空间几何何的表面积与体积PPT课件

1、多面体的平面展开图多面体是由一些平面多边形围成的几何体，沿着多面体的某些棱将它剪开，各个面就可展开在一个平面内，得到一个平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平面展开图.第1页/共77页 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？它们的表面积？第2页/共77页右图是直六棱柱的侧面展开图。正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？的表面积？第3页/共77页正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图ha第4页/共77页侧棱与底面垂直的棱柱叫

2、做直棱柱.把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上,展开图的面积就是棱柱的侧面面积.chSch直棱柱侧第5页/共77页S直棱柱侧面积 =ch即直棱柱的侧面积等于它的底面周即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积。长和高的乘积。设棱柱的高为设棱柱的高为h，底面多边形的周长为，底面多边形的周长为c，则得到直棱柱的侧面面积计算公式：则得到直棱柱的侧面面积计算公式：直棱柱的表面积 棱柱的表面积或全面积等于侧面积与棱柱的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。底面积的和。*第6页/共77页正棱锥的展开图右图是正三棱锥右图是正三棱锥的展开图。的展开图。正棱锥的侧面展正棱锥的侧面展开图是一些全等开图是一

3、些全等的等腰三角形，的等腰三角形，底面是正多边形，底面是正多边形，如果设它的底面如果设它的底面边长为边长为a，底面，底面周长为周长为c，斜高，斜高为为h h 。第7页/共77页如果一个棱锥的底面是正多形如果一个棱锥的底面是正多形, ,并且顶点在底面并且顶点在底面的正投影是底面的中心叫做的正投影是底面的中心叫做正棱锥正棱锥. .正棱锥的侧正棱锥的侧棱长相等棱长相等, ,与底面所成的角也相等与底面所成的角也相等, ,侧面与底面侧面与底面所成的角也相等所成的角也相等. .hhc12Sch正棱锥侧面积第8页/共77页正棱锥的表面积正棱锥的表面积即正棱锥的侧面积等于它的底面即正棱锥的侧面积等于它的底面周

4、长和斜高乘积的一半。周长和斜高乘积的一半。 棱锥的表面积或全面积等于侧面棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。积与底面积的和。正正n n棱锥的侧面积计算公式：棱锥的侧面积计算公式：S S正棱锥侧正棱锥侧 =1/2=1/2nah=1/2=1/2ch* *第9页/共77页正棱台的展开图正棱台的展开图右图是正四棱右图是正四棱台的展开图，台的展开图，棱台的展开图棱台的展开图是由棱台的各是由棱台的各个侧面和上下个侧面和上下底组成的。底组成的。 第10页/共77页正棱锥被平行于底面的平面所截正棱锥被平行于底面的平面所截, ,截面和底面之截面和底面之间的部分叫做间的部分叫做正棱台正棱台. .设棱台的上

5、下底面的周长设棱台的上下底面的周长分别为分别为c,c/. .斜面为斜面为h/ /. .h1hcc12Scc h正棱台侧第11页/共77页正正n n棱台的侧面展开图是棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯个全等的等腰梯形，设棱台下底面边长为形，设棱台下底面边长为a、周长为、周长为c ， 上底面边长为上底面边长为a、周长为、周长为c，斜高为，斜高为h，可以得出正，可以得出正n n棱台的侧面积公式：棱台的侧面积公式：正棱台侧面积分析S S正棱台侧正棱台侧=n=n1/2(1/2(+ +) )=1/2(=1/2(+) )=1/2(=1/2(+) )第12页/共77页正棱台的表面积 S正棱台侧=1/2(+)

6、=1/2(+) 这一结果也可以用求两个正棱锥面积之差的这一结果也可以用求两个正棱锥面积之差的方法得出。方法得出。S S正棱台侧正棱台侧= = S S大棱锥侧大棱锥侧 S S小棱锥侧小棱锥侧棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。积的和。 *第13页/共77页第14页/共77页正棱柱正棱柱, ,正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系为正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系为: :正棱台侧面积正棱台侧面积正棱柱侧面积正棱柱侧面积正棱锥侧面积正棱锥侧面积12Scc h正棱台侧Sch正棱柱侧12Schcc 0c 第15页/共77页例1 已知棱长为a，各面均为等边三角

7、形的四面体S-ABC，求它的表面积 D分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因此只要求.因为SB=a，aSBSD2360sin所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体S-ABC 的表面积 交BC于点D解：先求 的面积，过点S作SBCBCSD BCASa第16页/共77页想一想想一想如何计算圆柱、圆锥、圆台侧面积公式。如何计算圆柱、圆锥、圆台侧面积公式。第17页/共77页OOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形第18页/共77页圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr第1

8、9页/共77页 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 )(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环第20页/共77页lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？rrr0第21页/共77页例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长15

9、cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取3.143.14，结果精确到1 1 ）？2cmcm15cm20cm15解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是999 999 2cm第22页/共77页1、几何体的侧面积就是它们的侧面展开图的面积,因此要看清楚侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系,是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键。知识小结2、对于圆台的问题,重现“还台为锥”的想方法。3、轴截面联系着母线、底面半径、高等主要元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键之一。.一般的棱柱,棱锥和棱

10、台的侧面积，按定义计算，即侧面积等于各个侧面的面积之和第23页/共77页1.1.设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶, ,高是高是0.85m0.85m底面的边是底面的边是1.5m,1.5m,制造这种塔顶需要多少平方米制造这种塔顶需要多少平方米? ?CBASD第24页/共77页2.2.圆锥的底面直径为圆锥的底面直径为5cm,5cm,母线长为母线长为10cm,10cm,如图如图, ,一只蚂蚁从点出发一只蚂蚁从点出发, ,围绕圆锥表面走一圈回到围绕圆锥表面走一圈回到原位原位, ,它至少要走多远它至少要走多远? ?A第25页/共77页蜜蜂爬行的最短路线问题.易拉罐的底面直径为8cm

11、,高25cm.分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转化为平面几何的问题. AB第26页/共77页1cm3长方体体积为多少？长方体体积为多少？V长方体长方体=abcV长方体长方体=sc第27页/共77页如何求柱体的体积？如何求柱体的体积？shSS底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。V柱体柱体=sh第28页/共77页 类似的类似的,底面积相等底面积相等,高也相等的两个锥高也相等的两个锥体的体积也相等体的体积也相等.V锥体锥体=sh1 13 3S为底面积为底面积,h为高为高.ss锥体的体积该怎么求呢？锥体的体积该怎么求呢？第29页/共7

12、7页ss/ss/hx台体的体积台体的体积V V台体台体= =1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3上下底面积分别是上下底面积分别是s/,s,高是高是h，则，则第30页/共77页V V台体台体= =1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3V柱体柱体=shV锥体锥体=1 1shsh3 3ss/ss/sS/=0S=S第31页/共77页?)14. 3(,10,10,12,8 . 5)()/8 . 7( 33取大约有多少个问这堆螺帽高为内孔直径边长为已知底面是正六边形共重如下图六角螺帽铁的密度是有一堆规格相同的铁制例mmmmmmkgcmg第32页/共77页解解. V正六棱柱正六

13、棱柱=3.74103 V圆柱圆柱= 0.785103V=1210123.74103-0.7851032.96103（mm3）=2.956cm3一个螺帽的体积为一个螺帽的体积为约有毛坯约有毛坯5.8103（2.9567.8)252(个）个）答：这堆答：这堆螺帽大螺帽大约有约有252个个第33页/共77页小结已学过的几何体的体积公式设S为底面面积,h为高 正方体,长方体的体积公式 圆锥的体积公式 棱椎的体积公式 圆台（棱台）的体积公式(设S，S为上,下底面面积,h为圆台或棱台的高）VSh13VSh1()3VSS SS hVSh第34页/共77页球没有底面，怎么样球没有底面，怎么样求球的体积呢？求球

14、的体积呢？第35页/共77页h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积第36页/共77页h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积第37页/共77页h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积第38页/共77页h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积第39页/共77页h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积第40页/共77页h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积第41页/共77页h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积第42页/共77页hH 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积曹冲称象第43页/共77页R.34,32:

15、33RVRV 从而从而猜测猜测半球半球? 半球半球V331RV 圆锥圆锥333RV 圆柱圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积球的体积第44页/共77页 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是.的矩形的矩形和和RR .2R 于于那么圆的面积就近似等那么圆的面积就近似等第45页/共77页当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式法导出球的体积公式法导出球的体积公式下面我们就运用上述方下面我们就运

16、用上述方即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积分割求近似和化为准确和第46页/共77页用分割法来求圆柱体的体积第47页/共77页是否也能用分割法来求球的体积？应该怎么分割呢？第48页/共77页先来看这一段动画，你能从中想到什么？ 当分割的层数不断增加，每一层就越接近一个圆柱体。第49页/共77页,21RRr ,)(222nRRr 已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2AO第50页/共77页 设球的半径为R，它的体积

17、只与半径R有关。 将半球分割成n层，每一层都近似于圆柱形状的“小圆片”。这些“小圆片”的体积之和就是球的体积。选第i层（由下而上），如右图。(1)Rinr ri icoBR第51页/共77页 “小圆片”的体积近似于圆柱体体积它的高就是“小圆片”的厚度底面就是“小圆片”的下底面 。第i层“小圆片”的体积Rn(1)Rinr ri icoBRir22(1) ,(1,2., )iRrRiinn32211() iiRRiVrnnn(1,2,., )in第52页/共77页半球的体积半球的体积12nVVVV半球322222212(1)1(1)(1)1Rnnnnn 3222212(1)Rnnnn321 (1)

18、(21)6Rnnnnnn32(1)( 21)16nnRn第53页/共77页结论当分层越多，即当分层越多，即n n越大时上式越接近半球的体积，越大时上式越接近半球的体积，当当n n无限大时，就能从上式得到球的体积公式。无限大时，就能从上式得到球的体积公式。 所以所以311(1)(2)16nnVR半球1nn当 无限变大时， 趋于0323VR半球343VR球第54页/共77页343VR定理: 半径是R的球的体积O O第55页/共77页回顾与反思 球的体积公式： 数学方法：分割，求近似值，化成准确值。 步骤： 1.将半径n等分 2.近似求出每一部分的体积 3.当n取无限大时，就可以得到球的体积343V

19、R球第56页/共77页例例1. 1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .3336125)25(3434cmRV注意：题目的变换第57页/共77页球的体积公式的应用 例2街心花园有许多钢球（密度是 ），每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的。如果是空心的，请计算出它的内径（结果精确到1cm）。 解：外径为50cm的钢球的质量为 街心花园的钢球质量为145000g ，而 145000517054,所以钢球是空心的。 设球的内径为2xcm，那么球的质量为 解得 答：钢球是空心的，其内径约为45cm。 27.9 /g cm3 4

20、5 07 .9()5 1 7 0 5 4 ()32g3345047.9 x 145000323（）3x11239.422x45cm（）第58页/共77页( (变式变式2) 2)把钢球放入一个正方体的有盖纸把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中盒中, ,至少要用多大的纸至少要用多大的纸? ?用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ?球内切于正方体2215056cmS侧侧棱长为5cm第59页/共77页1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积. 8倍332A AB BC CD DD D1 1C

21、C1 1B B1 1A A1 1O O正方体的体对角线为球的直径32342144421222r332)32(434333rV第60页/共77页练习练习P56 1,2,3,4例例2 如图是一个奖杯的三视图如图是一个奖杯的三视图,单位是单位是cm，试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到精确到0.01cm)866185 515151111x/y/z/第61页/共77页这个奖杯的体积为这个奖杯的体积为V=V正四棱台正四棱台+V长方体长方体+ V球球 其中 V正四棱台2215 (1515 11+11 )851.6673 V正方体=6818=864V球=11

22、3.0973433所以这个奖杯的体积为V=1828.76cm3第62页/共77页2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥, ,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越大越大, ,越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块, ,每小块

23、表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似看作球的表面积看作球的表面积. .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和接小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积近于甚至等于球的表面积. . 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，求出，如何求球的表面积公式呢如何求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, ,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球

24、的表面积公式呢? ? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球的表面积第63页/共77页oiS o球的表面积第64页/共77页第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面积第65页/共77页第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 313

25iiihSV 31 O OiSiVO O球的表面积第66页/共77页第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “小锥小锥体体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又球的体积为：又球的体积为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从而从而球的表面积Rhi的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径 第67页/共77页例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D

26、1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例题讲解例题讲解第68页/共7

27、7页OABCO 例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积解：如图，设球O半径为R，截面 O的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例题讲解例题讲解第69页/共77页.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解：在解：在 ;81256)34(343433 RV例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积例题讲解例题讲解第70页/共77页1、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法2 构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D是棱长为 的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为 ，23选A课堂练习课堂练习第71页/共77页4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_. .练习二练习二2422:134:11.若球的表面