空间向量的夹角和距离公式讲课PPT课件

1、一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算则设),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112222/ababab1 122330a ba ba b第1页/共14页| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222

2、(,)B xyz二、距离与夹角二、距离与夹角（1）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式第2页/共14页cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb（2 2）. .两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，时，的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b第3页/共14页练习一：练习一：1.求下列两个向

3、量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0) ;ab(2)( 1,1,1),( 1,0,1) ; ab2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1)(1,1,0) ,(1,1,1) ;AB(2)( 3,1,5) ,(0,2,3) .CD第4页/共14页三、应用举例三、应用举例例例1已知、，求：已知、，求：线段的中点坐标和长度；线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则解：设是的中点，则(, )M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222,(13)

4、(03)(5 1)29 .A BdOABM第5页/共14页例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4BE11(0,0,0) ,0, 1 .4，DF1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 第6页/共14页例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。111

5、1ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，DF111115001 1,4416 BE DF111717|, |.44 BEDF111111151516cos,.17| |171744 BE DFBEDFBEDF第7页/共14页正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是C1A， D1 A1的中点，1）求cos.2）求点A到直线EF的距离。（用向量法）FEC1B1A1D1DABC课堂练习：课堂练习：第8页/共14页xyzO11111,ABCDABC DE F1.若正方体的边长为分别是

6、(1),(2).FAAEF 111CC ,D A的中点.求FE点 到直线的距离CB1A1D1C1BDAEF解:,Oxyz建立如图的空间直角坐标系得11(1,0,0),(1,1,),(,0,1).22AEF111( ,0, 1),( ,1,).222FAFE 56|,|.22FAFE 3.4FE FA 30cos,.10 FE FA课堂练习：课堂练习：第9页/共14页xyzO11111,ABCDABC DE F1.若正方体的边长为分别是(1),(2).FAAEF 111CC ,D A的中点.求FE点 到直线的距离CB1A1D1C1BDAEF解:56(1)|,|.22FAFE 由知30cos,.1

7、0 FE FA30sin,.10 FE FAM,.AEAMFE连结作11| |sin,|22AEFSFAFEFA FEAMFE 5306|.2104AM 6.4AEF故点 到直线的距离为课堂练习：第10页/共14页xyzO11111,ABCDABC DE F1.若正方体的边长为分别是(1),(2).FAAEF 111CC ,D A的中点.求FE点 到直线的距离CB1A1D1C1BDAEF思路二:M,AEAMFE连结作|sin,AEFAF FE 点 到 直 线 的 距 离 公 式 d= AF在直角三角形 AFM中|sin,|AMAF FEFA | | sin,AMFAAF FE 课堂练习：第11页/共14页四、课堂小结：四、课堂小结：1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐