，B'是由磁化电流产生的。我们把磁介质中某物理无限小体元 V内的分子磁矩之和X-1Pmi称为磁矩用M表不所以M= * P Pmi / V,对于各向同性介质而后有M=gB。磁化强度反应:2.1.2磁场强度磁化强度的引入：据安培环路定理节）B?dl U0I , I为通过以L为边界线的任一曲L面的电流。当场中存在磁介

19、质时，电流I包括传导电流与磁化电流两部分，所以有介质的安培环路定理可写为JH ?dlLIo （其中H = - M ）同样符合环路定理。由前文可知UoM=gB可导出H = （一- g）B结合上面几个式子可得磁化强度U0M与磁场强度的关系M = ）mH其中冲为介质磁化率。u为磁导率。2.2在椭球坐标系中分析磁介质椭球的磁化分布磁介质在外磁场 Ho中磁化时，介质表面出现磁化磁荷，磁化磁荷在其周围空间产生附加磁场H '.空间的磁场强度 H等于外磁场与附加磁场的和，即H = H0+ H '(1)引入磁标势U,把磁场强度H表小为(2)磁化磁荷在磁介质中产生的附加磁场H '也称为退磁

20、场(或去磁场)，它与介质磁化强度M的m=一航菽(3)其中，N是退磁因子张量.它与磁化强度内积的负值是退磁场.磁化弓II度M与磁场强度H的关系是u- U0M = H = mH (4)uo式中，u和uo分别是介质磁导率和真空磁导率，力是介质磁化率.设在直角坐标系(x, y, z)222xyz中，均匀磁介质椭球表面的万程是+ -2-+ = 1其中a,b,c是椭球的3个半轴长度.取abca吵bc ,并目在求解过程中暂不考虑a, b,c中2个或3个相等的情况.椭球外为真空，外磁场为匀强磁场H 0= (Hox,Hoy,Hoz).介质椭球内外空间的磁标势U1和U 2满足拉普拉斯方程，即2v Uj = 0 (

21、j=1,2)在磁介质椭球表面，磁标势 Uo Uz满足边界条件U 1 = U 2(6)在椭球坐标系(x,h,z)中求解磁标势Uj(j=1 , 2)椭球坐标(x,h,z)与直角坐标(x,y,z)的关系是I £+ /"n+小)( C+ 岛(c b') a' b') h& J)f n+ J"。+ J :(rt2 - e ) ( ft2 - ?);椭球坐标系中的拉普拉斯算符表示为词(联9他司，嚷其中 W=(9)(x- h)(h- z)(z- x)R = "(l + a2)(l + b2)(l + c2)l =(x,h,z)(10)(

22、11)Uox, Uoy, Uoz分别是与外磁场Ho的分量Hox, HoyH oz对应的磁标势。若磁化电荷在椭球内外产生的磁标势分别是U 1U 2，表不为Uj = UjX+Ujy+UjZ户，2)(12)式中Ujx, Ujy, Ujz分别是退磁场HQ的分量Hx, HyHz在椭球内外空间的磁标势。设外磁场H0的磁标势U0在椭球中心处为零，则 U0是Uo = - Ho>=- (Hox+ Hoy+ H0z) = Uox+Uoy + U0z椭球内外的磁标势为Uj=Uj+Uo = Ujx+Ujy + Ujz(j=1, 2)(13)根据静磁场问题解的唯一性原理，从式(5)得A Ui = Q(j=1 ，

23、2;i=x,y,z)(14)现求解式(14)中第一组方程 3 二 °(j=12)考虑到边界条件及问题的特殊性，设Ujx(x,h,z)=Uox(x,h,z) Gj (x), (j=1 , 2)(15)代入式(14),得到函数Gj (x)满足的微分方程为2d2Gj(x)d2 dGj (x)2 + ln Rx(x + a )= 0 , (j=1dx2 dxdx2)(16)积分一次得dGj(x)dxCj0Cj0(x+a2)3/2(x+b2)1/2(x+c2)1/2 R(x+a2)(j=1, 2)(17)Cjo (j=1,2)是常数积分。注意到笛卡尔坐标系中的原点(0, 0, 0)对应于椭球坐

24、标(x =-a2, h = - b22、z = - c ),Ux为椭球内的调和函数，满足Uix (0, 0, 0)=有限，也即要求 Gi(x)及其一阶导数也必须有限并连续，故 C10=0.即dG1(%x= 00 从而有 Gi(X)= Co(18)磁化电荷在椭球外产生的退磁场H及其磁标势U2在距离坐标原点无线远处趋近于零，因G （。二 g此有lim G2（x） = 0 。从式（17）解出 x(19)结合式（13）、（15）、（18）和式（19）,有根据边界条件式（6）,即U1x（x= 0） = U2x（x= 0）可以得到匕= I+Q TJ般代+疝)根据边界条件（7 ）,即 而I s'.而

25、，可导出联立求解（22）和式（23）,得 - 2 J悔0）所以_ 卬小“ ='R+ (卜(25)* 1kL Mi + i M - Ui A. | Jii )采用类似方法，可以求出U" U2y及Uiz, U2z。全部代入式(13),得出%+(U-及科冉+ (H-丛用1 -4+H-ayv；r4!才比+ (U-KArtil此,(一 %)2( + P-A.l(27)(28)式(26)和式(27)给出的磁标势U-U2既满足拉普拉斯方程(5),又满足边界条件式(6)和式根据唯一性原理，它们就是所要求解的磁标势XU1求梯度的负值，得出介质椭球内的磁场强度是 H=u0Hx:+U0H0yj+u

26、0k(29)U0 + (u- Uo)NxU0 + (u- Uo)NyU0+ (u- Uo)Nz其中i, j,k其中分别是沿直角坐标系想，x,y,z轴的单位矢量。3.计算与讨论3.1 磁化椭球中的退磁场和退磁因子根据H = Ho+ H和式(29 ),计算出介质椭球内的退磁场强度是H = - AH0xi - AyH0yj - AzH0yzj工鼠二 ( 31)抗磁质满足一1< cm <0则A <0( i= x, y; z); )y顺磁质或铁磁质的 cm>0则0VA <1(i=x , y, z).式(30)表明，磁介质椭球内的退磁场是匀强磁场.把式(29)代入式(4),又

27、能得出介质内的磁化强度为(32)3.2 退磁因子大小与磁介质椭球形状的关系式(28)表小的退磁因子张量3个非零分量Ni (i=x,y,z),就是通常所说的退磁因子.为了进一步分析它们与椭球形状之间的关系，令椭球半轴长之比是,b cl =一，m = -(33)则Ni(i= x, y,z)又能表示为N - & TN , -bi 1112'二也T且- 2 J t4+ “s(4+产(4+ $严(34)b c可见退磁因了的大小只受椭球形状的影响，与椭球的大小没有直接关系 l=2, m=".bc退磁因子Nx, Ny, Nz与椭球半长轴之比l二 和m=.的关系.可以看出，若a保持不

28、 aa变，则退磁因子 Nx, Ny, Nz受椭球形状的影响规律是：1)随着l和m的增大(即b和c的 增大)，沿a轴方向的退磁因了 N增大;2)随着l的增大(即b的增大)，沿b轴方向的退磁因子Ny减小；除1很小时以外，m的变化(即c的变化)对与gb轴方向的退磁因了 Ny,影响不大.总之，沿椭球较长轴方向的退磁因子较小，沿椭球较短轴方向的退磁因子较大3.3退磁场的方向 ' , , , 、 . 、 、.一 、 . 、介质椭球内的退磁场H与外磁场H0之间的夹角有q下式给出cosq =Ho'H'-_=- ' ih0nH i(35)其中cosf xcosf y cosf z是外磁场H0的万向的余弦。关于退磁场H万向与外磁场 H0方向之间的关系有如下结论：对于一般椭球体，a,