chp2-单自由度系统的自由振动-2s

1、机械工程学院机械工程学院 机械装备与控制工程系机械装备与控制工程系n绪论绪论单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动p单自单自由由度系度系统统的强迫振的强迫振动动p两自两自由由度系度系统统的自由振的自由振动动p两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动机械振动机械振动讲授内容讲授内容 第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.1 无阻尼自由振动的微分方程不考虑恒力和及由其引起的静变形，将坐标原点选在静平衡位置，可以得到无阻尼自由振动无阻尼自由振动的一般微分方程：0mx静平衡位置弹簧原长位置k0 x静平

2、衡位置弹簧原长位置mk0 kxxm n/k m2n0 xxmgksinmgml 微幅摆动微幅摆动0lg n/g lkJ421;232d GJmrkl0kJ n/kJm30ok)(30sin.0 xxkmgxm n/k m0kxxm 说明：如果将说明：如果将m m、k k称为称为广义质量广义质量及及广义刚度广义刚度，则角振动与直，则角振动与直线振动的数学描述完全相同。线振动的数学描述完全相同。第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.1 无阻尼自由振动的微分方程2n0 xx2.2.1 无阻尼自由振动的微分方程2n0 xx方程的通解： 1n2n( )cos()sin()

3、x tctct1,2nsi特征值为纯虚根： nnnnnsin()sin(2 )sin2/sinttttT nnnnncos()cos(2 )cos2/costtttT n/k m单位：弧度/秒（rad/s） n2/T 单位：秒（s） n1/2fT单位：次/秒（1/s ; Hz） 第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.1 无阻尼自由振动的微分方程振动位移： 1n2n( )cos()sin()x tctct振动速度：1nn2nn( )sin()cos()x tctct 初始条件0(0)xx0(0)xx2200n(/)Axx 0n0arctanxx单位：米（m） 单位

4、：弧度（rad） 则初始条件下系统的自由振动响应：则初始条件下系统的自由振动响应：00nnnn( )cos()sin()cosxx txttAt第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.2 固有频率的计算0mx静平衡位置弹簧原长位置k0kxxm nkmkmg 在静平衡位置： nkgm则有： 对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用该式计算较为方便（静变形法静变形法）方法一：公式法方法一：公式法第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.2 固有频率的计算例：如图示复摆，刚体质量例：如图示复摆，刚体质量m，重心，重心C，对悬点

5、的转动惯量为，对悬点的转动惯量为0I求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率。 mg0Ia0C解：由牛顿定律得运动微分方程为固有圆频率 ：【应用应用】：实实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法。法。工程中：由已测的固有频率求出绕转轴的转动惯量 再由移轴定理得出绕质心的转动惯量第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.2 固有频率的计算方法二：能量法方法二：能量法( (保守系统保守系统) )2e12Tm x2e12Vk xenekmLTVLagrange函数：单自由度保守系统的运动微分方程：d0dLLtxxee0m x

6、k x21maxen1()2UTm A22maxe12UVk AmaxmaxTVUTV方法一：公式法方法一：公式法能量法（能量法（Lagrange方程）也广泛用于确定系统的运动微分方程。方程）也广泛用于确定系统的运动微分方程。第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.2 固有频率的计算例题：如图所示是测量低频振幅用传感器的无定向摆，摇杆质量不计，一端铰接，另一端装敏感质量m，并在摇杆上连接刚度为k的两弹簧以保持摆在垂直方向的稳定位置，求系统的固有圆频率。lmakk第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.2 固有频率的计算解：零势能位置l

7、makk广义坐标动能势能选取零势能位置。固有圆频率：思考：试写出运动微分方程？思考：试写出运动微分方程？牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律mxFLagrangeLagrange方程方程d0dLLtxxee0m xk x第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性00nnn( )cos()sin()cosnxx txttAt无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以固有圆频率为振动圆频率的简谐振动，并且永无休止。因此，初始条件是外界能量输入的一种方式： 初始位移即输入了势能 初始速度即输入了动能xt0Ann2T0 x第第2 2章章 单自

8、由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性00nnn( )cos()sin()cosnxx txttAt初始条件： 0, 200 xx固有圆频率从左到右： nnn3,2,时间位置第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2200n(/)Axx 0n0arctanxx【MATLABMATLAB】调调用用ex_1,sol_ex1ex_1,sol_ex12.2.3 无阻尼自由振动的运动特性l 单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅谐波振动；l 自由振动的固有频率仅由系统本身的参数确定，与外界激励和初始条件无关；l 对于确定的系统，自由振动的振幅和初

9、相位角由初始条件所决定；l 两种特殊的初始扰动形式：在平衡位置给初速度推离平衡位置，不给初速度第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2200n(/)Axx 0n0arctanxxn( )cosx tAt2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性例题： 如图所示提升机系统重物重量51.47 10 NW 重物以 的速度均匀下降 15m/minv 求：绳的上端突然被卡住时：1. 重物的振动圆频率；2. 钢丝绳中的最大张力。 Wv钢丝绳的弹簧刚度 65.78 10 N/mk 第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性解：W静平衡

10、位置kxWv振动圆频率若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置，即稳态静平衡位置。 则 t=0 时，有： 振动解：绳中的最大张力等于静张力静张力与因振动引起的动张力动张力之和 ：555max/1.47 100.74 102.21 10 (N)snTTkAWkv【思考】：为了减少振动引起的动张力，应当采取什么措施？第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性例题：mh0l/2l/2重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞，梁长l ，质量不计，抗弯刚度 EI。求：1. 梁的自由振动频率 2. 梁的最大挠度。 第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性解： 以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系mh0l/2l/2x静平衡位置计算静变形：EImgl483固有圆频率为 ： 撞击时刻为零时刻，t=0 时，有： 则自由振动振幅为 ：梁的最大扰度： 第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2.1 无阻尼自由振动的微分方程2.2.2 固有频率的计算2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性2n0 xx00nnn( )cos()sin()cosnxx txttAtnee/km 建立系统的振动微分方程 求得固有频率 初始条件的确定 求