八年级数学上册《菱形、菱形的性质定理菱形的判定定理》例题精讲与同步练习北师大版

1、菱形、菱形的性质定理菱形的判定定理例题精讲与同步练习【重点、难点】几何：重点：1菱形的概念。有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。2菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分菱形的一组对角；菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。3菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。难点：运用菱形的性质定理和判定定理解相关问题。【讲一讲】几何：例 1：已知：在菱形ABCD中， E、F 分别为 BC、CD的中点，求证： AE=AF。分析：由菱形的性质可以知道 AB=AD=BC=CD，又 E、F 分别为中点，则 BE=DF。另有 B=D，这样通过

2、全等三角形可以求证 AE=AF证明： ABCD为菱形， AB=ADBC=CD B=D E、F 分别为 BC、CD的中点 BE=DF在 ABE与 ADF中ABADB D BE DF ABE ADF AE=AF例 2：已知：矩形 ABCD的对角线 AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于 E、F。求证：四边形 AFCE是菱形。分析：由 EF为 AC的垂直平分线有AE=EC，AF=FC，若证 AFCE为菱形，只须证 AE=FC，通过已知 ABCD为矩形，利用矩形的性质可以证明 AOE与 COF全等。从而得到 AE=CF。证明： ABCD为矩形， AD BC 1=2。 EF为 AC的垂直平分线 AO=C

3、O在 AOE与 COF中1 2 AO CO34 AOE COF AE=FC ABCD为矩形， AD BC即 AEFC四边形 AFCE为平行四边形 EF是 AC的垂直平分线 EF AC AFCE为菱形。例 3：已知：如图在 Rt ABC中，BAC=90°， ABC的角平分线交 AC于 D，AHBC于 H，交 BD于 E，DF BC于 F。求证： AEFD为菱形。分析：利用角平分线的性质可以证明 AD=DF。由角平分线可得 ADB=BEH，从而得到 1=ADE，即 AE=AD，又可证明 AEDF，所以由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可以证明结论。证明：在 Rt ABC中， BAC=

4、90°， ADB+ABD=90° AH BC于 H 2+DBF=90° 1=2 1+DBF=90° BD平分 ABC ABD=DBF， ADB=1 AE=AD BD平分 ABC， BAC=90°DFBC于 F AD=FDAE=FD AH BC于 H，DFBC于 F AH DF，即 AEFD AEFD为平行四边形 AE=AD AEFD为菱形【同步达纲练习】几何：1已知：平行四边形 ABCD中， AC和 BD交于 O，EF 过 O点交 AD于 E，交BC于 F， HG过 O点交 AB于 H，交 CD于 G。如果 EF平分 AOD， HG平分 AOB

5、求证： EHFG为菱形2已知菱形 ABCD的对角线 AC长为 16，BD长为 12 求它的面积，边长 AB及高。3已知菱形对角线 BD=4， BAD： ADC=1： 2，求：菱形面积及对角线 AC的长。4如图，已知 O是矩形 ABCD的对角线的交点， DEAC， CEDB。DE与 CE 相交于 E求证：四边形 OCED为菱形。5求证：菱形四边中点连线组成的图形为矩形6求证：矩形四边中点连线组成的图形为菱形。参考答案【同步达纲练习】1 OE平分 AODAOE1AOD2 OH平分 AOB AOH1AOB2 AOD+AOB=180° AOEAOH118090 即 HGEF。2 ABCD为平

6、行四边形 OA=OC BO=OD ADBC AB CD DAO=BCO ABO=ODC AOE OCF， BHO ODG OE=OF OH=OG HFGE为菱形。2 ABCD为菱形， ACBD OA=OC OD=OB 又 AC=16 BD=12 OD=6 AO=8 ADOD2AO2366410 AB=10SABCD1AC BD116 12 9622 SABCD AB hSABCD96 h9.6AB103 ABCD为菱形ABCD BAD+ADC=180° BAD： ADC=1： 2 BAD=60°ADC=120° AC BD OA=OC OB=OD BD=4 OB=2，又 BAO= DAO=30° OA 2 3 AB=4 AC 2OA 43 SABCD1AC BD143483224 DE ACDE OC同理 CEOD OCED为平行四边形 ABCD为矩形AC 、 BD相交于 O OA=OC OD=OB且 AC=BD OD=OC OCED为菱形。5证明：连结 AC、 BD相交于 OEH/1 ACFG /1AC22 EH /FG EF BD又 ABCD为菱形 AC BD EF GF EFGH为矩形。6