理论物理导论第一章

1、LOGO理论物理导论理论物理导论赣南师范学院物理与电子信息学院赣南师范学院物理与电子信息学院LOGO1234四大力学：四大力学：理论力学理论力学量子力学量子力学电动力学电动力学热力学统计物热力学统计物LOGO牛顿力学回顾牛顿力学回顾物体的机械运动即物体的空间位置随时间变化。物体的机械运动即物体的空间位置随时间变化。一、研究对象一、研究对象 rr t二、牛顿的时空观二、牛顿的时空观（ 狭义相对论的时空观）狭义相对论的时空观） 时间、空间、质量三个基本物理量是绝对的，时间、空间、质量三个基本物理量是绝对的，它们与运动无关且彼此独立，它们与运动无关且彼此独立，“同时性同时性”和力学规和力学规律也是绝

2、对的，而物体的坐标和速度是相对的。律也是绝对的，而物体的坐标和速度是相对的。LOGO三、力学状态的确定三、力学状态的确定同时给定物体的坐标和速度（量子力学与此不同）同时给定物体的坐标和速度（量子力学与此不同）四、力学规律的表达形式四、力学规律的表达形式力是力学系统的核心。力是力学系统的核心。力学系统的运动微分方程：力学系统的运动微分方程： 力是力学系统的核心。力是力学系统的核心。LOGO五、伽利略相对性原理（爱因斯坦相对性原理）五、伽利略相对性原理（爱因斯坦相对性原理）六、牛顿力学的适用范围六、牛顿力学的适用范围 低速（低速（ ）、宏观物体（）、宏观物体（ ）的）的运动。运动。83 10/vm

3、 s1010lm力学规律在所有惯性系中都是等价的，不存力学规律在所有惯性系中都是等价的，不存在特殊的惯性系。在特殊的惯性系。 LOGO问题：问题：力学规律是否只有牛顿形式？力学规律是否只有牛顿形式？ 力学规律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈力学规律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈密顿形式。密顿形式。分析力学的主要内容经典力学：牛顿力学分析力学经典力学：牛顿力学分析力学LOGO1-1自由度和广义坐标自由度和广义坐标 一个自由质点在空间的位置可以用一个自由质点在空间的位置可以用三个三个独立参数来确定，我们说该自由质点有独立参数来确定，我们说该自由质点有3个自个自由度由度。一般质点运动会受到约束限制

4、，则其。一般质点运动会受到约束限制，则其自由度数会减少，在完整约束条件下，自由度数会减少，在完整约束条件下，确定确定质点系位置的独立参数的数目等于系统的自质点系位置的独立参数的数目等于系统的自由度数。由度数。LOGO例如：例如：一质点一质点M 限制在球面的上半部运动，则限制在球面的上半部运动，则222()()zcRxayb 故该质点在空间的位置由故该质点在空间的位置由x、y 就就可确定，其自由度数为可确定，其自由度数为2。 LOGO 对完整系统，广义坐标数目等于系统的自由度对完整系统，广义坐标数目等于系统的自由度数。数。 一般讲，一个由一般讲，一个由n 个质点组成的质点系，若受到个质点组成的质

5、点系，若受到s 个完整约束作用，则其在空间的位置可由个完整约束作用，则其在空间的位置可由N=3n-s 个个坐标完全确定下来，我们把这些描述质点系在空间中坐标完全确定下来，我们把这些描述质点系在空间中位置的独立参数，称为位置的独立参数，称为广义坐标广义坐标，用，用 来表示。广义坐标对时间的微商来表示。广义坐标对时间的微商 称为称为广义速度广义速度，用，用 来表示。来表示。1233n sqqqq、 、idqdt1233n sqqqq、 、LOGO222)2()2(2 ,2baRczyx 上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。 如上面例题的质点如上面例题的质点M的位

6、置由的位置由x，y 确定，则确定，则x，y 就是其一组广义坐标，此外，我们也可以选取其它的就是其一组广义坐标，此外，我们也可以选取其它的一组独立参量来表达其位置：一组独立参量来表达其位置：LOGO1-2 拉格朗日方程拉格朗日方程 力是力学系统的核心，求解运动方程需要知道力是力学系统的核心，求解运动方程需要知道物体的受力情况。物体的受力情况。牛顿力学的运动微分方程：牛顿力学的运动微分方程：22d rmFdt 拉格朗日方程的特点是避开矢量力，而利用标量拉格朗日方程的特点是避开矢量力，而利用标量动能和势能动能和势能来描述运动。来描述运动。LOGO从牛顿方程出发推导拉格朗日方程从牛顿方程出发推导拉格朗

7、日方程1、单个质点不受约束需三个独立坐标描述其位置，、单个质点不受约束需三个独立坐标描述其位置，即有三个自由度。即有三个自由度。直角坐标系中：直角坐标系中：rxiyjzkUUUUFUijkrxyz 2、单个质点在保守力场中运动：、单个质点在保守力场中运动： 势能函数势能函数 U rLOGO由牛顿第二定律，质点的运动方程为：由牛顿第二定律，质点的运动方程为：UmrFr 分量形式：分量形式：xyzmxFmyFmzF又记又记x，y，z为为x1，x2，x3，上式又写为：，上式又写为：111UmxFx 222UmxFx 333UmxFx LOGO上式合写为：上式合写为：1,2,3iiiUmxFix 说明

8、：说明：(1)、以上选取的是直角坐标系，但坐标系的选取、以上选取的是直角坐标系，但坐标系的选取要根据具体情况而定。要根据具体情况而定。(2)、若、若U=U(r)，即势能仅是质点到力心距离的函数，即势能仅是质点到力心距离的函数，此时适宜于选取球坐标系。此时适宜于选取球坐标系。LOGO3、直角坐标系中质点的动能为：、直角坐标系中质点的动能为：122iiiTmxmxx3222211122iiTm xyzmxiiidTmxFdtx上式再对时间求微分得：上式再对时间求微分得：动能对动能对 求偏导求偏导ix LOGOiidTFdtxiiUFx 由由 和和 二式相加得二式相加得 ： 0iidTUdtxx4、

9、引入、引入拉格朗日函数拉格朗日函数LLTU 动能动能T仅是速度仅是速度 的函数，势能的函数，势能U仅是坐标仅是坐标 的函数，因此的函数，因此ix ixiiiTUdTddLdtxdtxdtxiiiUTULxxx LOGO0iidLLdtxx 此式即为用拉格朗日函数表示牛顿运动定律的拉此式即为用拉格朗日函数表示牛顿运动定律的拉格朗日方程。格朗日方程。 可以证明，将可以证明，将 换成广义坐标换成广义坐标 ，即可得到用广义坐标表示的具有即可得到用广义坐标表示的具有s个自由度的系统的个自由度的系统的一般形式的一般形式的拉格朗日方程拉格朗日方程。123,x x x12,sq qq01,2,iidLLisd

10、tqqLOGO说明：说明：1、拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程，运动方、拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程，运动方程在牛顿力学中是牛顿第二定律，在分析力学中是拉程在牛顿力学中是牛顿第二定律，在分析力学中是拉格朗日方程。格朗日方程。2、在分析力学中特征函数为拉格朗日函数（标量函、在分析力学中特征函数为拉格朗日函数（标量函数），在牛顿力学中特征函数是力（矢量）。数），在牛顿力学中特征函数是力（矢量）。3、由、由 可以看出，只要给出力学体可以看出，只要给出力学体系的坐标和速度就能完全确定经典力学体系的状态。系的坐标和速度就能完全确定经典力学体系的状态。,iiLTUL q q4、 不再限于直角坐

11、标，在此为广义坐标。不再限于直角坐标，在此为广义坐标。iq5、在很多情况下，由拉格朗日方程得到的关于广义、在很多情况下，由拉格朗日方程得到的关于广义坐标的运动微分方程是二阶非线性的，求解很困难。坐标的运动微分方程是二阶非线性的，求解很困难。LOGO例题：例题：写出有心力场中质点的运动方程。写出有心力场中质点的运动方程。sinrdrdrerd erd e 上式两边除以上式两边除以dt，得：，得：sinrrrer ere解：选球坐标系，位移解：选球坐标系，位移 在在球坐标系中的表达式：球坐标系中的表达式：drLOGO 2222222211221sinsin21sin2rrTmvmrm rer er

12、erer erem rrr动能：动能：所以拉格朗日函数为：所以拉格朗日函数为： 2222221sin2LTUm rrrU rLOGO 222sinLLmrmrmrUrrr222sincosLLmrmr22sin0LLmr求偏导：求偏导： 2222221sin2LTUm rrrU rLOGO得到运动方程：得到运动方程： 222sind mrmrmrUrdt222sincosdmrmrdt22sin0dmrdt000dLLdtrrdLLdtdLLdt将以上结果代入拉格朗日方程将以上结果代入拉格朗日方程LOGO1-3 哈密顿方程哈密顿方程一、广义动量一、广义动量将动能将动能T对速度分量求偏导数，即可

13、得动量的分量。对速度分量求偏导数，即可得动量的分量。iiiTmqpq2112siiTmq势能函数只与广义坐标有关，与广义速度无关，因此势能函数只与广义坐标有关，与广义速度无关，因此iiiiTUTLpqqq称为广义动量称为广义动量iLqLOGO二、勒让德变换二、勒让德变换设有设有,ff x y,ffdfdxdyP x y dxQ x y dyxyd QyydQQdy又又d QyfydQPdx两式相减得：两式相减得：变换后的函数：变换后的函数：gQyf称为函数称为函数f的勒让德变换的勒让德变换,gQyfg x Q1、若要将变量、若要将变量y变为变为QLOGO2、若要将变量、若要将变量x变为变为P,

14、ffdfdxdyP x y dxQ x y dyxyd PxxdPPdx两式相减得：两式相减得：d PxfxdPQdy,gPxfg y P变换后的函数：变换后的函数：gPxf称为函数称为函数f的勒让德变换的勒让德变换LOGO3、 三个变量（可推广到三个变量（可推广到N个变量）个变量）, ,ff x y z要将要将 ，采用与前面一样的方法，有：，采用与前面一样的方法，有：, ,x y zx Q R, , , ,fffdfdxdyxyzP x y z dxQ x y z dyR x y z dzd QyRzydQQdyzdRRdzd QyRzfydQzdRPdx,gQyRzfg x Q RLOGO

15、三、哈密顿函数三、哈密顿函数广义动量广义动量iiLpq01,2,iidLLisdtqqiiiidLLppdtqq根据拉格朗日方程根据拉格朗日方程1111ssssiiiiiiiiiiiiLLdLdqdqp dqp dqqq,iiLL q q又又LOGO对对L进行勒让德变换，目的：进行勒让德变换，目的：iiqp1111111siiissssiiiiiiiiiiiissiiiiiidp qLp dqq dpp dqp dqq dpp dq定义定义哈密顿函数哈密顿函数H1siiiHp qL11ssiiiiiidHq dpp dq,iiHH q pLOGO四、哈密顿函数的物理意义四、哈密顿函数的物理意义

16、112ssiiiiiiHp qLp qTE112siiip qTHEH就是系统的能量就是系统的能量E。LOGO五、哈密顿方程五、哈密顿方程,iiHH q p由由 得得 ： 11ssiiiiiiHHdHdqdpqp比较比较11ssiiiiiidHq dpp dq于是有：于是有：iiiidqHdtpdpHdtq 哈密顿方程（正则方程，系统的运动方程）哈密顿方程（正则方程，系统的运动方程）LOGO说明：说明：1、数学上，哈密顿形式上为一阶微分方程（、数学上，哈密顿形式上为一阶微分方程（2s个），个），而拉格朗日形式上为二阶微分方程而拉格朗日形式上为二阶微分方程简化数学计算；简化数学计算；3、哈密顿正

17、则形式对称，有利于从经典力学到量子、哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力学的过渡。力学的过渡。2、哈密顿方程中，、哈密顿方程中， 地位平等地位平等相互共轭的正相互共轭的正则变量；则变量；,iiq pLOGO例题：例题：写出有心力场中两个质点系统的运动方程。写出有心力场中两个质点系统的运动方程。xyz1m2mr解：两质点系统的质心坐标为：解：两质点系统的质心坐标为：1 122121122121 12212m xm xxmmm ym yymmm zm zzmm 选取为球坐标系的原点，球坐标系与直角坐标选取为球坐标系的原点，球坐标系与直角坐标系的关系为：系的关系为：212121sincoss

18、insincosxxryyrzzrLOGO解上两式得：解上两式得：211221122112sincossinsincosmxxrmmmyyrmmmzzrmm121212121212sincossinsincosmxxrmmmyyrmmmzzrmmLOGO 222122222221212121sin2mmxyzm mrrrU rmm将将 对对t求导，代入拉格朗日函数得：求导，代入拉格朗日函数得：111222,x y z xyz2222221111222211( )22LmxyzmxyzU rLOGO121212xyzLpmmxxLpmmyyLpmmzz222sinrLprrLprLpr , , , , ,x y z r 与与相对应的动量相对应的动量 为为,xyzrpppppp其中其中 ，称为折合质量，称为折合质量1212