理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化

1、理论力学课堂教学软件（2）Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology第一篇第一篇 静力学静力学第第2章章 力矩的概念和力系的等效与简化力矩的概念和力系的等效与简化第一篇第一篇 静力学静力学 2.2 2.2 力偶与力偶系力偶与力偶系 2.3 2.3 力系的简化力系的简化 2.1 2.1 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩第第2章章 力矩的概念和力系的等效与简化力矩的概念和力系的等效与简化ABFAFBAFDF问题问题: 如何用数学工如何用数学工具描述非共点力系对具描述非共点力系对刚体的作用效应刚体的作用

2、效应? ?根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有R1FFaniim设：共点力系设：共点力系,21nFFF作用在质量为作用在质量为 m 的质点上。的质点上。nii1F结论：结论：力系中力系中是力作用效应的是力作用效应的度量之一度量之一。AF第第2章章 力矩的概念和力系的等效与简化力矩的概念和力系的等效与简化 2.1 2.1 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩返回返回第第2章章 力矩的概念和力系的等效与简化力矩的概念和力系的等效与简化 力对点之矩力对点之矩 力对轴之矩力对轴之矩 合力矩定理合力矩定理 分布荷载专题分布荷载专题 2.1 2.1 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩zx

3、yO力对点之矩：力对点之矩：力使物体力使物体绕某一点绕某一点转动效应转动效应的度量。的度量。（1 1）矢量表示式）矢量表示式rFOMdSFdM2O FrFMOFr矢径矢径 O矩心矩心 力对点之矩力对点之矩 zyxOFFFzyxkjiFrFMzxyFFxFyFzrkjiOzOyOxMMMF Fxi+Fyj+Fzkr = x i+ y j+ z k（2 2）解析表示式）解析表示式xyOzzxOyyzOxyFxFMxFzFMzFyFM 力对点之矩力对点之矩（3 3）力矩矢量的方向力矩矢量的方向 M= r F按右手定则按右手定则FrMO 由于力矩与矩心的位置有关，由于力矩与矩心的位置有关，所以所以力矩

4、矢量力矩矢量的始端一定在矩的始端一定在矩心心O处，是处，是定位矢量定位矢量。 力对点之矩力对点之矩 矢量方向矢量方向（右手定则）（右手定则） 矢量的模矢量的模（大小）（大小） 矢量作用在矢量作用在O点点,垂直于垂直于r 和和F 所在的平面所在的平面。 力对点之矩是一种矢量。力对点之矩是一种矢量。注意：注意：由于力对点之矩是矢量，做题目的时候既要求出大由于力对点之矩是矢量，做题目的时候既要求出大小又要求出方向。小又要求出方向。（4 4）力对点之矩）力对点之矩的几点结论的几点结论 力对点之矩力对点之矩zxyOrFOMd结论：结论：(1)(1)当力的作用线与轴平行或相交当力的作用线与轴平行或相交(

5、(共面共面) )时，力对轴时，力对轴的矩等于零；的矩等于零；(2)(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。力对轴之矩：力对轴之矩：力使物体力使物体绕某一轴绕某一轴转动效应转动效应的量度。的量度。 xyzdFMzodFxyFxyFzF（1 1）概念）概念FFFzFxFyOxyxyFyxxyyFxF -FxFy 力对轴之矩力对轴之矩（2 2）力对轴之矩符号规定力对轴之矩符号规定注意：注意：力对轴之矩是标量（代数量），用正负号表示即可。力对轴之矩是标量（代数量），用正负号表示即可。 力矩正负确定方法：力矩正负确定方法：从从z轴正向向负向看，若力使刚体轴正向向

6、负向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。逆时针转则取正号，反之取负。按按右手定则右手定则确定其正负号。确定其正负号。zodFxyFxyFzF逆时针逆时针，顺时针，顺时针xyzdFM 力对轴之矩力对轴之矩xyOzzxOyyzOxyFxFMxFzFMzFyFM力对轴之矩力对轴之矩力对点之矩在各坐标轴上的投影力对点之矩在各坐标轴上的投影xyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFOzzOyyOxxMMMMMM)()()(FFF结论：结论：力对点之矩在力对点之矩在过该点的某一轴上投影过该点的某一轴上投影等于力对该轴之矩。等于力对该轴之矩。（3 3）力对轴之矩与力对点之矩的关

7、系力对轴之矩与力对点之矩的关系 力对轴之矩力对轴之矩等于等于力力对轴上任意一点之矩对轴上任意一点之矩在该轴上的投影。在该轴上的投影。 力对轴之矩力对轴之矩zxyOrFOMd则有：则有：)()(1RiniOOFMFM若作用在刚体上的力系存在合力若作用在刚体上的力系存在合力xyzO1F2FnFRF1r2rnrRrniii1RRFrFrxyzO1F2FnFRFRrnii1RFF)()(1RiniOyOyMMFF 合力矩定理合力矩定理 力对轴之矩：力对轴之矩：)()(1RiniOxOxMMFF)()(1RiniOzOzMMFF已知：已知：支架受力支架受力F 作用作用, l1, l2 , l3 , 尺寸

8、已知；尺寸已知；求：求：MO(F)。例题例题1 1 2.1 2.1 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩MO (F) = F d? 2.1 2.1 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 例题例题1 1 yOxOOMMMFFFsinFFx其中其中 cosFFy则，原式等于则，原式等于312cossinllFlF 2.1 2.1 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩解：解：根据根据“合力矩定理合力矩定理” 例题例题1 1 试求力F对A点之矩及对x、y、z轴之矩。解：解：（1）力）力F对对A点之矩点之矩 FrFMABA)(05354FFddd-kji)743(51kjiFd

9、2.1 2.1 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩例题例题2 2?ABr?F 例题例题2 2 （2）力）力F对对x、y、z轴之矩轴之矩kjijFdFd54)34(5力F对x、y、z轴之矩为： 0)(FxM0)(FyMFdMz54)(F 2.1 2.1 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩FdMMxzz54)()(FF法法1：先求力对：先求力对O点之矩点之矩 法法2：根据力对轴定义：根据力对轴定义 FrFMOBO)( 例题例题2 2 分布在较大范围内，分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载不能看作集中力的荷载称称分布荷载分布荷载。 分布荷载专题分布荷载专题 q 若分布荷载可以简

10、若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系的平行力，则称此力系为为平行分布线荷载平行分布线荷载，简，简称称线荷载线荷载。解：解：已知：已知：三角形分布载荷的三角形分布载荷的q、梁长、梁长l。求：求：合力、合力作用线位置。合力、合力作用线位置。qlqdxlxFlR210设合力作用线距离设合力作用线距离A点距离为点距离为ddFMRA)(Fld32yxMAdRFxldxqlx由由合力矩定理合力矩定理，合力对，合力对A点之矩与分布点之矩与分布力对力对A点之矩相等点之矩相等解得解得 分布荷载专题分布荷载专题 合力大小：合力大小：合力作用线位置：合力作用线位置：2031q

11、lqdxlxxl结论：结论： 1 1、合力的大小等于线荷载所组成几何、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的图形的面积面积。2 2、合力的方向与线荷载的、合力的方向与线荷载的方向相同方向相同。3 3、合力的作用线通过荷载图的、合力的作用线通过荷载图的形心形心。1、均布荷载、均布荷载qlFR2、三角形荷载、三角形荷载qlFR213、梯形荷载、梯形荷载l/2l/2qFRFR23l3lqlq2q1可以看作一个三角形荷载和一可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加个均布荷载的叠加线荷载合力及其合力作用线位置线荷载合力及其合力作用线位置 分布荷载专题分布荷载专题 2.2 2.2 力偶与力偶系力偶与力偶系

12、 返回返回第第2章章 力矩的概念和力系的等效与简化力矩的概念和力系的等效与简化 力偶与力偶系力偶与力偶系 力偶的性质力偶的性质 力偶系的合成力偶系的合成 2.2 2.2 力偶与力偶系力偶与力偶系 力偶矩矢量力偶矩矢量力偶实例力偶实例F1F2F1F2 力偶与力偶系力偶与力偶系 力偶力偶（couple）：）： 大小大小相等相等, ,方向相反方向相反, ,且且不共线不共线两个平行力两个平行力所组成的力系。所组成的力系。F2F1r1r2rBA力偶力偶也是一种最也是一种最基本基本的力系的力系。 力偶与力偶系力偶与力偶系 力偶的作用面与力偶力偶的作用面与力偶臂臂F1F2力偶臂：力偶臂：力偶的两力之间力偶的

13、两力之间的垂直距离的垂直距离d。力偶作用面：力偶作用面：力偶所在的力偶所在的平面。平面。 力偶与力偶系力偶与力偶系 ABFFBArFABFFF) ()(FMFMMOOOFrFrBA)( FrFrBAFrr)(BABArFrBAddFM M注：注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与矩心选取无关。面，其大小和方向与矩心选取无关。力偶矩是力偶矩是自由矢量自由矢量。OBrAr 力偶矩矢量力偶矩矢量：力偶对刚体的：力偶对刚体的转动效应转动效应的量度。的量度。其方向亦可由其方向亦可由右手定则右手定则确定。确定。 力偶与力偶系力偶与力偶系 性质性质1 力偶无合力。力偶

14、无合力。因此，力偶不能和一个力等效（平衡）因此，力偶不能和一个力等效（平衡） ，但可以和力，但可以和力偶等效（平衡）偶等效（平衡） 。 力偶的性质力偶的性质 力偶的矢量和力偶的矢量和FR为零。为零。 ,RFFFF2F1r1r2rBA ,FF,22FFFF11性质性质2 只要保持力偶矩矢量不变只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意，力偶可在作用面内任意移动移动和和转动转动，其对，其对刚体刚体的作用效果不变。的作用效果不变。FFFFFFFFxxFFaaaABFFFaaaaABFFF 力偶的性质力偶的性质 性质性质3 保持力偶矩矢量不变保持力偶矩矢量不变，分别改变力和力偶臂大小，分别改变力和力

15、偶臂大小（F，d ），），其作用效果不变。其作用效果不变。2F2FFFaaaABF2F2FFF 力偶的性质力偶的性质 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩力偶矩才是才是力偶作用的唯一量度。下面符号都表示力偶。力偶作用的唯一量度。下面符号都表示力偶。M为力偶的矩。为力偶的矩。 力偶的性质力偶的性质 力偶性质推论的应用限制力偶性质推论的应用限制 本章中关于本章中关于力偶性质及其推论力偶性质及其推论，在力系简化以及平衡，在力系简化以及平衡问题研究中都是非常重要的。但是，这些推论问题研究中都是非常重要的。但是，这些推论仅仅适用于适用于刚体刚体，不适

16、用于，不适用于变形体变形体。 弯曲力偶作用在自由端弯曲力偶作用在自由端全梁发生弯曲变形。全梁发生弯曲变形。弯曲力偶作用在中间弯曲力偶作用在中间梁左端发生弯曲变形，梁左端发生弯曲变形，右端不发生弯曲变形。右端不发生弯曲变形。扭转力偶作用在自由端扭转力偶作用在自由端整个杆件发生扭转变形。整个杆件发生扭转变形。扭转力偶作用在中间扭转力偶作用在中间杆左端发生扭转变形，杆左端发生扭转变形，杆右端不发生扭转变形。杆右端不发生扭转变形。 力偶系：力偶系：由两个或两个由两个或两个以上力偶组成的特殊力系。以上力偶组成的特殊力系。 力偶系的合成力偶系的合成 Mnii1MM 任意个在空间分布的力任意个在空间分布的力

17、偶，可以合成一个偶，可以合成一个合力偶合力偶，合力偶矩矢量合力偶矩矢量等于原力偶系等于原力偶系中所有中所有力偶矩矢量力偶矩矢量之和。即之和。即 力偶系的合成力偶系的合成 思考题思考题1 1 刚体上刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？ F1F3BACDF2F4 力偶系的合成力偶系的合成 思考思考PORM思考题思考题2 2 从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示从力偶理论知道，一力不

18、能与力偶平衡。图示轮子上的力轮子上的力P P为什么能与为什么能与M平衡呢？平衡呢？ FO 力偶系的合成力偶系的合成 思考思考 2.3 2.3 力系的简化力系的简化 返回返回第第2章章 力矩的概念和力系的等效与简化力矩的概念和力系的等效与简化 力向一点平移定理力向一点平移定理 空间一般力系的简化空间一般力系的简化 力系简化在固定端约束力分析中的应用力系简化在固定端约束力分析中的应用 2.3 2.3 力系的简化力系的简化 空间力系简化的几种最后结果空间力系简化的几种最后结果 力系等效定理力系等效定理在在O点作用什么力系才能使二者等效点作用什么力系才能使二者等效 ? 力向一点平移定理力向一点平移定理

19、 思考思考加减平衡力系加减平衡力系( F , F )二者等效二者等效 力向一点平移定理：力向一点平移定理：可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力F平行移平行移到任一点到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力等于原来的力F对新作用点对新作用点O的矩。的矩。点点O简化中心简化中心。注意：注意：力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。合成一个力。 力向一点平移定理力向一点平移定理 力系简化的基础力系简化的基础力系：力系：两个或两个以上的两个或两个以上的力和力偶所组

20、成的系统，力和力偶所组成的系统，（F1，F2，Fn ），又），又称称力的集合力的集合。F1F4FnF3F2M1MnxAyz力系的简化：力系的简化：就是将由若干力和力偶所组成的一般力系，就是将由若干力和力偶所组成的一般力系，变为一个力，或一个力偶，或者一个力和一个力偶的简变为一个力，或一个力偶，或者一个力和一个力偶的简单的、但是等效的情形。单的、但是等效的情形。 空间一般力系的简化空间一般力系的简化 空间力系向点空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系，简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系，如图。如图。FnF1F2yzxOF1FnF2MnM2M1zyxOMOFROxyznii1RFF

21、niiiniiOO11FrFMM 空间一般力系的简化空间一般力系的简化 1 1、主矢：主矢：空间任意力系中各力的空间任意力系中各力的矢量和矢量和。MOFROzxy定义：定义：2 2、主矩：主矩：空间任意力系中各力对任选简化中心空间任意力系中各力对任选简化中心 O 的力矩的力矩矢量和矢量和，称为该力系对简化中心称为该力系对简化中心 O的的主矩主矩。注意：注意：主矢主矢与简化中心的位置无关；而与简化中心的位置无关；而主矩主矩与简化中心的位置有关。与简化中心的位置有关。niiR1FFniiOOMM1F 空间一般力系的简化空间一般力系的简化 怎样判断不同力系的运动效应是否相同？怎样判断不同力系的运动效

22、应是否相同？如何判断力系等效？如何判断力系等效？MCFBFA力系1FCMEMD力系2 两个力系对刚体运动效应相等的条件是：两个力系对刚体运动效应相等的条件是： 主矢相等主矢相等和和对同一点对同一点的的主矩相等主矩相等。力系等效定理力系等效定理 力系等效定理力系等效定理例题例题3 由F1、F2组成的空间力系，已知：F1 = F2 = F。试求力系的主矢FR以及力系对O、A、E三点的主矩。 解：解：1、计算主矢、计算主矢 令i、j、k为x、y、z方向的单位矢量，则力系中的二力可写成 于是，力系的主矢为于是，力系的主矢为 )43(51jiFF)43(52jiFFiFFFF562121RFii 2.3

23、 2.3 力系的简化力系的简化 例题例题3 3 2、计算主矩、计算主矩 应用矢量叉乘方法，力系对应用矢量叉乘方法，力系对O、A、E三点的主矩分别为：三点的主矩分别为： )43(51jiFF)43(52jiFF)12912(5)43(54)43(5322112121kjijijjikFrFrFrFMMFFFiiiiioo)12912(5kjiF)43(5)34(jikjF2210FrFrMACiiiA2121iECEAiiEFrFrFrM)12912(5kjiF)43(53)43(54jikjijFF 2.3 2.3 力系的简化力系的简化 例题例题3 3 例题例题4 4 图示空间力系中，力偶作用

24、在Oxy平面内，力偶矩M=24Nm。试求此力系向O点简化的结果。 解：解：首先，将已知的力和力偶首先，将已知的力和力偶都表示为矢量的形式都表示为矢量的形式 M =(0,0,-24) Nm N)0 , 4 , 0(1FN)0 , 8, 6(2FN)8, 0 , 6(3FF1F2F3同时将同时将O点至各力的矢径也表示为矢量的形式点至各力的矢径也表示为矢量的形式m)0 , 0 , 3(1rm)4 , 4 , 0(2rm)4 , 4 , 3(3r 2.3 2.3 力系的简化力系的简化 例题例题4 4 主矢：主矢： M =(0,0,-24) Nm N)0 , 4 , 0(1FN)0 , 8, 6(2FN

25、)8, 0 , 6(3Fm)0 , 0 , 3(1rm)4 , 4 , 0(2rm)4 , 4 , 3(3rN)8, 4, 0(RiFF32FrFrFrMFMM3211)(OO0 024300044344040680608ijkijkijk, ,0 2412 N m,主矩：主矩： 2.3 2.3 力系的简化力系的简化 例题例题4 4 力系简化在固定端约束力分析中的应用力系简化在固定端约束力分析中的应用 力系简化在固定端约束力分析中的应用力系简化在固定端约束力分析中的应用 AAA固定端约束：固定端约束：一个物体的一端完全固定在另一物体上所构一个物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束。这时约束物体既限制了被约束物体的移动，又成的约束。这时约束物体既限制了被约束物体的移动，又限制了被约束物体的转动。限制了被约束物体的转动。AMAFAyFAxFAMA固定端约束的约束力为作用在接触面上的复杂分布力系。固定端约束的约束力为作用在接触面上的复杂分布力系。 力系简化在固定端约束力分析中的应用力系简化在固定端约束力分析中的应用 空间约束类型空间约束类型 力系简化在固定端约束力分析中的应用力系简化在固定端约束力分析中的应用 几种特殊情形