建筑结构抗震设计：第3章-地震作用和结构抗震验算2

1、3.4 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析多自由度弹性体系的地震反应分析 振型分解反应谱法振型分解反应谱法ii+1m1m2mimn集中质量法集中质量法：结构重力荷载、楼面荷载集中于楼面，并：结构重力荷载、楼面荷载集中于楼面，并假设这些点质点由无重的弹性直杆支撑于地面。假设这些点质点由无重的弹性直杆支撑于地面。一一. .多自由度弹性体系动力分析回顾多自由度弹性体系动力分析回顾1.1.自由振动分析自由振动分析 0ykym 运动方程运动方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 设方程的特解为设方程的特解为)sin()sin(2211tXytXy0121212111XmXkX

2、k0222222121XmXkXk1)(1ty2)(2ty00)00(2122122211211XXmmkkkk 0)(2Xmk 02mk-频率方程频率方程-振型方程振型方程解解: :例例. .求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmkm12k1EI1EI1km20121212111XmXkXk0222222121XmXkXkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 12618. 01;618. 1122122111XXXX

3、618. 111X 618. 012X1 11.6181.6181 10.6180.618 1X 2X按振型振动时的运动规律按振型振动时的运动规律m1)(1tym2)(2ty)sin()()sin()(2211iiiiiitXtytXty按按 i 振型振动时，质点的位移为振型振动时，质点的位移为质点的加速度为质点的加速度为)sin()()sin()(222211iiiiiiiitXtytXty 质点上的惯性力为质点上的惯性力为)sin()()sin()(222222211111iiiiiiiitXmymtItXmymtI 质点上的惯性力与位移同频同步。质点上的惯性力与位移同频同步。11X21X

4、211iiXm222iiXm 振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移。载所引起的静位移。2.振型的正交性振型的正交性i振型振型NiiiiXXXX21i振型上的惯性力振型上的惯性力NiiiNiNiiNiiiiXXXmmmXmXmXm212122222121 iiXm21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXj振型振型NjjjjXXXX21i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j振型上作的虚功振型上作的虚功jiijiiijXXmXXmW22221121iTjiXmX2iiXm121iiXm222NiiNXm2i振

5、型振型j振型振型j振型上的惯性力振型上的惯性力jjNiiNiiiiXmXmXmXm222221212.振型的正交性振型的正交性i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j振型上作的虚功振型上作的虚功iTjiijXmXW21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXi振型振型j振型振型j振型上的惯性力在振型上的惯性力在i振型上作的虚功振型上作的虚功jTijjiXmXW2iTjjXmX2jjXm121jjXm222NjjNXm2ijjiWW由虚功互等定理由虚功互等定理0)(22iTjijXmX0iTjXmX 在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态在任一线性变形体系中，第一状态外力在第

6、二状态位移上所作的功等于第二状态外力在第一状态位移上所作位移上所作的功等于第二状态外力在第一状态位移上所作的功！的功！振型对刚度的正交性振型对刚度的正交性: iiiXmXk2 iTjiiTjXmXXkX2 0iTjXkX振型正交性的应用振型正交性的应用1.1.检验求解出的振型的正确性。检验求解出的振型的正确性。例例: :试验证振型的正确性试验证振型的正确性mmm22.2.对耦联运动微分方程组作解对耦联运动微分方程组作解 耦运算等等耦运算等等. . 1897. 0;123. 221XXmlEImEIl1y2y 31748718718712lEIk mmmXmXT00031. 01897. 020

7、0123. 221 )/(000154. 01897. 07/487/187/187/12123. 2321lEIXkXT三三. .振型分解法振型分解法( (不计阻尼不计阻尼) )运动方程运动方程 )()()(tPtyktym 1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN设设NiiitDXty1)()(),2, 1(Nj )() )() )(11tPtDXktDXmNiiiNiii )() )() )(11tPXtDXkXtDXmXTjNiiiTjNiiiTj )()()(tPXtDXkXtDXmXTjjjTjjjTj )()()(*tPtDKtDMjjjjj 代入

8、运动方程，得代入运动方程，得方程两端左乘方程两端左乘TjX)(tDj*jM)(*tPj*jK折算体系折算体系*2/jjjMK),2, 1(Nj)()()(*tPtDKtDMjjjjj jTjjXmXM*-j振型广义质量振型广义质量-j振型广义荷载振型广义荷载 jTjjXkXK* )(*tPXPTjj-j振型广义刚度振型广义刚度*)()()(jjjjjjMtPtDMKtD *2)()()(jjjjjMtPtDtD 相当于一个折算的单自由度体系相当于一个折算的单自由度体系计算步骤计算步骤: :2.2.求广义质量、广义荷载求广义质量、广义荷载; ;3.3.求广义坐标求广义坐标; ;4.4.按下式求位

9、移：按下式求位移：NjijjtDXty)()(1.1.求振型、频率：求振型、频率：njXjj,2, 1,jTjjXmXM* )(*tPXPTjj),2, 1(nj*2)()()(jjjjjMtPtDtD ),2, 1(nj)(tDj*jM)(*tPj*jK折算体系折算体系例一例一. .求图示体系的稳态振幅求图示体系的稳态振幅. .mmm21解解: :mXmXMT211*1 tPtPtPXtPTsin0sin11)()(1*11m2m)(1tytPsin)(2tyEIEI3/415.3mlEI3231045.22692. 5mlEImlEI 111X 112XmXmXMT222*2 tPtPXt

10、PTsin)()(2*2*1*11211/)()()(MtPtDtD )(1tD*1MtPsin*1KtEIPlsin10411.232*2*22222/)()()(MtPtDtD tEIPltDsin101054.0)(322tDtDstsin)(1,11tmPsin/11222211 2211)(DXDXty例二例二. .求图示体系在突加荷载作用下的位移反应求图示体系在突加荷载作用下的位移反应. .解解: :12k1EI1EI1k2kNP8已知已知: :;102;1033231kNkkNk;1020021kgmmm加荷前静止。加荷前静止。ss/125.24;/1899. 921 211X

11、2/ 112XkgXmXMT5100011*1kgXmXMT1275022*2 kNtPXtPT168021)()(1*1 kNtPXtPT4)()(2*2tdtMPtD011*1*11)sin()()()cos1(11*1*1tMP)cos1(0032.01t)cos1(000534.0)(22ttD)(2/11)(21)()(2121tDtDtytytty211cos000534.0cos0032.000267.0tty212cos000267.0cos0064.000667.0三三.振型分解法振型分解法(计阻尼计阻尼)阻尼力阻尼力 )(tycfD1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP

12、)(tPN)(2ty)(tyN1Df2DfDNf NNNNNNcccccccccc212222111211-阻尼矩阵阻尼矩阵ijc-当质点当质点j有单位速度有单位速度 ,其余质点速度为其余质点速度为0时时, 质点质点i上的阻尼力上的阻尼力.)1(jy 若下式成立若下式成立 jiCjiXcXjjTi*0则将则将 称作正交阻尼矩阵称作正交阻尼矩阵, 称作振型称作振型j的广义阻尼系数的广义阻尼系数. c*jc运动方程运动方程 Pykycym 设设NiiitDXty1)()(),2, 1(Nj)()()()(*tPtDKtDCtDMjjjjjjj 1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)

13、(2ty)(tyN1Df2DfDNf令令*2jjjjMC*2/)()()(2)(jjjjjjjjMtPtDtDtD j-第第j j振型阻尼比振型阻尼比( (由试验确定由试验确定).).计算步骤计算步骤: : 1.1.求振型、频率求振型、频率; ;2.2.求广义质量、广义荷载求广义质量、广义荷载; ;4.4.求广义坐标求广义坐标; ;5.5.求位移求位移; ;NiiitDXty1)()(3.3.确定振型阻尼比确定振型阻尼比; ;四四. .正交阻尼矩阵的构成正交阻尼矩阵的构成 kamac10其中其中，a 0 、 a1由试验确定由试验确定。通过实测获得两个振型阻尼比通过实测获得两个振型阻尼比 和和 。ji iTiiTiiTiXkXaXmXaXcX10*1*0*iiiKaMac)(21210iiiaa同理同理)(21210jjjaa-瑞利阻尼矩阵瑞利阻尼矩阵*2iiiiMc又因为例例. .已知图示体系已知图示体系求：求： c,3m1EI1EIkm21EIkkmmmk /445.01mk /247.12mk /802.1305.021解解. .)(21211011aa)(21221