常微分方程的消元法和首次积分法

1、4.2、微分方程组的消元法和首次积分法 我们介绍微分方程组的两种求解方法我们介绍微分方程组的两种求解方法: :消元法消元法和和首次积分法首次积分法, ,这两种方法对求解一些简单的这两种方法对求解一些简单的微分方程组是很有效的方法微分方程组是很有效的方法, ,但在学习这两种方法时但在学习这两种方法时必需注意它们的必需注意它们的局限性局限性. .一、一、微分方程组的消元法微分方程组的消元法 将将一阶微分方程组：一阶微分方程组： ),(dd),(dd212111nnnnyyyxfxyyyyxfxy中的未知函数中的未知函数nyyy,21只保留一个，只保留一个，消去消去其他未知函数，得到其他未知函数，得

2、到一个未知函数的高阶方程，一个未知函数的高阶方程，其他未知函数其他未知函数. .这种方法常用于二个或三个这种方法常用于二个或三个先求出这个未知函数，然后再由其他方程求出先求出这个未知函数，然后再由其他方程求出方程构成的方程构成的常系数微分方程组常系数微分方程组的求解的求解. .例例1 1 求解方程组求解方程组 2122112dd23ddyyxyyyxy解解 保留保留2y, ,消去消去1y. .由第二个方程由第二个方程解出解出1y，得，得)dd(21221yxyy 对上式两边关于对上式两边关于求导求导, ,得得x)dddd(21dd22221xyxyxy 代入原方程组的第一代入原方程组的第一个方

3、程得个方程得:0dd2dd22222 yxyxy二阶常系数线性齐次方程二阶常系数线性齐次方程, ,通解为通解为xexccy)(212 xexcccy)22(212211 故原方程组的通解为故原方程组的通解为 xxexccyexcccy)()22(212122211其中其中21,cc是任意常数是任意常数. . 2122112dd23ddyyxyyyxy)dd(21221yxyy 一阶线性非齐次方程的通解为一阶线性非齐次方程的通解为xxecexcccy332211)22(21 出现了三个任意常数出现了三个任意常数?,321ccc因此为因此为避免避免出现出现增解增解，在求出一个未知函数后，在求出一个

4、未知函数后，03 c是一个多余的任意常数是一个多余的任意常数. .不要再用求积分的方不要再用求积分的方法来求其他的未知函数法来求其他的未知函数. . 2122112dd23ddyyxyyyxyxexccy)(212 xexccyxy)(23dd2111 例例2 2 求解方程组求解方程组xytyytx2dd,dd 解解 将第一个方程求导得将第一个方程求导得tytxdddd22 代入第二个方程得代入第二个方程得0)dd(1dd222 txxtx不显含自变量不显含自变量t txpptxptxdddd,dd22 设设,ln1ctcx ,12tcecx 再由第一个方程得再由第一个方程得.121tcecc

5、y , 0)dd( xpxppxctxp1dd 二二 微分算子与线性微分方程组微分算子与线性微分方程组 这里介绍微分算子这里介绍微分算子D 及其用消元法解线性及其用消元法解线性微分方程组的应用微分方程组的应用. .)(tx设设是定义在某区间是定义在某区间I I上的具有上的具有n 阶连续阶连续导数的函数，微分算子导数的函数，微分算子D 被定义为被定义为.1 ,dd,ddnktxxDtxDxkkk 相应地定义算子多项式：相应地定义算子多项式：,111nnnnaDaDaDL .1)1(1)(xaxaxaxnnnn xaDaDaDLxnnnn)(111 L L是线性算子是线性算子! !例如设例如设,

6、23, 13221txDLDL 则则)(2121xLLxLL 32291218ttt )29)(1(322ttD )(1212xLLxLL 32291218ttt )6)(23(3ttD 321)1(tDxL ,29322ttxL ,63tt )()(2241312211tgxLxLtgxLxL微分算子法求解常系数线性微分方程组微分算子法求解常系数线性微分方程组. .)()()(132122341tgLtgLxLLLL 2x仅依赖于变仅依赖于变量量的一个高阶微分方程的一个高阶微分方程?)()()(122412341tgLtgLxLLLL 解解: :设设,2, 3221DLDL , 2)(,)(

7、21 tgttg例例 3 3 求解方程组求解方程组 283223222121121xxxxtxxxtxtxtx8313dd2dd22222 )()()(132122341tgLtgLxLLLL 二阶线性常系数非齐次微分方程通解为二阶线性常系数非齐次微分方程通解为12583212 tececxtt82, 3243 DLDL12583212 tececxtt代入原方程组的第一个方程中得代入原方程组的第一个方程中得ttecectxtx3211162413dd2 一阶线性非齐次微分方程通解为一阶线性非齐次微分方程通解为233321132236113tttececectx 283223222121121

8、xxxxtxxx代入原系统的第二个代入原系统的第二个方程中得方程中得. 03 c积分可以得到未知函数组合积分可以得到未知函数组合形式的解，形式的解，三三 微分方程组的首次积分法微分方程组的首次积分法经经适当组合适当组合化为一个化为一个可积分的微分方程可积分的微分方程. .首次积分法是将方程组首次积分法是将方程组 ),(21niixxxtfx ), 2 , 1(ni 这个方程的未知函数可能是方程组中这个方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数组合形式几个未知函数组合形式.该方程为一个原方程组的首次积分该方程为一个原方程组的首次积分. .解解 将将两个方程相加两个方程相加得得()d xyxydt以

9、以作为一个未知函数，对上式积分得作为一个未知函数，对上式积分得yx 1txyc e原方程组的一个首次积分原方程组的一个首次积分. .再将再将两个方程相减两个方程相减得得()()d xyxydt 例例 4 4 求解方程组求解方程组xtyytxdd,dd这里这里21,cc是任意常数是任意常数. .1212ttttxc ec eyc ec e 解出未知解出未知函数函数, ,原方程组通解为原方程组通解为2txyc e原方程组的另一个首次积分原方程组的另一个首次积分. .解解 把方程组中的第一个方程乘以把方程组中的第一个方程乘以, x第二个方第二个方程乘以程乘以, y然后两式相加得然后两式相加得)1)(

10、dddd2222 yxyxtyytxxtyxyxyxd)1)(2)(d222222 把把看作未知函数看作未知函数, ,积分得积分得22yx 1222221ceyxyxt 12222ceeyxtt 例例 5 5 求解方程组求解方程组 )1(dd)1(dd2222yxyxtyyxxytx再利用原方程可得再利用原方程可得)(dddd22yxtxytyx 1)(arctandd xyt )1(dd)1(dd2222yxyxtyyxxytx另一个首次积分另一个首次积分2arctanctxy 采用极坐标采用极坐标,sin,cos ryrx 原微分方程的通解为原微分方程的通解为 ttectcyectcx22

11、22121)sin(1)cos(12222ceeyxtt 考虑一般的考虑一般的阶微分方程组阶微分方程组 n),(1niixxtfx ni, 2 , 1 其中其中),(1nixxtf1 nRD对对nxxx,21是连续可微的是连续可微的. .设设连续可连续可微，微，且不是常数，且不是常数，),(21nxxxt 使使),(21nxxxt 成为成为与与t t 无关的常数无关的常数, ,此常数与所取解有关此常数与所取解有关, ,则称则称为方程组为方程组的的一个首次积分一个首次积分.cxxxtn ),(21 把方程组任一把方程组任一解解代入代入)(txxii 设微分方程组有设微分方程组有n个首次积分个首次

12、积分nnnncxxxtcxxxt ),(,),(211211 如果在某区域内它们的如果在某区域内它们的JacobiJacobi行列式行列式0),(),(11 nnxxDD ),(1niixxtfx ni, 2 , 1 则称它们在区域则称它们在区域G G内为内为互相独立互相独立. .011 nnfxfxt ),(1niixxtfx ni, 2 , 1 定理定理1 1 设函数设函数),(21nxxxt D在区域在区域内内是方程组的首次积分的是方程组的首次积分的充要条件充要条件为为连续可微，且它不是常数连续可微，且它不是常数，则，则cxxxtn ),(21 检验一个函数检验一个函数是否为方程组的是否

13、为方程组的首次积分首次积分? ? 定理定理2 2 若若已知方程组的已知方程组的一个首次积一个首次积分分，则可把方程组求解问题转化为含则可把方程组求解问题转化为含 n -1 -1 个方程个方程的方程组的求解问题的方程组的求解问题. .定理定理3 3 若若方程组有方程组有n个互相独立的个互相独立的首次积分首次积分,21n 则可由它们得到则可由它们得到微分方程微分方程组的通解组的通解. .为了求解方程组为了求解方程组, ,只需只需求出它的求出它的n n个互相独立的首次积分就可以了个互相独立的首次积分就可以了. .事实事实上上, ,前面例题给出的首次积分是前面例题给出的首次积分是互互相独立的相独立的. . 因此由它们确定出的解都是通解因此由它们确定出的解都是通解. .),(1niixxtfx ni, 2 , 1 例例 6 6 利用首次积分求解方程组利用首次积分求解方程组 22)(dd)(ddxyxtyxyytx解解 两个方程相除得两个方程相除得xyyx dd得到原方程组的一个首次积分得到原方程