高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)

1、学习必备欢迎下载轨迹方程的经典求法一、定义法： 运用有关曲线的定义求轨迹方程例 2：在 ABC 中， BC24，AC， AB 上的两条中线长度之和为39，求 ABC 的重心的轨迹方程解： 以线段 BC 所在直线为x 轴，线段 BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1， M 为重心，则有BM CM239 263 M 点的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，其中 c 12，a 13 ba2c25 22所求 ABC 的重心的轨迹方程为xy1( y 0)169 25二、直接法 ：直接根据等量关系式建立方程 .例 1：已知点 A(2，0)， B(3，0) ，动点P(x， y) 满足 PA·PB

2、x2 ，则点 P 的轨迹是（）A 圆B椭圆C双曲线D 抛物线解析：由题知 PA( 2 x， y) ，PB(3 x， y) ，由 PAPB·x2 ，得 ( 2 x)(3 x)y2x2 ，即 y2x 6 ， P 点轨迹为抛物线故选 D三、代入法： 此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例 3：已知 ABC 的顶点 B(3，0)， C (10)，顶点 A 在抛物线 yx2 上运动， 求 ABC 的重心 G 的轨迹方程x3 1 x0 ，x03x，解： 设 G( x， y) ， A( x0， y0 ) ，由重心公式，得32y0y0y，3 y3又 A( x0，y0 ) 在抛物线

3、yx2 上， y0x02 将，代入，得 3 y(3 x 2) 2 ( y0)，即所求曲线方程是y 3 x24x4( y 0)3四、待定系数法： 当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例 5：已知 A， B， D 三点不在一条直线上，且A(2，0) ， B(2，0) ， AD2， AE1 (ABAD) 2（ 1）求 E 点轨迹方程；（ 2）过 A 作直线交以 A， B 为焦点的椭圆于 M， N 两点，线段 MN 的中点到 y 轴的距离为4 ，且直线 MN5与 E 点的轨迹相切，求椭圆方程解：（ 1）设 E( x， y) ，由 AE1 ( AB AD) 知 E 为 BD 中点，易知 D (2

4、 x2，2 y) 2又 AD 2 ，则 (2 x 22) 2(2 y) 24 即 E 点轨迹方程为x2y21( y0) ；（ 2）设 M (x1，y1 )，N ( x2， y2 ) ，中点 (x0， y0 ) 由题意设椭圆方程为x2y21 ，直线 MN 方程为 y k( x 2) a2a 24学习必备欢迎下载 直线 MN 与 E 点的轨迹相切， 2k1 ，解得 k3k 213将 y32) 代入椭圆方程并整理，得 4( a23) x24a2x16a23a40 ， x0x1 x2a2，(x22(a233)又由题意知 x04 ，即a23)4 ，解得 a 28 故所求的椭圆方程为x2y21 52(a

5、2584，把 x ， y 联系起来五、参数法： 如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数）例 4：已知线段 AA 2a，直线 l 垂直平分 AA 于 O ，在 l 上取两点 P，P ，使其满足 OP·OP4 ，求直线 AP与 A P 的交点 M 的轨迹方程解： 如图 2，以线段 AA 所在直线为 x 轴，以线段 AA 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系设点 P(0， t)( t0) ，则由题意，得P4， 0t由点斜式得直线AP，A P的方程分别为t( xa)， y4( x a) ytaa两式相乘，消去t ，得 4x2a2 y24a2 ( y0)这就是所求点M 的轨迹

6、方程评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.配套训练一、选择题1.已知椭圆的焦点是F1、 F2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F1P 到 Q，使得 |PQ|=|PF 2|，那么动点 Q的轨迹是 ()A. 圆B. 椭圆C.双曲线的一支D. 抛物线2.设 A1、 A2 是椭圆x2y2A1P1 与 A2P29=1 的长轴两个端点， P1、 P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点，则直线4交点的轨迹方程为 ()x 2y 2y 2x 2x 2y 2y 2x 2A.1B.1C.1D.194949494二、填空题3.aa1sinA,则动点 A 的轨 ABC

7、 中， A 为动点， B、C 为定点， B(,0),C(,0)，且满足条件 sinC sinB=222迹方程为 _.4.高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A( 5，0) 、B(5， 0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.学习必备欢迎下载三、解答题5. 已知 A、 B、 C 是直线 l 上的三点，且 |AB|=|BC|=6， O切直线 l 于点 A，又过 B、 C 作 O异于 l 的两切线，设这两切线交于点P，求点 P 的轨迹方程 .x2y 2A1Q A1P，A2Q A2P，A1Q 与 A2Q6. 双曲线2b2

8、 =1 的实轴为 A1 A2，点 P 是双曲线上的一个动点，引a的交点为 Q，求 Q 点的轨迹方程 .学习必备欢迎下载x 2y 2l 交双曲线于点P、Q.7. 已知双曲线2n2 =1(m 0,n 0)的顶点为 A1 、A2，与 y 轴平行的直线m(1) 求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程；(2) 当 m n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.x2y 2=1( a b 0),点 P 为其上一点， F 1、 F2 为椭圆的焦点，F1PF 2 的外角平分线为l，点8.已知椭圆b2a 2F2 关于 l 的对称点为 Q， F2Q 交 l 于点 R.(1)当 P 点在椭圆上运动

9、时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点 R 形成的曲线为 C，直线 l： y=k(x+2 a)与曲线 C 相交于 A、B 两点，当 AOB 的面积取得最大值时，求 k 的值 .学习必备欢迎下载参考答案配套训练一、 1.解析： |PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF 2|, |PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ|=2a,即 |F 1Q|=2a,动点 Q 到定点 F 1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆 . 答案： A2.解析：设交点P(x,y）,A1( 3,0),A2(3,0), P1(x0,y0),P2(x0, y0) A1、P1、P 共线，yy0y A2、P2、

10、P 共线，yy0yxx0xxx0 x339, y03 yx0 2y0 21,即x2y21解得 x0=x,代入得494x9答案： C二、 3.解析：由 sinC sinB= 1sinA,得 cb=1a,22应为双曲线一支，且实轴长为a ,故方程为16 x216y 21( xa) .2a 23a 24答案： 16x216 y21( xa )a 23a 244.解析：设 P(x,y），依题意有5y23,化简得 P 点轨迹方程为 4x2+4y2 85x+100=0.(x 5) 2( x 5) 2y 2答案： 4x2+4y2 85x+100=0三、5.解：设过 B、C 异于 l 的两切线分别切 O于 D

11、、E 两点，两切线交于点 P.由切线的性质知： |BA |=|BD |， |PD |=|PE|， |CA|=|CE |，故 |PB |+|PC|=|BD |+|PD |+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA |+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 6=|BC|，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B、C 为两焦点的椭圆，以 l所在的直线为x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为 x 2y 2=1( y0)81726.解：设 P(x0,y0） (x± a),Q(x,y). A1( a,0),A2(a,0).yy01x0x( x0a)xa x

12、0由条件a得x2a2yy01y0yxax0a而点 P(x0 ,y0)在双曲线上，222 22 2222x2a22 2 2bx0 a y0=a b，即 b ( x ) a () =a by化简得 Q 点的轨迹方程为：a2x2 b2y2=a4(x± a).7.解： (1)设 P 点的坐标为 (x1 ,y1)，则 Q 点坐标为 (x1 , y1), 又有 A1( m,0),A2(m,0),学习必备欢迎下载y1( xm)则 A1P 的方程为： y=mx1A2Q 的方程为： y=y1( xm)x1m2y12( x22)×得： y =2m2mx1x2y 22n 222又因点 P 在双曲

13、线上，故111,即 y1(x1m ).m2n2m2代入并整理得x 2y 2m2n2 =1.此即为 M 的轨迹方程 .(2) 当 m n 时， M 的轨迹方程是椭圆 .( )当 m n 时，焦点坐标为 ( ± m2n 2,0)，准线方程为 x=±m2,离心率 e=m2n2；22mmn( )当 m n 时，焦点坐标为(0,± m2n2),准线方程为 y=±n2,离心率 e=n2m2n2m2n.8.解： (1)点 F2 关于 l 的对称点为Q，连接 PQ， F 2PR=QPR， |F2R|=|QR|，|PQ |=|PF2|又因为 l 为 F1PF 2 外角的平分线， 故点 F1、P、Q 在同一直线上， 设存在 R(x0,y0）,Q(x1,y1 ),F1( c,0),F2(c,0).|F 1Q|=|F 2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2 a) 2.x1cx0又2y1y02得 x1=2 x0 c,y1=2y0. (2x0)2 +(2y0)2=(2