椭圆定点定值专题

1、1已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4（）求椭圆C的标准方程；（）P（2，n），Q（2，n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A、B两点在椭圆上运动，且满足APQ=BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由2已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m（定值m0），求直线l的斜率3如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别

2、是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M（）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（）设过点M垂直于PB的直线为m求证：直线m过定点，并求出定点的坐标4已知F1，F2分别是椭圆（ab0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由5在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（ab0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=

3、1上（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角，使（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB26已知椭圆的左焦点为F（，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点（）求椭圆标准方程；（）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由（）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MNMB7一束光线从点F1（1，0）出发，经直线l：2xy+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2

4、（1，0）（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由8已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+t（k0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，kOD为直线OD的斜率，求证：kkOD为定值；（3）在（2）条件下，当t=1时，若的夹角为锐角，试求k的取值范围9如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，c）（c0），抛物线x2=2py

5、（p0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当2，4时，求椭圆的离心率e的取值范围10已知椭圆（ab0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上证明点A在定圆上；设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围11在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（ab0）的焦点为 F1（1，0），F2（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F1，F2的距离的平方和为6（1）

6、求动点P的轨迹方程；（2）若，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DMCN，BQ分别交直线m于点M，N（i）当直线AQ的斜率为时，求AMN的面积；（ii）求证：对任意的动点Q，DMCN为定值12（1）如图，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：为定值（2）将椭圆（ab0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论（3）如图，若AB、CD是过椭圆（ab0）中心的两条直线，且直线AB、CD的斜率积，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于K，CE交直线AB于L，求证：为定值13作斜率为的直线l与

7、椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且在直线l的左上方（1）证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若APB=60°，求PAB的面积14设椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=（1）若过AQF2三点的圆恰好与直线l：xy3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于MN两点试证明：+为定值；在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由15已知A，B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点

8、，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A，B的任意一点，ab0（I）若P（），Q（，1），求椭圆Cl的方程；（）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1k2+k3k4为定值；（）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断PMN是否可能为正三角形，并说明理由16已知椭圆=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，）（1）求椭圆方程；（2）过椭圆左顶点M（a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求的值（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若KQA+KQB=2与l的斜率

9、无关，求t的值17如图，已知椭圆的焦点为F1（1，0）、F2（1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点（1）求椭圆C的方程；（2）求直线l的斜率k的取值范围；在直线l的斜率k不断变化过程中，探究MF1A和NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由18已知椭圆E：=1（ab0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段M

10、N上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上19如图，双曲线C1：与椭圆C2：（0b2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点（I）求证：为定值（其中表示直线AA1的斜率，等意义类似）；（II）证明：OAA2与OA2P不相似（III）设满足（x，y）|，xR，yR（x，y）|，xR，yR 的正数m的最大值是b，求b的值20已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（3

11、）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由21已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2斜率为k（k0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）（）求椭圆的方程；（）求m的取值范围；（）试用m表示MPQ的面积，并求面积的最大值22已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F（）求椭圆E的方程；（）已知两点Q（2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设

12、线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（） 过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PAPB23已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点为A，B（1）（）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（）若椭圆上存在点P，使得APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值24已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切（）求椭圆的标准方

13、程；（）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线x2=4y上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由25已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（ab0），A，B分别为椭圆上的两点，且OAOB（1）求证：为定值；（2）求AOB面积的最大值和最小值26设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围（3）设A（2，

14、0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点求四边形AEBF面积的最大值27已知椭圆的左焦点F1（1，0），长轴长与短轴长的比是（）求椭圆的方程；（）过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若mn，求证：为定值28已知椭圆的左顶点是A，过焦点F（c，0）（c0，为椭圆的半焦距）作倾斜角为的直线（非x轴）交椭圆于M，N两点，直线AM，AN分别交直线（称为椭圆的右准线）于P，Q两点（1）若当=30°时有，求椭圆的离心率；（2）若离心率e=，求证：为定值29已知点P在椭圆C：（ab0）上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足|P

15、F1|=6|PF2|，且椭圆C的离心率为（）求椭圆C的方程；（）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N，在x轴上是否存在定点G，使得为定值若存在，求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在，说明理由30如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r0），设圆T与椭圆C交于点M与点N（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|为定值参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1已知椭圆C的中心

16、在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4（）求椭圆C的标准方程；（）P（2，n），Q（2，n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A、B两点在椭圆上运动，且满足APQ=BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由解：（）设C方程为由已知b=2，离心率 （3分）得a=4，所以，椭圆C的方程为（4分）（）由（）可求得点P、Q的坐标为P（2，3）Q（2，3），则|PQ|=6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t212=0 由0，解得4t4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积（6

17、分）故，当t=0时，（7分）APQ=BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，PA的直线方程为y3=k（x2）与，联立解得（3+4k2）x2+8（32k）kx+4（32k）248=0，（9分）同理PB的直线方程y3=k（x2），可得所以，（11分）=，所以直线AB的斜率为定（13分）2已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m（定值m0），求直线l的斜率解：（1）椭圆离心率为，（2分）又椭圆经过点，解得c=1，（3分）椭圆C的方程是（4分

18、）（2）若直线l斜率不存在，显然k1+k2=0不合题意 （5分）设直线方程为l：y=k（x1），M（x1，y1），N（x2，y2）联立方程组得（3+4k2）x28k2x+4k212=0（7分）（8分）k1+k2=k（）=k1+k2=m，=m，k=3如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M（）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（）设过点M垂直于PB的直线为m求证：直线m过定点，并求出定点的坐标解：（1）由题

19、意得2c=2，c=1，又，a2=b2+1消去a可得，2b45b23=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，椭圆E的方程为（2）（）设P（x1，y1）（y10），M（2，y0），则，A，P，M三点共线，P（x1，y1）在椭圆上，故为定值（）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，则直线m的方程为，=，即所以直线m过定点（1，0）4已知F1，F2分别是椭圆（ab0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理

20、由解：（1）由于，解得a2=2，b2=1，从而所求椭圆的方程为=1三点共线，而点N的坐标为（2，0）设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k0由消去x得，即根据条件可知解得，依题意取设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据韦达定理，得，又由，得（x1+2，y1）=（x2+2，y2），从而从而消去y2得令，则由于，所以'（）0（）是区间上的减函数，从而，即，解得，而，故直线AB的斜率的取值范围是（2）设点P的坐标为（x0，y0），则可得切线PA的方程是，而点A（x1，y1）在此切线上，有即x0x1+2y0y1=x12+2y12，又A在椭圆上，有x0x1+

21、2y0y=2，同理可得x0x2+2y0y2=2根据和可知直线AB的方程为，x0x+2y0y=2，而直线AB过定点N（2，0），2x0=2x0=1，因此，点P恒在直线x=1上运动5在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（ab0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角，使（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2解：（1）依题意，得 c=1于是，a=，b=1 （2分）所以所求椭圆的方程为 （4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又设M（x，y），因，故（7分）因M在椭圆上，故

22、整理得将代入上式，并注意cossin0，得 所以，为定值 （10分）（ii），故y12+y22=1又，故x12+x22=2所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3 （16分）6已知椭圆的左焦点为F（，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点（）求椭圆标准方程；（）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由（）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MNMB（）解：由题设可知：，a=2，c=2分b2=a2c2=

23、23分椭圆的标准方程为：4分（）解：设P（xP，yP），M（x1，y1），N（x2，y2），由可得：5分由直线OM与ON的斜率之积为可得：，即x1x2+2y1y2=06分由可得：xP2+2yP2=（x12+2y12）+（x22+2y22）M、N是椭圆上的点，x12+2y12=4，x22+2y22=4xP2+2yP2=8，即.8分由椭圆定义可知存在两个定点F1（2，0），F2（2，0），使得动点P到两定点距离和为定值4；.9分；（）证明：设M（x1，y1），B（x2，y2），则x10，y10，x20，y20，x1x2，A（x1，0），N（x1，y1）.10分由题设可知lAB斜率存在且满足kNA=

24、kNB，kMNkMB+1=+112分将代入可得：kMNkMB+1=+1=.13分点M，B在椭圆上，kMNkMB+1=0kMNkMB+1=0kMNkMB=1MNMB14分7一束光线从点F1（1，0）出发，经直线l：2xy+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设F1关于l的对称点为F（m，n），则且，解得，即由，解得

25、（2）因为PF1=PF，根据椭圆定义，得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2=，所以a=又c=1，所以b=1所以椭圆C的方程为（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有kQtkQs=k（k为定值），即，将代入并整理得（*）由题意，（*）式对任意x（，）恒成立，所以，解之得或所以有且只有两定点（，0），（，0），使得kQtkQs为定值8已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+t（k0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，kOD为直线OD的斜率，求证：kkOD为定值；（3）在（2）条件下，当t

26、=1时，若的夹角为锐角，试求k的取值范围解：（1）根据题意有：解得：椭圆C的方程为=1（2）联立方程组消去y得：（4+k2）x2+2kx+t24=0设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点坐标为（x0，y0）则有：，故为定值（3）当t=1时，式为（4+k2）x2+2kx3=0故y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1若的夹角为锐角，则有，即，解得，且k0，当k时，的夹角为锐角9如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，c）（c0），抛物线x2=2py（p0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两

27、点，且（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当2，4时，求椭圆的离心率e的取值范围（1）证明：椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，c）（c0），抛物线P：x2=2py（p0）的焦点与F1重合，抛物线P：x2=4cy设过F2的直线l的方程为y+c=kx，与抛物线联立，可得x24kcx+4c2=0，过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，=16k2c216c2=0，k0k=1，即切线l的斜率为定值；（2）解：由（1），可得直线l的方程为y=xc，代入椭圆方程可得（a2+b2）x22b2cx+b2c2a2b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x2=x1由可得=f（）=，当2

28、，4时，单调递增，f（）0e1椭圆的离心率e的取值范围是10已知椭圆（ab0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上证明点A在定圆上；设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围解：（1）由=，c=2，得a=，b=2故所求椭圆方程为（2）设A（x1，y1），则B（x1，y1），故，由题意，得化简，得，点A在以原点为圆心，2为半径的圆上设A（x1，y1），则得到将，代入上式整理，得k2（2e21）=e42e2+1；e42e2+10，k20，2e210，3化简，得解

29、之，得，故离心率的取值范围是11在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（ab0）的焦点为 F1（1，0），F2（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F1，F2的距离的平方和为6（1）求动点P的轨迹方程；（2）若，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DMCN，BQ分别交直线m于点M，N（i）当直线AQ的斜率为时，求AMN的面积；（ii）求证：对任意的动点Q，DMCN为定值（1）解：设P（x，y），则，即（x+1）2+y2+（x1）2+y2=6，整理得，x2+y2=2，所以动点P的轨迹方程为x2+y2=2（4分）（2）解：由题意知，解得，所以椭圆方程为 （6分）则，设Q（x0，y0），y

30、00，则，直线AQ的方程为，令，得，直线BQ的方程为，令，得，（ i）当直线AQ的斜率为时，有，消去x0并整理得，解得或y0=0（舍），（10分）所以AMN的面积= （12分）（ii），所以所以对任意的动点Q，DMCN为定值，该定值为 （16分）12（1）如图，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：为定值（2）将椭圆（ab0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论（3）如图，若AB、CD是过椭圆（ab0）中心的两条直线，且直线AB、CD的斜率积，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于

31、K，CE交直线AB于L，求证：为定值解答：解：（1）如图所示，过点E作EFAB，垂足为F点，CDAB，EFCD，又EF2+FO2=OE2=a2，=1为定值（2）如图，设椭圆（ab0），椭圆的长轴、短轴分别为AB、CD，E在椭圆的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：为定值证明：过点E作EFAB，垂足为F点，CDAB，EFCD，=1为定值（3）如图所示，过点E分别作EFCD交AB与点F，EMAB交直线CD于点M，设A（x1，y1），C（x2，y2），D（x2，y2），B（x1，y1）E（x0，y0）则设直线AB的方程为y=kx（k0），则直线CD的方程为直线EF的方程为，直线EM的方

32、程为yy0=k（xx0）联立解得xF=联立，解得xM=联立解得联立，解得=同理=为定值13作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且在直线l的左上方（1）证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若APB=60°，求PAB的面积（1）证明：设直线l：，A（x1，y1），B（x2，y2）将代入中，化简整理得2x2+6mx+9m236=0于是有， 则，上式中，分子=，从而，kPA+kPB=0又P在直线l的左上方，因此，APB的角平分线是平行于y轴的直线，所以PAB的内切圆的圆心在直线上（2）解：若APB=60°时，结合（1）的结论可知直线PA的方程为：，代入

33、中，消去y得它的两根分别是x1和，所以，即所以同理可求得=14设椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=（1）若过AQF2三点的圆恰好与直线l：xy3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于MN两点试证明：+为定值；在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由解：（1）由知：F1为F2Q中点又，|F1Q|=|F1A|=|F1F2|，即F1为AQF2的外接圆圆心而|F1A|=a，|F1F2|=2c

34、，a=2c，又圆心为（c，0），半径r=a，解得a=2，所求椭圆方程为（5分）（2）由（1）知F2（1，0），y=k（x1），代入得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，又|F2M|=aex1，|F2N|=aex2，=，为定值（10分）由上可知：y1+y2=k（x1+x22），=（x1+x22m，y1+y2），由于菱形对角线垂直，则，故k（y1+y2）+x1+x22m=0，则k2（x1+x22）+x1+x22m=0，+，由已知条件知k0且kR，故存在满足题意的点P且的取值范围是（15分）15已知A，B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点，P是椭圆上异

35、与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A，B的任意一点，ab0（I）若P（），Q（，1），求椭圆Cl的方程；（）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1k2+k3k4为定值；（）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断PMN是否可能为正三角形，并说明理由解答：（）解：P（）在椭圆上，Q（，1）在双曲线上，则，+×3得：，a2=5，把a2=5代入得，b2=4所以椭圆Cl的方程为；（）证明：由A（a，0），B（a，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，k1k2+k3k4=设P（x1，y1）在椭圆上，Q（x2，y2

36、）在双曲线上，则k1k2+k3k4=所以k1k2+k3k4为定值；（）假设PMN是正三角形，MPN=PMN=60°，又MNx轴，PAN=30°，PBA=30°，PAB为等腰三角形，点P位于y轴上，且P在椭圆上，点P的坐标为（0，±b），此时，即a=综上，当a=，且点P的坐标为（0，±b）时，PMN为正三角形16已知椭圆=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，）（1）求椭圆方程；（2）过椭圆左顶点M（a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求的值（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若KQ

37、A+KQB=2与l的斜率无关，求t的值解：（1）由题意得解得a2=2，b2=1故椭圆方程为（2）设N（），P（X，Y）则MN的方程为由得由韦达定理得所以代入直线方程得P（），（3）AB的方程为x=my+1，设A（e，f），B（g，h）由得（m2+2）y2+2my1=0所以f+h=，fh=2KQA+KQB=2与l的斜率无关2t=2，即t=117如图，已知椭圆的焦点为F1（1，0）、F2（1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点（1）求椭圆C的方程；（2）求直线l的斜率k的取值范围；在直线l的斜率k不断变化过程中，探究MF1A和NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不

38、相等，说明理由解：（1）由已知条件知，解得，又b2=a2c2=1，所以椭圆C的方程为；（2）设直线l的方程为y=k（x2），联立，得（1+2k2）x28k2x+8k2=2=0，由于直线l与椭圆C相交，所以=64k44（1+2k2）（8k22）0，解得直线l的斜率k的取值范围是；MF1A和NF1F2总相等证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），则，所以tanMF1AtanNF1F2=，所以tanMF1A=tanNF1F2，又MF1A和NF1F2均为锐角，所以MF1A=NF1F218已知椭圆E：=1（ab0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意

39、一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上解：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2F2Q，所以，所以y1y0=2（x11）又因为且代入化简得即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则，设，则，（3x1，3y1）=

40、（x23，y23），（xx1，yy1）=（x2x，y2y）整理得，从而，由于，我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3，所以点H恒在直线2x+3y2=0上19如图，双曲线C1：与椭圆C2：（0b2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点（I）求证：为定值（其中表示直线AA1的斜率，等意义类似）；（II）证明：OAA2与OA2P不相似（III）设满足（x，y）|，xR，yR（x，y）|，xR，yR 的正数m的最大值是b，求b的值（I）解：由已知得A1（2，0），A2（2，0）设A（x1，y1），P（x2，y2），由题意知A、

41、P均在第一象限，且满足，则=（3分）而Q、O、A、P在同一直线上，所以x1y2=x2y1故（4分）（II）证明：设，P（x，y），则A（tx，ty）且，解之得：，且（6分）OAOPOA22=tOP2OA22=，其中0t1所以f（t）=恒成立，函数f（t）在区间（0，1）上是减函数，因此当0t1时，f（t）f（1）=，即故：OAA2与OA2P不相似（9分）（III）解：由得，由得（x，y）|，xR，yR（x，y）|，xR，yR因此y0，m23所以b=因此b的值为（13分）20已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点F与x轴不垂直

42、的直线l交椭圆于P，Q两点（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1）由已知，椭圆方程可设为（1分）两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，所求椭圆方程为（4分）（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x1设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y1=0，解得（9分）（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0m1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k

43、（x1）（k0）由可得（1+2k2）x24k2x+2k22=0其中x2x10以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形（x1+x22m，y1+y2）（x2x1，y2y1）=0（x1+x22m）（x2x1）+（y1+y2）（y2y1）=0（x1+x22m）+k（y1+y2）=02k2（2+4k2）m=0（14分）21已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2斜率为k（k0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）（）求椭圆的方程；（）求m的取值范围；（）试用m表示MPQ的面积，并求面积的最大值解：（）椭圆上的点到两个焦点的距离和为2，即

44、2a=2，a=椭圆的离心率为，即e=e=，c=1又a2=b2+c2，b=1又斜率为k（k0）的直线l过椭圆的上焦点，即椭圆的焦点在Y轴上椭圆方程为（）设直线l的方程为y=kx+1，由可得（k2+2）x2+2kx1=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=8k2+80，设线段PQ中点为N，则点N的坐标为，M（0，m），直线MN的斜率kMN=直线MN为PQ的垂直平分线，kMNk=1，可得即，又k0，k2+22，即（）设椭圆上焦点为F，y轴把PQM分成了PMF和QMF，=|FM|x1|+|FM|x2|=|FM|（|x1|+|x2|）P，Q在y轴两侧，|x1|+|x2|=|（x1x2），由，可得又

45、|FM|=1m，MPQ的面积为（）设f（m）=m（1m）3，则f'（m）=（1m）2（14m）可知f（m）在区间单调递增，在区间单调递减f（m）=m（1m）3有最大值此时MPQ的面积为×=MPQ的面积有最大值22已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F（）求椭圆E的方程；（）已知两点Q（2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（） 过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的

46、垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PAPB解：（）连接DF2，FO（O为坐标原点，F2为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为FO是DF1F2的中位线，且DF1FO，所以|DF2|=2|FO|=2b，所以|DF1|=2a|DF2|=2a2b，故（2分）在RtFOF1中，即b2+（ab）2=c2=5，又b2+5=a2，解得a2=9，b2=4，所求椭圆E的方程为（4分）（） 由（）得椭圆G：设直线l的方程为y=k（x+2）并代入整理得：（k2+4）x2+4k2x+4k24=0由0得：，（5分）设H（x1，y1），K（x2，y2），N（x0，y0）则由中点坐标公式得：（6分）当k=0

47、时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆G的两个顶点（0，2），（0，2）（7分）当k0时，则x00，直线MN的方程为此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点（0，2），（0，2）；若直线MN过椭圆G的顶点（1，0），则，即x0+y0=1，所以，解得：（舍去），（8分）若直线MN过椭圆G的顶点（1，0），则，即x0y0=1，所以，解得：（舍去）（9分）综上，当k=0或或时，直线MN过椭圆G的顶点（10分）（）法一：由（）得椭圆W的方程为，（11分）根据题意可设P（m，n），则A（m，n），C（m，0）则直线AC的方程为，过点P且与AP垂直的直线方程为，×并整理得：，又P在椭圆W上，所以，

48、所以，即、两直线的交点B在椭圆W上，所以PAPB（14分）法二：由（）得椭圆W的方程为根据题意可设P（m，n），则A（m，n），C（m，0），所以直线，化简得，所以，因为xA=m，所以，则（12分）所以，则kPAkPB=1，故PAPB（14分）23已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点为A，B（1）（）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（）若椭圆上存在点P，使得APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值解：（）（）圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，b=c，b2=a2c2=c2，a

49、2=2c2，（3分）（）由APB=90°及圆的性质，可得，|OP|2=2b2a2，a22c2，（6分）（）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则整理得x0x+y0y=x12+y12x12+y12=b2PA方程为：x1x+y1y=b2，PB方程为：x2x+y2y=b2x1x+y1y=x2x+y2y，直线AB方程为，即x0x+y0y=b2令x=0，得，令y=0，得，为定值，定值是（12分）24已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切（）求椭圆的标准方程；（）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线x2=4y上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由解：（）设椭圆方程为（ab0）（1分）因为，得又，则b2=2，a2=3故椭圆的标准方程是（）由椭圆方程知，c=1，所以焦点F（0，1），设点 由，得（x1，1y1）=（x2，y21），所以x1=x2，1y1=（y21）于是x12=2x22因为x12=4y1，x22=4y2，则y1=2y2联立y1=2y2和1y1=