电流电压向量

1、第八章 交流电路教学要求：1、理解简谐交流电的性质及其矢量表示方法。掌握单一元件交流电路的电压、电流及元件性能之间的数量关系和相位关系2、掌握R、L、C串并联电路的知量讨论方法，会用矢量法求解串、并联电路问题。3、深入理解复数法，复电压、复电流及复阻抗的概念，熟练并会运用交流欧姆定律、基尔霍夫定律求解交流电路问题的方法。4、深入理解交流电路的瞬时功率、平均功率。功率因数的概念和提高功率因数的意义，掌握提高功率因数的方法。5、深入理解串、并联谐振的特征、谐振频率和品质因数Q的意义，并会运用谐振条件求谐振频率和电路的Q值。6、了解变压器的工作原理，三相交流电的性质、线电压与相电压的概念，掌握三相电

2、路中负载的星形和三角形联接方法。 教学重点：1、R、L、C三种元件在简谐交流电路中的作用。2、交流电路的计算方法。教学难点：1、简谐交流电的复数表示2、三相电路中负载的联接§8.1 简谐交流电的产生和表示方法§8.2 交流电路中的元件§8.3 RLC串联电路§8.4 RLC并联电路§8.5 简谐交流的复数表示§8.6 交流电路的功率§8.7 简谐电路和品质因数§8.8 交流电桥 变压器原理§8.9 三相交流电§8.1 简谐交流电的产生和表示方法1、简谐交流电的产生 如图所示是交流发电机的最基本原

3、理，N和S是称为发电机定子的固定磁铁的两个磁极，在两个磁极之间的空间形成一均匀的磁场，磁场中是一个可以旋转的线圈，称为发电机的转子也称为电枢，转子线圈的两端分别与电刷接触，在线圈旋转时，通过线圈平面的磁通量发生变化，线圈中产生按正弦规律变化的电流，称为交变电流，也称为简谐交流电。简谐交流电的电动势、电压和电流的瞬时值可分别表示为2、简谐交流电的三个参量 峰值、频率和初相位是确定简谐交流电的三个基本参量。 交流电的最大值（峰值）：、 交流电的频率： 交流电的初相位： 、3、简谐交流电的有效值 交流电的有效值是根据交流电的热效应来规定的，某交流电电流i通过电阻R，在一个周期T内，电阻发的热若与某一

4、直流电电流I通过该电阻在同样时间内发的热相等，则这交流电流i与直流电流I在热效应上是相等的，就把这直流电的电流I称为交流电流i的有效值。简谐交流电的有效值等于峰值的，即4、简谐交流电的表示法（1）三角函数的表示法 式中，e、u、i是瞬时值，、是峰值，、是初相位，是角频率。（2）波形图示法 如图所示给出了交流电流的波形图。（3）振幅矢量表示法 任一简谐交流电流可以用一旋转的矢量在x轴上的投影来表示，这矢量按逆时针的方向旋转，旋转的角速度等于该交流电的角频率，在t=0时刻，这矢量与x轴的夹角等于该交流电的初相位，而矢量的大小等于交流电的峰值，如图(a)所示。交流电在任何时刻t的瞬时值为： 图(a)

5、 图(b)（4）复数表示法 复平面法： 如图(b)所示，x、y是一个复平面，x为实数轴，y为虚数轴。复数对应于复数平面中一个点，图中，称为复数的模，表示峰值；表示角频率，称为幅角，表示相位；复数在实数轴上的投影i就是瞬时值。 三角函数法： 交流电的瞬时值等于此复数的实部。 代数法： 指数法： 复数的模等于交流电的峰值，复数的幅角等于交流电的相位。5、例题例8.1-1两同频率的交流电流，其电流的峰值分别为3A和4A，初相位分别为25°和115°，它们的频率为50Hz，试求这两个交流电流的和的峰值、频率和初相位，并求出瞬时值的表达式。解：作两交流电的振幅矢量，在t=0的时刻，振

6、幅矢量如图所示。合电流的振幅矢量为由平行四边形法则，有所以§8.2交流电路中的元件1、交流电路中的纯电阻（1）电流与电压的关系 瞬时值关系 最大值关系 有效值关系 相位关系 电压与电流同相位。（2）功率 瞬时功率 平均功率此功率为实际消耗功率，称为有功功率。2、交流电路中的纯电感（1）电流与电压的关系 瞬时值关系 最大值关系 式中称为电感的感抗。 有效值关系 相位关系电压超前电流。（2）功率 瞬时功率 当>0时,表示电感从电源吸收能量；当<0时表示电感把能量送回电源。 最大功率 此功率不是实际消耗掉的功率，称为电感的无功功率。 平均功率 此式表明电感在电路上并不消耗能量。

7、（3）电感的作用 使电压超前电流的相位差。 有限制电流的作用，“阻交流，通直流；阻高频，通低频。”3、交流电路中的纯电容（1）电流与电压的关系 瞬时值关系 最大值关系 式中称为电容的容抗。 有效值关系： 相位关系：电压滞后电流。（2）功率 瞬时功率：当pC>0时表示电容器充电，吸收能量；当pC<0时表示电容器放电，放出能量。 最大功率： 此功率为无功功率。 平均功率： 此式表明电容器在电路中也不消耗能量。（3）电容的作用 使电压落后于电流的相位差。 有限制电流的作用，“隔直流、通交流；阻低频，通高频。”§8.3 RLC串联电路1、RL串联电路 电路图如图（a）所示，图（b

8、）为RL串联电路的振幅（或有效值）矢量图：图（a） 图（b）（1）电压关系瞬时关系： uR+uL=u 矢量关系： 有效值关系： （2）交流阻抗 总电压和电流的有效值之比称为RL串联电路的交流阻抗，即 （3）相位关系 总电压与电流之间的相位差为： 即总电压的相位比电流的相位超前。2、RC串联电路 电路图如图（a）所示，图（b）为RC串联电路的振幅矢量图（或有效值）： 图（a） 图（b）（1）电压关系瞬时关系： 矢量关系： 有效值关系： （2）交流阻抗 总电压和电流的有效值之比称为RL串联电路的交流阻抗，即 （3）相位关系 总电压与电流之间的相位差为： 即总电压的相位比电流的相位落后 。3、RLC

9、串联电路 电路图如图（a）所示，图（b）为RLC串联电路的振幅矢量图（或有效值）：图（a） 图（b）（1）电压关系 瞬时关系： 矢量关系： 有效值关系： （2）交流阻抗 总电压和电流的有效值之比称为RLC串联电路的交流阻抗，即式中称为电抗。（3）相位关系总电压与电流之间的相位差为：当>0时，表示电压超前电流，电路呈电感性的；当<0时，表示电压落后电流，电路程电容性的；当=0时，表示电路程电阻性的。把电阻、电抗和阻抗三者的关系用所谓阻抗三角形来表示，其中电阻R是一条直角边，电抗X是另一条直角边，阻抗Z则是三角形的斜边，如图所示。§ 8.4 RLC并联电路1、RC并联 电路图

10、如图（a）所示，图（b）为振幅矢量图。图（a） 图（b）（1）电流关系 瞬时关系： 矢量关系： 有效值关系： （2）交流阻抗 电压和总电流的有效值之比称为RC并联电路的交流阻抗，即 （3）相位关系 总电流与电压之间的相位差为 电压的相位比总电流的相位落后。2、RL并联 电路图如图（a）所示，图（b）为振幅矢量图。图（a） 图（b）（1）电流关系 瞬时关系： 矢量关系： 有效值关系： （2）交流阻抗 电压和总电流的有效值之比称为RL并联电路的交流阻抗，即 （3）相位关系 总电流与电压之间的相位差为： 电压的相位比总电流的相位超前。3、RLC并联电路 电路图如图（a）所示，图（b）为振幅矢量图。图

11、（a） 图（b）（1）电流、电压关系瞬时关系： 矢量关系： 有效值关系： （2）交流阻抗 电压和总电流的有效值之比称为RLC联电路的交流阻抗，即 （3）相位关系 总电流与电压之间的相位差为当>0时，电压超前总电流。4、用矢量图解法求解交流电路串联、并联问题的方法（1）取原点O和水平基准线OX，将一简谐量以矢量表示，画出在水平基准线方向（串联时以电流矢量作基准，并联时以电压矢量作基准），其矢量长度等于这基准交流电量的有效值。（2）从原点画出其它简谐量，它们的长度都等于该交流电量的有效值，它们与OX轴的夹角为该交流电量与基准交流电量之间的相位差。（3）用矢量加法（平行四边形法则）求出合矢量，

12、其长度为合成交流电量的有效值，它与OX轴的夹角即为它与基准交流电量的相位差。5、例题例8.4-1 一电阻R与一电感L串联，接在简谐交流电源的两端，求电感两端电压的有效值与电阻两端电压有效值之比和电流，并讨论与频率的关系。解：各电压瞬时值的关系为对应的有效值矢量关系为图（a） 图（b）因与电流同相位，超前电流，对应的矢量图如图（b）所示。由平行四边形法则，得因此得例8.4-2 一电容C=3.2F,与一电阻R=100串联，接在简谐交流电源上，电源的电压为10V，频率f=50Hz，求电流及电容两端的电压与电阻两端电压之比。解：图（a） 图（b）因故 矢量图如图（b）所示。由平行四边形法则，得

13、7;8.5 简谐交流的复数表示1、各交流量的复数式 复电压： 复电流： 复阻抗： 式中复数的模Z就是电路的交流阻抗：而幅角就是电压的相位与电流的相位之差。2、复数形式的欧姆定律 3、交流元件的复阻抗（1）电阻元件： （2）电感元件： （3）电容元件： 4、串、并联电路的复数形式（1）两个复阻抗的串联 串联电路如图所示： 复电压之间的关系： 复阻抗之间的关系： （2）两个复阻抗的并联 并联电路如图所示： 复电流之间的关系： 复阻抗之间的关系： 5、复导纳 复阻抗的倒数称为复导纳，用表示 6、基尔霍夫方程的复数形式 交流电路的基尔霍夫方程与直流电路的基尔霍夫方程相似，只要把直流电路的各个量代之以复

14、数，便得交流电路的基尔霍夫方程。（1）第一方程（节点方程） （2）第二方程（回路方程） 7、例题例8.5-1求一电阻R、电感L和电容C相并联的等效阻抗。解：，例8.5-2 附图是整流器的滤波装置。对直流电流而言，电感的”电阻”很小，电容则是一”无限大的电阻”，因此滤波器的引入几乎不改变负载上的电流分布。然而对交流电流就不同了，求输入滤波器60Hz的交变电压与滤波器输出的同频率的交变电压之比值，设负载R很大。解：对于交流成分差不多都经过电容C回到整流器。输入滤波器的电压为滤波器的输出的电压即C两端的电压为其中为交流成分的复电流，所以输出的复电压与输入的复电压之比为输出电压落后输入电压。例8.5-

15、3 讨论交流电桥。解：如图所示是交流电桥的原理图。当电桥达到平衡时BD之间无电流通过，因此在任何时刻，BD两点间的电压为零。若，分别表示阻抗，两端复电压，则电桥平衡时，必须满足下列条件根据欧姆定律得当电桥达到平衡时BD之间无电流，即于是有两个复数相等的条件是模相等，幅角亦相等，或实部相等虚部相等，所以交流电桥的平衡条件式实际包含两个条件，即解得讨论： 电容电桥根据交流电桥的平衡条件，有 电感电桥根据交流电桥的平衡条件，有§8.6 交流电路的功率1、交流电路的功率（1）瞬时功率 某一时刻的瞬时功率，等于该时刻的瞬时电压与瞬时电流的乘积，即 （2）有功功率（平均功率） 有功功率就是在一个

16、周期内，负载平均所消耗的真正功率，即 式中，U、I分别为电压、电流的有效值，为电压与电流之间的相位差。cos称为交流电路的功率因数，反映有功功率占IU的百分比。（3）无功功率 无功功率就是在单位时间内，电源与电路之间交换的功率。它并没有真正消耗在对外作功上，即 （4）视在功率 把电压与电流的有效值U、I的乘积定义为视在功率，即 （5）视在功率、有功功率和无功功率三者的关系 此式可以用一直角三角形来表示，称为功率三角形，如图所示 2、提高电路功率因数的意义和方法（1）提高功率因数的意义 减小输电线的损耗。 充分发挥电力设备（发电机、变压器）的使用效率。（2）提高功率因数的方法 当用电器是电感性元

17、件时，用一个适当的电容与之并联，就可以提高功率因数。§8.7 简谐电路和品质因数1、RLC串联电路的谐振和谐振条件 如图所示，RLC串联电路中的电流为 总阻抗为 电压与电流的相位差为 当电路元件L、C与角频率适当配合使满足时，整个电路的阻抗为极小值，电路中的电流达到最大值，且电流与电压同相位，即相位差=0。这种现象称为RLC串联电路的谐振。发生谐振时频率（谐振频率）为 称为谐振条件。2、RLC串联电路谐振时电路上的电压分配，品质因数谐振时电阻、电感和电容两端的电压分别为： 因，但相位相反，如图所示，所以电感与电容两端的总电压为零，电源的电压全部降落在电阻上。令 则 Q称为串联谐振电路

18、的品质因数，即谐振时电容和电感元件上的电压都比电源电压大Q倍，这是Q值的第一种意义。当Q>>1时，和都远大于信号源输出电压，这种现象称为RLC串联电路的电压谐振。3、RLC串联谐振电路中的能量转换 Q值的普遍含义 谐振时，任何时刻，贮藏在电容中的电场能和贮藏在电感中的磁场能的总和是恒定的，不随时间变化的，但电容器和电感器内的电场能与电感中的磁场能不停地相互转换，在电容器和电感器之间振荡着。在电场能和磁场能的转换和振荡过程中，伴随能量损耗，即电阻上发出焦耳热。电源向电路提供瞬时功率，补偿该时刻电阻上消耗的功率，保持电路中贮藏的总能量恒定不变。 若一个谐振回路贮存的能量比在一个周期T内

19、电阻上损耗的能量大得越多，则该谐振回路的质量就越好，反之，则质量越差。用回路的品质因数表示回路的质量，谐振回路的品质因数Q的普遍定义是：式中是谐振电路的振荡周期。Q值越高，谐振电路储能的效率越高，这是Q值的第二种意义。4、谐振曲线 通频带（1）谐振曲线 尚未达到谐振时，回路中电流的有效值是频率的函数，即 当时， 当时或时， 当一定时，Q值越大，电流I越小取作为自变量，对于不同的品质因数，就可得不同的曲线，如图所示，Q值越大，曲线越尖锐，回路的选择性越好，该曲线称为谐振曲线。（2）通频带 如图所示，在谐振曲线，取两个半功率点（极大值下降到时曲线对应的两点）所对应的频率和之间的频率范围，称为谐振电

20、路的通频带，即 即通频带的宽度反比于回路的品质因数，回路的品质因数越大，通频带越窄，回路的选择性越好，这是Q值的第三种意义。5、并联谐振电路 RL和C并联电路称为并联谐振电路，如图所示，回路的总复导纳为： （1）谐振条件 当总复导纳的虚部等于零时，电路达到谐振，电流与电压同相位，并联电路谐振的条件为 当，时，谐振的条件变为 （2）谐振频率 并联电路若能发生谐振，其中一条支路若是电感性，则另一支路必定是电容性的。则谐振频率为 （3）谐振时的导纳、总电流 并联电路谐振时，导纳为极小（阻抗为最大），总电流为极小值，与总电压同相位，即 （4）品质因数Q 并联谐振时，各支路电流都比总电流大Q倍，即 式中

21、 称为并联谐振电路的品质因数，通常是大于1的数，谐振时，总电流很小，但支路电流非常大，这种现象也称为电流谐振。（5）电流矢量图 并联谐振时的电流矢量图，如图所示6、例题例8.7-1 在如图所示的电路中，电源的频率是确定的，电感L的值固定，电容C的值和电阻R的值都是可以调的，设电感的电阻很小，可以忽略，求通过电阻R的电流。解：电路的复阻抗为总复电流为通过电阻的电流适当调节C的值，使，则即当时，通过R的电流与R的大小无关，构成一恒流回路。即阻抗的大小为，它与R无关；但幅角与R有关： 。在R从零变到无限大的过程中，阻抗的大小不变，幅角从变到。具有不变的模、可调的相位角。§8.8交流电桥 变

22、压器原理1、交流电桥 交流电桥是测量各种交流阻抗的基本仪器，还可以测量频率、电容、电感、Q值等电路参数，其基本原理图如图所示。当电桥平衡时，交流毫伏表（示零器）中的电流，四个臂的阻抗满足平衡条件为设 ， ， 则有 由于交流电桥有两个平衡条件，所以电桥中需要有两个可调参量；电桥调节到完全平衡后，可测得两个未知参量。2、变压器原理（1）理想变压器 变压器是以互感现象为基础的电磁装置，它的构造如图所示，联接到电源上的称为原线圈，联接到负载上的成为副线圈。满足下列条件的变压器称为理想变压器： 忽略漏磁 忽略铁芯引起的损耗即铁损耗（磁滞损耗和涡流损耗） 忽略线圈电阻即忽略导线的损耗，也称铜损耗（焦耳损耗）。 铁芯的工作状态在远离磁化饱和的区域。（2）电压变化公式 理想变压器的电压变化公式为式中、为原、副线圈的匝数，、为变压器输入、输出的复电压，负号表示、的相位相反。（3）电流变化公式 理想变压器的电流变化公式为 式中、为原、副线圈中的复电流，负号表示、的相位相反。（4）阻抗变化公式 从变压器的输入端看，一台变压器相当于一个自感与一复阻抗并联，如图所示，其等效阻抗与实际阻抗的关系为： 式中常称为反射阻抗。§ 8.9 三