空间解析几何基础知识PPT课件

1、xyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限第1页/共95页 .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离第2页/共95页向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：

2、单位向量：一、向量的概念或或或第3页/共95页自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OMM第4页/共95页1 加法：cba abc（平行四边形法则）特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向bac|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法第5页/共95页向量的加法符合下列运算规律：向量的加法

3、符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab第6页/共95页设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 三、向量与数的乘法第7页/共95页数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa

4、 )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系第8页/共95页同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.第9页/共95页一、空间两向量的夹角的概念：一、空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或空间两轴空间两轴

5、的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 0() 第10页/共95页空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.第11页/共95页空间一向量在轴上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影.第12页/共95页ABjuPr.BA 向量向量AB在轴在轴u上的投影记为上的投影记为关于向量的关于向量的投影定理（投影定

6、理（1 1） 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 第13页/共95页定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为负；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 第14页/共95页关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja

7、 jaaj AA BB CC （可推广到有限多个）u1a2a第15页/共95页设设a是是以以),(1111zyxM为为起起点点、),(2222zyxM为为终终点点的的向向量量，过过21, MM各各作作垂垂直直于于三三个个坐坐标标轴轴的的平平面面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21MM为为对对角角线线的的长长方方体体.二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标第16页/共95页xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在 轴上的投影x 向量在 轴上的投

8、影y 向量在 轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 第17页/共95页kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：,zyxOM 第18页/共95页向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxx

9、babababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 第19页/共95页非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式第20页/共95页xyzo 1M 2M 由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zy

10、xaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 第21页/共95页0222 zyxaaa当 时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第22页/共95页1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为第23页/共95页0)2( ba.ba .|)1(2aaa 关于数量积的说明：关于数量积的说明：一、两向量的数量积一、两向量的数量积向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba c

11、os|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.第24页/共95页数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba 第25页/共95页 cos|baba ,|cosbaba 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为,kajaiaazyx 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式kbjb

12、ibbzyx zzyyxxbabababa 第26页/共95页向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.二、两向量的向量积二、两向量的向量积第27页/共95页向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数

13、： ).()()(bababa 第28页/共95页向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出,kajaiaazyx kbjbibbzyx 第29页/共95页zzyxbaaa 000, 0 yxaa补充补充|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如，abbac 第30页/共95页定义定义 设设已已知知三三个个向向量量a、b、c，数数量量cba )(称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积，记记为为cba. .cbacb

14、a )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积第31页/共95页关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba(1)向量的混合积是一个数量向量的混合积是一个数量.第32页/共95页一、曲面方程的概念曲面方程的定义：曲面方程的定义：如果曲面如果曲面S与三元方程与三元方程0),( zyxF有下述关系：有下述关系：（1 1） 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程

15、；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形 2202020Rzzyyxx 例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为R的的球球面面方方程程.第33页/共95页以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程第34页/共95

16、页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴播放播放第35页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第36页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这

17、条定直线叫旋转曲面的轴第37页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第38页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第39页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的

18、曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第40页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第41页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第42页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线

19、旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第43页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第44页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第45页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平

20、面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第46页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴第47页/共95页 , 0,22 zyxfyoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),( zyf绕绕z轴旋轴旋转一周的转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程.同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程

21、为为 . 0,22 zxyf第48页/共95页例例 5 5 直线直线L绕另一条与绕另一条与L相交的直线旋转一周，相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫所得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫圆锥面的两直线的交点叫圆锥面的顶点顶点，两直线的夹角，两直线的夹角 20叫圆锥面的叫圆锥面的半顶半顶角角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶轴，半顶角为角为 的圆锥面方程的圆锥面方程xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程 cot22yxz oxzy cota ),y(xaz2222或第49页/共95页例例6

22、 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程（1）双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕x轴轴和和z轴轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面第50页/共95页（2）椭椭圆圆 012222xczay绕绕y轴轴和和z轴轴；绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面（3）抛抛物物线线 022xpzy绕绕z轴轴；pzyx222 旋转抛物面第51页/共95页播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直

23、线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第52页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第53页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第54页/共95页定义定义三、

24、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第55页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第56页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为

25、柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第57页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第58页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第59页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定

26、直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第60页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第61页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，

27、动直线 叫柱面的母线.CL第62页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第63页/共95页定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.CL第64页/共95页柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面xy 平面第65页/共95页从柱面方程看柱面的特征

28、： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.（其他类推）实 例12222 czby椭圆柱面 / 轴x12222 byax双曲柱面 / 轴zpzx22 抛物柱面 / 轴y第66页/共95页 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程第67页/共95页 )()()(tz

29、ztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程第68页/共95页 0),(0),(zyxGzyxF消去变量z后得：0),( yxH曲线关于 的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影第69页/共95页类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲线投影曲线,yoz

30、面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxH空间曲线在 面上的投影曲线投影曲线xoy第70页/共95页xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量一、平面的点法式方程n0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程法向量已知点),(0000zyxM,CBAn 第71页/共95页由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量

31、.,CBAn 二、平面的一般方程第72页/共95页平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过 轴；x平面平行于 轴；x, 0)3( BA平面平行于 坐标面；xoy类似地可讨论 情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论 情形.第73页/共95页,aDA ,bDB ,cDC 将代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距第74页/共95页定义定义（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的

32、夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、两平面的夹角第75页/共95页按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 第76页/共95页例例7 7 设设),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一点点，求求0P到到平平面面的的距距离离. 1PNn0P .|222000CBADCz

33、ByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式第77页/共95页xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程第78页/共95页xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxM

34、M 二、空间直线的对称式方程与参数方程第79页/共95页pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令 ptzzntyymtxx000直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程,pnms 直线方向向量直线方向向量),(0000zyxM直线上一点直线上一点第80页/共95页定义定义直线:1L,111111pzznyymxx 直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角第81页/共95页两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 第82页/共95页定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(