最新2001考研数三真题及解析(1)资料

1、精品文档2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q二ALK 其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A, a陶为大于零的参数，则当Q =1时K关于L的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万.若以Wt表示第t年的工资总额(单位：白万兀)，则Wt满足的差分方程是-k11们设矩阵A =1k11,且秩(A)=3,则k =11k1111k设随机变量X，Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式 px -Y >6<2 设总体X服从正态分布N(0,0.2 ),而X1,X2|X15是

2、来自总体X的简单随机样本，贝y随2 2服从分布，参数为X1X102 X：X二、选择题f '(x)(1)设函数f (x)的导数在x=a处连续，又lim1,则()x a(A) x = a是f (x)的极小值点.(B) x = a是f (x)的极大值点.(C) (a，f(a)是曲线y= f(x)的拐点.(D) x =a不是f (x)的极值点，(a，f(a)也不是曲线y=f(x)的拐点.1 2xr(x +1)，0"E1 设函数g(x) = f (u)du，其中f(x) = <，则g(x)在区间(0,2)内()!(x_1)，1Ex 空2(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续a

3、12a13a22a23a32a33a42a43a11a21a31_a41a13a23a33a43ai2an0a22a21a32a31，Pa42a410 01 00 10 01【00010 0 000 104P2 =,其中A可逆，则B-等于()010 0卫0 0 1 一1 1 11(A) A RF2 (B) RAF2(C) RPqA(D) PqA-R.(4)设A是n阶矩阵,o是n维列向量 若秩 A °=秩(A)，则线性方程组(W 0丿(A) AX = a必有无穷多解(B)AX =a必有惟一解A(C) T0=0仅有零解“ A八T0 0丿<y>=0必有非零解(D)(5)将一枚硬

4、币重复掷n次，以X和丫分别表示正面向上和反面向上的次数 系数等于()则X和 丫的相关(A) -1(B) 0(D) 1精品文档、(本题满分5分)设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数 ,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定xyxe xy = 2 禾口 e2空求dU0 tdx四、(本题满分6分)已知f (x)在(-s，+ x内可导，且lim f'(x)=巳X亠C xim( )二!imf(x)f(xT),求c的值.五、(本题满分6分)十 _'(x2 为2)求二重积分 ny1 x&dxdy的值,其中D是由直线y=x, y= - 1及x =1围成的平面D区域六、

5、(本题满分7分)已知抛物线y=px2，qx(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.(1)问p和 q为何值时，S达到最大？求出此最大值七、(本题满分6分)设f (x)在区间0,1上连续，在(0,1)内可导，且满足f (1) = kjxeif(x)dx,(k 1).证明：存在 & (0,1),使得 f'( ) = 2(1 -")f().八、(本题满分7分)已知fn(X)满足'n i xefn(x)工fn(x) X -e (n为正整数)且fn(1),求函数项级数n九、fn (X)之和.(本题满分9

6、分)_11 al11 a 1,P =1匸11一i i-2设矩阵A二.已知线性方程组 AX =阳解但不唯一，试求:a的值；(2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.十、(本题满分8分)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，4是A=(aq中元素的代数余子式(i,j、n n Ai= 1,2，,n)，二次型 f(X(,X2川区)-XjXj.i 二 j 二 An n A(1)记A =(Xi ,X2，川Xn),把f (Xi,X2|Xn)=迟迟 Xj .写成矩阵形式,并证明二次 i =1 jT A型f (X)的矩阵为A4; 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由 十一、(本题满分8分)生产

7、线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5 千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱 才能保障不超载的概率大于0.977.(2)=0.977其中X)是标准正态分布函数).十二、(本题满分8分)设随机变量X和Y对联和分布是正方形 G=(x,y)|1 «3,1茫上的均匀分布，试求随机变量U=X-Y的概率密度p(u).2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题【答案】-二Ey x .xyf xEx yf x【详解】性为：由Q二AL：K :，当Q =1时，即AL：K ： =1，有K =C',

8、于是K关于L的弹【使用概念】 设y = f x在x处可导，且f x =0，则函数y关于x的弹性在x处的值为a 311aJd <-L_-EKELdLAT【答案】1.2Wtd 2【详解】Wt表示第t年的工资总额，则 Wt4表示第t -1年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得 Wt满足的差分方程是:W =(1 20 )WG1.2Wtj2【答案】-3【详解】方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对 A进行初等变换-k111-'k111 1A =1k111行X (1)分别加至2 34行1 kk10

9、011k11 k0k 10-111k_1 k00k _1 一2_4列分别加到列k -1k -10k -1可见只有当k =-3时，r(A)=3.故k =-3.方法2：由题设r(A)=3,故应有四阶矩阵行列式1行(-1)分别加到2,3, 4行1 -kk11 -k1 -kk12,3,4列分别加到1列k -1k -1=(k 3)(k_1)3 =0,k1可知，此时r(A)=1解得k =1或k = -3.当k =1时,11111行 X (_1)分别加至2-3-4行000011110000111一10000 一111111111A 二不符合题意，因此一定有k =-3._11【答案】一12【所用概念性质】切比

10、雪夫不等式为：px E(X)兰乞兰z2期望和方差的性质：E(X YHEX EY ； D(X YHDX 2cov(X,Y) DY【详解】把X Y看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差故 E(X Y)=EX EY=-2 2=0又相关系数的定义:匸(X,Y)cov(X,Y)、DX ； DY则 cov(X,Y) = J(X,Y)、一甌DY =(-0.5) J .4 = -1D(X Y)二DX 2cov( X,Y) DY -1 2 (-1)4=3所以由切比雪夫不等式：px +Y 启6 = p*x +YE(X +Y)| 2 6兰D(X Y) 3162 = 36 = 12Xn【所用概念】1. F分布

11、的定义：F=/Yn2其中x 2(n)Y 2(n2 )(5)【答案】F ; (10,5)nN(0,1)，则' Zi2 2(n)【详解】因为xi由样本的独立性可知,L F(10,5).学m守2与织2.2分布的定义：若乙,|l(,Zn相互独立，且都服从标准正态分布2 Z u3.正态分布标准化的定义：若Z N(u,；)，则 N(0,1)CFX 0 xL N(0,2 2)i =1,2,15 ,将其标准化有； 扌L N(0,1)，从而根据卡方分布的定义守J 2(10)2i相互独立.2二、选择题(1)【答案】B【详解】方法1：由lim匸区一 -1,知x a x -af '(x)f '

12、(x)lim f'(x) = limxa = limlim xa =T0=0x jax 股 X - ax:a X a x a又函数f(x)的导数在X二a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以f (a)二0，于是有f "(a) =limx yf '(x) - f '(a)x af (x)在x处即f (a) = 0, f (a)- 一仁：0，根据判定极值的第二充分条件：设函数具有二阶导数且f(X。)= 0， f”(x0)= 0，当f”(x0)：0时，函数f (x)在x0处取得极大值.知x =a是f(x)的极大值点，因此，正确选

13、项为(B).方法2：由佃丄0=1,及极限保号性定理：如果lim f x = A，且A 0(或A ： 0)， X)a x _aX 內那么存在常数6 :>0，使得当Oc|x x0成6时，有f(x)0 (或f(x)cO)，知存在f '(x)X = a的去心邻域，在此去心邻域内0于是推知，在此去心邻域内当X :： a时x af (x)0 ;当x a时f(x)：0.又由条件知f(x)在x=a处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数 f (X)在X。处连续，且在X。的某去心：领域内可导，若xx0, x0 时，f(X) 0，而 XX0, X - -时，f(X):： 0，则 f (x)在 X0处

14、取得极大值，知f(a)为f(x)的极大值.因此，选(B).【答案】(D)【详解】应先写出g(x)的表达式.1 2当 0 乞 x ：1 时，f(x) (X21)，有x1-XX 1-g(x) = 0 f U du = 0 (u 1)du-21当 1Ex E2时，f(x) (x-1)，有3X1g(x)二 0 f (u)du 二 0 f(u)du 订 f (u)du 二1 12X 1岳(+1灿+£(一1)du因为g(x)二0u0 6x 1一一 u1 31 31-X X,6 22 1 xT 2,3 6lim g (x) = lim 丄 x31 xx1x1_ 62rr r a3，Xim g(x)

15、pm 3 W X"22 1 2 2且g (1)1 1 i ：3 63所以由函数连续的定义，知g(x)在点x =1处连续，所以g(x)在区间0,2内连续，选(D).f 1 3 1 、 1 2 1同样，可以验证(A)、(B)不正确，0 ： x ：1时，g (x) x x x 0，单16 2 丿 2 2调增，所以(B)递减错；同理可以验证当1：:X：:2时，g(x)二？X-12二1 X-10，(3 6丿 3'5单调增，所以g0_gx_g2，即0乞gx 与选项(A)无界矛盾.【答案】(C)【详解】由所给矩阵 代B观察，将A的2,3列互换，再将 A的1,4列互换，可得B .根据初A的右

16、侧乘以E23，将A的1,4列互等矩阵变换的性质，知将A的2,3列互换相当于在矩阵换相当于在矩阵A的右侧乘以E14，即-'10001-000们AE23E14 = B，其中E23 0010，E14 :010001000010-0001 一1000 一由题设条件知 只=日4,鸟=£23，因此B=AF2R.由于对初等矩阵Ej有，= Ej，故P亠=P,巳'=F2.因此，由B =AP2R，及逆矩阵的运算规律，有1-41B =(AF2R) =R P2 A =RP2A .【答案】(D)T' A a、【详解】由题设，A是n阶矩阵，。是n维列向量，即aT是一维行向量，可知 T 是

17、S 0丿' A' A a'n +1阶矩阵.显然有秩=秩(A)兰n Wn +1,即系数矩阵aT 0丿aT 0丿非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组¥x A人y=o必有非零解【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X 丫二n，从而丫二n-X ,故 DY = D(n _X) = DX由方差的定义：DX =EX2 -(EX)2，所以DY =D(n X) =E(n X)2 一 I.E(n X)f =E(n22nX X2) (n EX)2二 n2 -2nEX EX2 - n2 2nEX -(EX )2

18、二 EX2 -(EX )2 二 DX )由协方差的性质：cov(X,c)=0 (c为常数)；cov(aX,bY)二 abcov(X,Y)cov(X1 X2,Ycov(X1,Y) cov(X2,Y)所以 cov(X,Y)二 cov(X, n - X) = cov( X, n) - cov( X, X) = 0 - DX =-DX由相关系数的定义，得(X,Y) = cov(X,Y) - DX一 1f (x)JdxJdyJdxJdx三【变限积分求导公式】 g(t)dtx = g f (x) f (x)a【详解】根据复合函数求导公式，有(*)du ;f 汗 |_dy ：f dz dx ;x ;y dx

19、 ：z dx在exy-xy =2两边分别对x求导，得在exexy(y+x¥)-(y+x¥)=0,dxdxd = _y.dx xx-z sin tSintdt两边分别对x求导，得tx sin(x-z) 一 dz dz e ="nxr(1 芯)，即 dr1ex(x z)sin(x -z)将其代入(*)式，得du ：:f 汗dy dzy :fdx : x :y dx : z dx : x x : yex(x-z) f sin(x - z) : z1四【详解】因为lim(1)x = ex_xx c、xx -c 2c、xlim( ) =lim()(把 x c写成 x-c 2

20、c)J x cx广 x cx_c 2cxpm( x°2c严汪(把 x写成翁癸)X x -c2cx2c 2百 = lim |(1+上=)2cX_c2c(利用幕函数的性质mn am、n、=(a )=lim ex_ L :_2cxln诧讦-X(利用对数性质eln f (x)f(x)2cx ,2c 才ln (1尸X_c x_c=lim e -x_ L :(利用对数性质ln f (x)g(x)= g(x)ln f (x)2cx lim In x 二x_c二 e4x_c(利用y二ex函数的连续性,lim ef(x)x j :lim f(x)二 e).2cx| L ,2c <lim lim

21、In (1)x :-x .c X-.：_： 二 e2cx _c(当各部分极限均存在时,lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x)x X J ：x L :lim 2cx ln limx 二:xq x-J二 e-xnX _c(利用 y=lnx函数的连续性,limlnf(x) = lnlimf(x)2c In e二 e(利用 lim(1 丄) 二 e)二e2c(In e=1)又因为f (x)在:；：-匚片：内可导，故在闭区间x-1,x上连续，在开区间(x-1,x)内 可导，那么又由拉格朗日中值定理，有f(x)-f(x-1)=f( )x -(X -1) = f ( ), X

22、 -1 ：: X左右两边同时求极限，于是ymi f (x) - f (x -i)=艸：f '()二e,因为x: X，X趋于无穷大时，'也趋向于无穷大x + ci由题意，lim( )x pmlf (x)-f(x-1),从而 e =e，故 c-"x c "2五 【详解】 积分区域如图所示，可以写成!(x2dy2)y1 xe2dxdy二 ydxdy亠 iixye2其中,11ydxdy =D1 1dy yydx1.dy(1 -y)dy2；3；dxdy,2 212 21 (x y )2(x21 2 2 -(x2 旳2)ii xye2dxdy =D1 .二 Jdy ye

23、24-(ejydy xe1 2 21-(x2 y2)dxydy.ye2d(j x2)21 i(x2 y2)11(1 -y2)1 2 2d-(x y )-e)dy2；(x24y2)y1 xe2D11(1 y2)2-ey )dy1 *y2)dy21 edy2-Jy2)1 y2e2=0六【详解】方法1:令y = px2 qx = x( px q) = 0，求得它与x轴交点的横坐标为:x 0, x2根据定积分的定义，面积 S为s =。E+qx衍卜+关_qp12 (注： xndx 二 6p3=qxn1 C)因直线x y =5与抛物线2y =px - qx相切，故它们有唯一公共点由方程组 + y =5&#

24、39; 2 ±y 二 px qx求其公共解，消去 y，得px2 (q 1)x -5 =0，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即2 2.: = (q 1)4 p (一5) = (q 1)20 p = 0,解得120(q 1)2.将p代入S中，得3S(q)春1 26-方9 “200q343(q 1)根据函数除法的求导公式,2200q (3 - q)53(q 1)344 3S (q)=(200q)3(q 1) -3(q 1) (200q )3(q+1)42根据驻点的定义，令 S(q)=0，已知有q .0，得唯一驻点q=3.当1cqc3时，S(q)0 ； q&g

25、t;3时，S'(q) c0.故根据极值判定的第一充分条件知，q=3时，S(q)取唯一极大值，即最大值.225从而最大值为 S = S(3)=.322方法2：设抛物线y二px qx与直线x y = 5相切的切点坐标为(x°, y°)，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有y0=px2qx0和x0y0= 5 抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等在y二px2 qx左右两边关于x求导，得、二2px q，在x y =5左右两边关于x求导，得y - -1，把切点坐标(X0,y°)代入，得y x% =2px) q=_1 二 X。=q 12p由

26、x°y°= 5 =y°= 5- X。，将两结果代入y° = px：-qx0 得q 1、2/q 1、2/q 1、y0=5-X0=5-()= px°qx°=p()q()2p2p2p整理得p 一 2> 忙S(q)=200q33(q 1)4根据函数除法的求导公式,S (q)=(200q3) 3(q 1)43(q 1)4 (200q3)3(q+1)422200q (3 - q)53(q 1)根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令S(q) =0，已知有q 0,得唯一驻点q =3.当1 ：q ：3时，S(q) 0; q 3时，S(q)

27、： 0;故根据极值判定的第一充分条件知，q =3时，S(q)取唯一极大值，即最大值从而最大值为S=S(3) =22532将p代入S中，得n./C 得CexIn f (x) = x Tn x +G = In f (x) = In -r- nf(x)任，x七【详解】将要证的等式中的换成x，移项，并命(x) =f (x)-gf(x)x问题转化为证在区间(0,1)内(x)存在零点.将X 1f (x)f(x) = 0x看成一个微分方程，用分离变量法求解由df(x) x -1 ,dxf(x) xxcl = (1- 1dxxx两边积分得业)='f(x) L即xe公 f (x) =C，命 F(x)二

28、xef (x).由1f(1) =k okxd 公 f(x)dx,(k 1)及积分中值定理(如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个b1点，使得 f (x)dx 二 f ( J(b-a)(a _ - b)，知至少存在一点(0,) 0,1，使ak1f(1) =k okxe?Af(x)dx 二一 f ()且 F( )=ref( )，F(1eJf (1).把 f (1Hv.e f ()代入，贝 UF(1HeJf(1HeJ e f( ).ef( )=F()那么F(x)在,1上连续，在(，1)内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点；：=(,1) 0,1, 使得F ( ) 乂-

29、 f ( )& f ( ) =0即f ()二(1 一 J)f ().八【详解】由已知条件可见fn (x) - fn(x) =Xnex，这是以fn(x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中p(x)二-1,q(x)二Xnex，代入通解公式-P(x)dxP(x)dxf (x) = e ( q(x)e dx C)得其通解为由条件fn(x) =e、"x+CX =e/ n、+CkJ丿1fn(1)又 fn(1) =e C ，得 C = 0 , nin 丿n x故 fn(X)二 x-e-n:二 n x二 nfn (X)八红占 nFnnn壬 noO n1|a|1记s(xts十；，俾审訴呼&

30、quot;，则其收敛半径为只1，收敛区间为(-1,1).当X，(-1,1)时，根据幕级数的性质，可以逐项求导,f 心、n > Zr xQO/ n 、X=Z =Eg n丿n 4S(x)丁 nd 八Xn z11vTX，其中i1-x=1 X x?川 Xn IIIXx故根据函数积分和求导的关系f(x)dx=f(x)+C，得S(x)dx = S(x)0 =S(x)S(0)00 0n002又由于S(0Hx 00，所以n 二 n12xx 1S(x) =S(0)°S (x)dx=Odx = -ln(1-x)，1 x旳xn即有In(1 x), x ：= (1,1)n 4 n当X - -1时，=

31、-In2.级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的n 4n范围可扩大到x - -1处，即:xnIn (1 x),x 1,1) n生ncO于是' fn (x) = -exln(1 -x), X -1,1)n 二九【详解】(1)线性方程组 AX =0有解但不唯一，即有无穷多解 二r(A) = r(A)c n = 3， 将增广矩阵作初等行变换，得11a：1 1_11a :1 1A= 1a1：12行 _1行，行1 行 (川倍 0a 11 a ：0'a11：-2一02亠1-a 1-a :2 a_11a；11行加到3彳行0a 11 a:000-(a-1)(a+2)( a+2)一因为方程

32、组AX =P有解但不唯一，所以 r(A)=r(A)<3，故a=-2.(2)由(1)，有11-2A=1-21-211 一由人-1-12Z-12九E - A=-1Z+2-12,3列加到1列丸+ 2-12 -1k1A-1九11 -1 21-12提出1列公因子九1 九+2-11行x (_1)分别加到2,3行九0人+ 3-31 -1丸-100入3仝.(3)( -3) =0故A的特征值为 討=0,鶴-3,二3 =3.当，1 = 0时，-1-12 -1-12 -1 -1 2 1(0E_A) =-12 -11行的(1),2倍|03-32行加到3行03-3-2一1一1 一分别加到2,3行0一33 一1.0

33、 0 0 一于是得方程组(0E - A)x = 0的同解方程组为xi x2 - 2x3 二 03x2 - 3x3 = 0可见，r(0E - A) =2，可知基础解系的个数为 n- r(0E-A)=3-2=1，故有1个自由未知量，选X2为自由未知量，取X2 =1，解得对应的特征向量为i =(1,1” .当-3时,2、-15-11-11 2行互换；2-122>12-12 一*2 -1(3E _A)= -15<2 一1| 15-1-15T3行行 2-12加到2行 090000 一.000 一于是得方程组(3E -A)x =0的同解方程组为_片 5x2 _x3 = 09X2 =0可见，r(

34、3E - AH 2，可知基础解系的个数为 n-r(3E - A) = 3 - 2 = 1，故有1个自由未知当工-1 = - 3时，-12、-1-1-1 'f3E _A =-1 -1-11 2行互换i11' 1 14-12 # 1 /<2 -1一4<2-1一41 行(4) 倍F,2倍(-1-1-1、(-1-1-1 0362行加到3行036分别加到2,3行1°-31°0°于是得方程组(-3E - A)x =0的同解方程组为量，选Xi为自由未知量，取为=1，解得对应的特征向量为2 =(1,0,-1几X X2 _ X303x2 6x3 = 0可

35、见，r(-3E - A) =2，可知基础解系的个数为 n - r(-3E - A) = 3- 2 = 1，故有1个自由未知量，选X2为自由未知量，取 X2 =2，解得对应的特征向量为 1=(-1,2,-1)T.由于A是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将1, 2, 3单位化,_ 1 一2、2_1J5 【-1_1 1-2J J其中,112一1厂12-、3, 2一12 (-1)22, 3|叮(-1)222 (“)2©11-11石10211_1£逅恵-_30 0_0-3 0Q J 一1, ：2,=00QTAQ =QAQ则有十【详

36、解】(1)由题设条件,n n Ajf(X1,X2川 |Xn)XiXj7 j 4 1 A|1 n nX i Aj XjA iJ j J1 n=TTT Xi ( AiXi + A(2X2 +川 + 代 Xn)1 nTTT Xi (片,A211 , An )A VX21 -n 1X2*=而匡为(As A2,l 1 i , An )卡hrIA »f<Xn>Xi1=jA R(Al , A2, III, An) +X2(A?i , A22 , j I L A2n) +| I j Xn( Aii, An2 ,11 丨,Ann)】X2lXn丿1=-(Xi,X2,|l|,Xn)AAI1 A1 1 A1n 1A21 A22 川 A2nX2fh台1代2川Ann 一rA V()XtAX其中(“)的理由：A是可逆的实对称矩阵，故_1 TT -1_J(A )=(A )二A ，因此由实对称的定义知，A4也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质AA= AE，知A=aA，因此A也是实对称矩阵， A = A，故(“)成立.(2)因为 A 丁 AA，二 At E 二 A，所以由合同的定义知 A与A，合同.由实对称矩阵A与 B合同的充要条件：二次型 xTAx