2019年中考数学试题分类汇编31：锐角三角函数

1、、选择题11. （2019湖南怀化，8, 4分） 已知/ “为锐角，且sin =,则/产（）2A.30 ° B.45 °C.60 °D.90 °【答案】A.【思路分析】 根据特殊角三角函数值即可得出答案.1【解答过程】 解：.一/ a为锐角，且sin =，2二 / 行30° .故选A.【知识点】特殊角的三角函数值2. （2019山东滨州，10, 3分）满足下列条件时， ABC不是直角三角形的为（）A. AB= ?41 , BC = 4, AC=5B. AB: BC: AC =3: 4: 51费 任；C. / a： / b： /C=3： 4： 5

2、d. cosA +僚anB ±= 02和 3 +【答案】C【思路分析】 选项A和B用勾股定理进行判断；选项C利用三角形内角和定理求出各角的度数再进行判断；选项D中，利用非负数的性质，特殊角的锐角三角函数值求出/A和/ B的度数，再利用内角和进行判断.【解题过程】A 中，. 4V5V J4i , AC2+BC2=52+42=41 , AB 2= ( J41 ) 2=41, . . AC2+BC2=AB 2,， ABC 是 直角三角形；B 中， AB : BC: AC=3 : 4: 5,设 AB=3k , BC=4k , AC=5k , -. AB 2+BC2= (3k) 2+ (4k)

3、 2=25k2,AC2=(5k)2=25k2, AB2+BC2=AC2, ABC 是直角三角形；C 中，/ A : / B : / C=3 : 4:5, . . / A=180° X =455X =75° ,12 ABC 不是直角三角形；D 中，12/ B=180° X =60° ,/ C=18012“1rcosA + 每an B 2?二T?二0，又;3 -.1 尝rcosA - - >0, ?tanB 立 t>0, cosA= - ，tanB=3 -2ZB=30° , . ABC是直角三角形.故选C.【知识点】勾股定理；三角形内角

4、和定理；特殊角的锐角三角函数值；非负数的性质3. （2019四川达州，题号 10, 3分）矩形 OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B （2/3, 2）, 点A在x轴上，点 C在y轴上，P是对角线 OB上一动点（不与原点重合），连接PC,过点P作PD，PC交x 轴于点D,下列结论：OA=BC= 2/3;当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7;在运动过程中，/CDP是一个定值；当 ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（竽,0）,其中正确结论的个数是（A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【答案】D【思路分析】可以结合图形根据题意，逐个判断【解题过程】已知 B （2J3,

5、2）,所以OA=BC= 2J3,故正确；当点 D运动到OA的中点处时，OD= J3 ,而OC=2 ,所以OC2=7,在直角三角形 CPD中，PC2+PD2=7,故正确；过点 P作PDLPC交x轴于点D,所以在运动过程中，/CDP是一个定值，故正确；当 ODP为等腰三角形时，OC，BD, /CDO=60 °OC2 32 3所以66 J3，即OD= ，所以点D的坐标为（号 ,0）【知识点】勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质4. （2019四川省凉山市，9, 4）如图，在 AA B C 中，CA = CB = 4 , cos C =sinB的值为()A而A .215B . 3D.叵4

6、【答案】D【思路分析】 过点A作AD，BC于点D,先利用cosC求CD,再借助勾股定理求 AD、AB,最后求sinB.【解题过程】 过点A作AD± BC于点D,中，AB= .( 15)2 322 6 , sinB=ADAB. COSC=1 , AC=4, .-.CD=1, .BD=3, AD=v；42 12 屈,在 RtAABD 41510 上小小l ,故选D.2 .-64A第9题答图【知识点】锐角三角函数；勾股定理5. （2019天津市，2, 3分）2sin60的值等于（A） 1（B） 一 2 （C） , 3 （D）2【答案】C“一，一1 一， 一【解析】常用特殊角三角函数值sin

7、60=,v3,再乘以2,可得答案C【知识点】有理数的乘法运算及特殊三角函数值计算BAC=Z %下列结论6（2019浙江省金华市，8, 3分）如图，矩形 ABCD的对角线交于点 O,已知AB=m, 错误的是（）B. BC= m tan amC. AO=2sinD. BD =cos【答案】C.【解析】由锐角三角函数的定义，得sina= 里，.AO=-BC,故选C.2OA2sin【知识点】锐角三角函数1 , ABC的顶点都7. （2019湖北宜昌，11, 3分）如图，在5X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是在这些小正方形白顶点上，则sin/ BAC的值为（）A.3B- 4【解析】 解：如图，过

8、 C作CDLAB于D,则/ ADC=90AC二心口叶43"2 工5.，sin/BAC 二里=I.AC 5故选：D.3【知识点】解直角三角形125,8. (2019四川绵阳，10, 3分)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图” 如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是小正方形面积是 25,则(sin 0- cos 0) 2=()A.C.9DG【答案】A【解析】解：二大正方形的面积是125,小正方形面积是 25,，大正方形的边长为 55,小正方形的边长为 5,5V5cos 0- 5M5sin 0= 5, . c

9、os 0- sin 上百，2 I1 . ( sin 0- cos0)三百.故选A.【知识点】 数学常识；勾股定理的证明；解直角三角形的应用9. (2019浙江嘉兴，5, 3分)如图是一个2 2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则 a可以是()阿V司A. tan60B.1C. 0D. 12019【答案】D【解析】解：由题意可得：a | 2| 3密2°,贝U a 2 3 ,解得：a 1 ,故a可以是12019 .故选：D.【知识点】 零指数哥；实数的运算；特殊角的三角函数值二、填空题1. （2019山东聊城，16,3分）如图，在RtAABC中,/ACB = 90° ,ZB =

10、 60° ,DE为ABC的中位线，延长BC至F使CF= 1BC,连接FE并延长交 AB于点M,若BC = a狈U4FMB的周长为2第16题图2【解析】BC = a,，CF= - BC= 1a,，BF= 3a-DE 为4ABC 的中位线，DE / BF,DE=- a,.-.A MEDAMFB, 2222MD ED，在 RtABC 中，/ ACB = 90° ,ZB = 60° ,.-. Z A = 30° ,AB = 2a,BD= a,.- MD = 1 a,MB = - a, / MBMB FB22= FB,/B = 60° ,ABMF是等边三

11、角形，周长=9a2【知识点】三角函数2. （2019山东淄博，17, 4分）如图，以 A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点 B处，折痕是 EF.重合）落在AC边上的点D （不与点A, C34;1 一如图 1,当 CD= AC 时，tan 15 12;21 一如图 2,当 CD= - AC 时，tan 23，一 一 1如图3,当CD= AC时 tan 34 ，依次类推，当CD = AC n 1（n为正整数）时，tan n第14题图- 2n 1【答案12n(n 1)【解析】当n= 1时,tan当n=2时,tan5125;2 6当n=3时,tan72473-8;tan n2n2

12、n 1n(2n 2) 2n(n 1)【知识点】几何变换，规律探究题3. （2019四川省乐山市，14, 3）如图,.则AB边的长为- 3在 ABC 中， B 30 , AC 2, cosC 一 5【答案】- 5【解析】解：过点 A 作 ADLBC 于点 D,ADB=/ ADC = 90° 在 RtAADC 中，. / ADC = 90° , cosCAC=2, DC=3 X2=6, AD .AC2 CD2 122 68,在 Rt ADB 中，/ ADB= 90° , / B= 30°5555AD116sin B= - ,AB=2AD= AB25【知识点】

13、 解直角三角形；勾股定理4. （2019 四川省眉山市，16, 3 分）如图，在 RtAABC 中，/ B=90° , AB=5, BC=12,将 ABC 绕点A逆时针旋”得到 ADE,使得点D落在AC上，则tan/ECD的值为.第16嬲图2【解题过程】解：在 Rt ABC 中，/ B=90° , AB=5 , BC=12 , . AC= '52 122 =13, ABC 绕点 A 旋转到ED 12 3 ADE,ED=BC=12 , AD=AB=12 , / ADE=90 , . CD=AC-AD=13-5=8 , . tan / ECD=-,故答DC 8 2案为：

14、3.2【知识点】勾股定理，旋转的性质，锐角三角形函数5. （2019四川省自贡市，18, 4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，/ “、/ 3如图所示,贝 U cos（ o+ 份=【答案】.【解题过程】解：连接BC, ,网络图是由10个完全相同的正三角形构成,. AD=DE = CE=BE, / ADE = /BEC=120°, ADEABEC,./ EBC=a . . / BEC=1200, BE=CE, ./ BCE=(1800-1200) + 2=300, ./ ACB = /ACE + /BCE=600+300=900,设小正三角形的边长为a,贝U AC=2

15、a, BC=V3a,在 RtA ACB 中，AB=AC-BC2 = V71. .cos/ABC=t一'-AE 击a7又. / ABC=/ABE+/CBE" 8" COS( o+ 份=.【知识点】特殊角三角函数，正三角形性质，全等三角形，勾股定理6. (2019 甘肃省，14, 3 分)在 ABC 中 C 90 , tan A ,则 cosB一3【答案】- 2【解析】 解：Q在Rt ABC中， C 90 , tan A ,3设 a J3x, b 3x ,则 c 2%Qx , a 1cosB 一 一 .c 2故答案为1 .2【知识点】特殊角的三角函数值7. （2019江

16、苏宿迁，17, 6分）如图，/ MAN = 60° ,若 ABC的顶点B在射线 AM上，且 AB=2,点C在射 线AN上运动，当 ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是 .y福A B 2/【答案】- -BC - ：【解析】解：如图，过点B作BCH AN,垂足为C1, BC21AM,交AN于点C2在 RtABCi 中，AB=2, /A=60° / ABCi=30° AC1=5AB= 1,由勾股定理得：BC1= d5,在 RtABC2 中，AB=2, /A=60°AC2B=30° AC2=4,由勾股定理得：BC2=23,当 ABC是锐角三角形时，点

17、 C在C1C2上移动，此时西BCV2再.故答案为：出MBCv 2H.A 8 M【知识点】勾股定理；解直角三角形8. （2019 江苏盐城，15, 3 分）如图，在 ABC 中，BC J6 & , C 45 , AB J2AC ,则 AC 的长【解析】 解：过点A作AD BC ,垂足为点D ,如图所示.设 AC x ,贝U AB J2x.在 Rt ACD 中，AD ACgsinC x , 2CD ACgsosC x; 2在 Rt ABD 中，AB J2x, AD 走x , 2BD ABAD -6 . 2BC BD CD x x V6 72, 22x 2 .故答案为2.【知识点】勾股定理；

18、解直角三角形9（2019 四川绵阳，17, 3 分）在 4ABC 中，若/ B=45° , AB=10k, AC=5l写，则 ABC 的面积是【答案】75或25.【解析】 解：过点A作ADLBC,垂足为D,如图所示.在 RtABD 中，AD = AB?sinB= 10, BD = AB?cosB= 10;在 RtACD 中，AD=10, AC=5匕写，1- CD =也AL =5, .BC=BD+CD = 15 或 BC= BD - CD = 5,_ 1 _ 、 一SaABC= BC?AD = 75 或 25.故答案为：75或25.三、解答题1. （2019山东省淄博市，23, 10分）如图1,正方形 ABDE和BCFG的边AB, BC在同一条直线上，且 AB =2BC,取EF的中点M.连接MD, MG , MB.试证明DMLMG,并求MB的值;MG(2)如图2,将图1中的正方形变为菱形，设/EAB=2o(0 0< a< 90°).其它条件不变，问(1)中MB的值有变化吗？若有变化，求出该值(用含【思路分析】(1)由M是EF的中点，构造全等三角形，(2)根据菱形+/ EAB= 2 ”可以设连接特殊线段，根据特殊垂直证明四边形a的式子表示)；若无变化，说明理由.TBFD为矩形，再设边长为 2和1在直角三角形用 a和边长2和1表示出M