专题6第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系

1、专题一 函数与导数专题六 解析几何1高考考点(1)掌握直线与圆锥曲线的位置关系；能解决圆锥曲线的简单应用问题(2)理解数形结合的思想2易错易漏(1)求解直线与圆锥曲线问题时，忽视“”的作用(2)忽视数形结合的作用，导致繁杂的计算量与低效的解题(3)对于综合问题，未能化繁为简，化难为易，有效转化3归纳总结本课集中体现了解析几何的基本思想与方法，要求要有较强的分析问题与解决问题的能力，参数问题涉及到代数、三角、几何等多方面的知识，复习中要注意各模块之间的联系和综合利用知识解题2 83()A. 4 3 B. 8 C. 8 3 D. 11. 6yxFlPPAlAAFPF设抛物线的焦点为 ，准线为 ，点

2、 为抛物线上一点， 为垂足如果直线的斜率为，那么 2,0- 3-2(-2,4 3)(6,4 3)6. 82FAFyxAPPF【解析】 抛物线的焦点，直线的方程为，所以点、，从而22222221,11()A. 2 B. 3 2 C 2 D.(20115).xyxyab若圆在点处的切线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率等于 漳州质检222221.1,1xyxyabe圆在点处的切线方程为，所以双曲线的一条渐近线的斜率为 ，所以，所以离心率【解析】221212123.2015163p()A 0B 11C 2)D 4xyFFMMFFM已知 、 为椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆的周长

3、等于，则满足条件的点有 个 福州模个 个 拟个12121212121212123321062223132tan22413tan224MFFMFFMFMFFFABCMFMFFFMAFMFMcFMFbM由的内切圆的周长等于，得内切圆的半径等于 ，设的内切圆与，分别相切于 ， ， ，由三角形内切圆的性质得，所以，又当是短轴端点时，有，所以满足条件的点有即为短轴两个【解析】个端点2222222222 -505551551()7555mxnyxymnmnmnmnP mn【解析】因为直线与圆没有公共点，所以，即，所以，所以点，在椭圆内2222 505()174. (2010)5()A.0 B.1 C.2

4、D.12mxnyxyxyP mn若直线与圆没有公共点，则过点，的一条直线与椭圆的公共点个数是 州卷或福C22221(00)_5. _xyxtababABAB直线过双曲线 ， 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是2 ()( - )| |1( )2(12)A ttB ttABABttcbbaeaea【解析】， ， ，要使原点在以为直径的圆外，只需原点到直线的距离 大于半径即可，于是 ，故， 1. 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l代入曲线C的方程，消去一个字母(如y)得到一个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，则 (

5、1)当a0时，则有0，l与C相交；=0，l与C相切；0，l与C相离 (2)当a=0时，得到一个一元一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴需要注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个交点时，直线与双曲线或抛物线可能相切也可能相交 21222121212211141“”2. 12ABkxxkxxx xyyk 直线与圆锥曲线相交要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦长弦长公式：；对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还的弦长计要掌握 点差法算3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系

6、数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知主要方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用题型一 直线与圆锥曲线相交弦问题【例1】已知椭圆C： (ab0)的短轴长为2，且与抛物线y2=4 x有共同的焦点，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，

7、点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点(1)求椭圆C的方程；(2)求线段GH的长度的最小值；(3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由22221xyab【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线相交的弦长的最值和三角形面积计算问题 2222222222222( 3 0)31.-4.1.402(-2,3)4(2)14121616-40.1.4cbabcaxCyAPkkxAPyk xGyk xkxk xkxy【解析】 由已知得，抛物线的焦点为，则，又由，可得故椭圆 的方程为直线的斜率 显

8、然存在，且 ，故可设直线的方程为，从而由得211122211222216-4()-2.142-842-84.()1414141412,0-.41-122-( -2)-122,343.3.33|-2 12 -212 -4|.01221212.kP xyxkkkkkxyPkkkkBPBkxkyxHkkyyGHkkkkkkk 设，则所以，从而即，又，则直线的斜率为由，得，所以故又 ，当且仅31112282.kkkkGH当，即时等号成立所以当时，线段的长度取最小值 2212.2-2200,15.12 552 55112.2143GHkAPxyPAPCTTPATAPTAPAPlyxtlyxtxy由可知，

9、当的长度取最小值时，则直线的方程为，此时，若椭圆 上存在点 ，使得的面积等于，则点 到直线的距离等于，所以 在平行于且与 距离等于的直线 上设直线：则由，2222222-20.4-8-10.222( 2)(- 2 -)2.|2-2 |2 55502(2)xtxtttttTTtt 得即由平行线间的距离公式，得，解得或舍去 可，或，求得201-ABABABkxx“”【点评】直线与曲线相交时不要忘了这个条件在求弦长时可结合韦达定理，利用求解题型二 圆锥曲线中的合情推理【例2】(2010福建省检)已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点Q(2， )，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点

10、F1.(1)求双曲线C的方程；(2)命题：过椭圆 的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则 为定值，且定值是 .命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F、M两点间距离的比值332212516xy|ABFM103AB的长度与F、M两点间距离的比值试类比上述命题，写出一个关于双曲线C的类似的正确命题，并加以证明(3)试推广(2)中的命题，写出关于圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的统一的一般性命题(不必证明)【分析】这是一道创新题，主要考查学生的分析问题、解

11、决问题的能力类比思想的应用 222222222222221221-13()23(00)-143.1-12,03|-1|3.|2|31xyababababaCbCxyFxlABABABxMyFMx【解析】依题意，可设双曲线方程为 ， ，由已知且，解得：，所以双曲线 的方程为关于双曲线 的类似命题为：过双曲线的焦点作与 轴不垂直的任意直线 交双曲线于 、 两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是1122222221122221212221-2|2 3 | 23|-11-312-12-303( -2)1-300.()()12123-1-31-300lxlyk xABlxABFMFMxykx

12、k xkyk xkDA xyB xykkxxkkx xkky证明如下：由于 与 轴不垂直, 可设直线 的方程为， 与 轴重合，命题正确, 由得依题意有且 设，当时，当则，时21224-4-1-3kyk xxk，222222222122222212122162(-)1-31-3216-()1-31-3882(1)0(-0)|2|1-|31-3|1-3|2 3(1)1() -4|1-3|. 3kkABPkkkkABMPyxkkkkkkyMFMkkkkABkxxx xkABFM所以线段的中点 的坐标为，的垂直平分线的方程为，令得，所以，又，所以【点评】探求定值或定点时可用特殊位置先考虑，然后再用一般

13、位置去证明；由于圆锥曲线有统一的定义，所以它们之间有许多相似的性质，这一点请同学们在平时训练中多加以类比 |,|2(3)EFlEABABABMFMeEe 过圆锥曲线 的焦点 作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线 交 于 、 两点，线段的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点则为定值，定值为其中 为圆锥曲线 的离心率 222212123 (2011)1202220122.xyEababFFlxyxyABAEEABPPFPFaa已知椭圆 ：的焦点为 ， ，离心率为，直线 ：与 轴， 轴分别交于点 ，若点 是椭圆 的一个顶点，求椭圆 的方【例 】宁德质程；若线段上存检在点 满足，求 的取值范围题型三 参数

14、取值范围问题 2211. 42222,01222abAabxy由椭圆的离心率为，故，由，得，所以，所以所【求的椭圆方程为解法 ：解析】【分析】本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、探究意识，考查数形结合思想、函数与方程的思想、化归与转化思想 222222222212222122312220222202322200,222xyebbxyxxbbbxyABPPFPFaABExxbx由，可设椭圆方程为，联立，得，已知线段上存在点 满足，即线段与椭圆 有公共点，等价于方程在上有解 2222222222222223324222()223340,2431.22122116822402202 32.3aabxxxxaaxyeaaxyyyaaaxy所以