工程数学线性代数课后答案同济第五版

1、 86第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1); 解 根据施密特正交化方法, , , . (2). 解 根据施密特正交化方法, , , . 2. 下列矩阵是不是正交阵: (1); 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2). 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x为n维列向量, xtx=1, 令h=e-2xxt, 证明h是对称的正交阵. 证明 因为 ht=(e-2xxt)t=e-2(xxt)t=e-2(xxt)t =e-2(xt)txt=e-2xxt, 所以h是对称矩阵. 因为 hth=hh=(e-2xxt

2、)(e-2xxt) =e-2xxt-2xxt+(2xxt)(2xxt) =e-4xxt+4x(xtx)xt =e-4xxt+4xxt =e, 所以h是正交矩阵. 4. 设a与b都是n阶正交阵, 证明ab也是正交阵. 证明 因为a, b是n阶正交阵, 故a-1=at, b-1=bt, (ab)t(ab)=btatab=b-1a-1ab=e,故ab也是正交阵. 5. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解 , 故a的特征值为l=-1(三重). 对于特征值l=-1, 由,得方程(a+e)x=0的基础解系p1=(1, 1, -1)t, 向量p1就是对应于特征值l=-1的特征值向量. (2); 解

3、 , 故a的特征值为l1=0, l2=-1, l3=9. 对于特征值l1=0, 由,得方程ax=0的基础解系p1=(-1, -1, 1)t, 向量p1是对应于特征值l1=0的特征值向量. 对于特征值l2=-1, 由,得方程(a+e)x=0的基础解系p2=(-1, 1, 0)t, 向量p2就是对应于特征值l2=-1的特征值向量. 对于特征值l3=9, 由,得方程(a-9e)x=0的基础解系p3=(1/2, 1/2, 1)t, 向量p3就是对应于特征值l3=9的特征值向量. (3). 解 , 故a的特征值为l1=l2=-1, l3=l4=1. 对于特征值l1=l2=-1, 由,得方程(a+e)x=

4、0的基础解系p1=(1, 0, 0, -1)t, p2=(0, 1, -1, 0)t, 向量p1和p2是对应于特征值l1=l2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值l3=l4=1, 由,得方程(a-e)x=0的基础解系p3=(1, 0, 0, 1)t, p4=(0, 1, 1, 0)t, 向量p3和p4是对应于特征值l3=l4=1的线性无关特征值向量. 6. 设a为n阶矩阵, 证明at与a的特征值相同. 证明 因为|at-le|=|(a-le)t|=|a-le|t=|a-le|,所以at与a的特征多项式相同, 从而at与a的特征值相同. 7. 设n阶矩阵a、b满足r(a)+r(b)<n

5、, 证明a与b有公共的特征值, 有公共的特征向量. 证明 设r(a)=r, r(b)=t, 则r+t<n. 若a1, a2, ×××, an-r是齐次方程组ax=0的基础解系, 显然它们是a的对应于特征值l=0的线性无关的特征向量. 类似地, 设b1, b2, ×××, bn-t是齐次方程组bx=0的基础解系, 则它们是b的对应于特征值l=0的线性无关的特征向量. 由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n, 故a1, a2, ×××, an-r, b1, b2, ×

6、5;×, bn-t必线性相关. 于是有不全为0的数k1, k2, ×××, kn-r, l1, l2, ×××, ln-t, 使k1a1+k2a2+ ××× +kn-ran-r+l1b1+l2b2+ ××× +ln-rbn-r=0.记 g=k1a1+k2a2+ ××× +kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+ ××× +ln-rbn-r), 则k1, k2, ×××, kn

7、-r不全为0, 否则l1, l2, ×××, ln-t不全为0, 而l1b1+l2b2+ ××× +ln-rbn-r=0, 与b1, b2, ×××, bn-t线性无关相矛盾. 因此, g¹0, g是a的也是b的关于l=0的特征向量, 所以a与b有公共的特征值, 有公共的特征向量. 8. 设a2-3a+2e=o, 证明a的特征值只能取1或2. 证明 设l是a的任意一个特征值, x是a的对应于l的特征向量, 则 (a2-3a+2e)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因为x

8、85;0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是说l=1或l=2. 9. 设a为正交阵, 且|a|=-1, 证明l=-1是a的特征值. 证明 因为a为正交矩阵, 所以a的特征值为-1或1. 因为|a|等于所有特征值之积, 又|a|=-1, 所以必有奇数个特征值为-1, 即l=-1是a的特征值. 10. 设l¹0是m阶矩阵am´nbn´m的特征值, 证明l也是n阶矩阵ba的特征值. 证明 设x是ab的对应于l¹0的特征向量, 则有 (ab)x=lx, 于是 b(ab)x=b(lx), 或 ba(b x)=l(bx), 从而l

9、是ba的特征值, 且bx是ba的对应于l的特征向量. 11. 已知3阶矩阵a的特征值为1, 2, 3, 求|a3-5a2+7a|. 解 令j(l)=l3-5l2+7l, 则j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3是j(a)的特征值, 故 |a3-5a2+7a|=|j(a)|=j(1)×j(2)×j(3)=3´2´3=18. 12. 已知3阶矩阵a的特征值为1, 2, -3, 求|a*+3a+2e|. 解 因为|a|=1´2´(-3)=-6¹0, 所以a可逆, 故 a*=|a|a-1=-6a-1, a*+3a+2e=-6a

10、-1+3a+2e. 令j(l)=-6l-1+3l2+2, 则j(1)=-1, j(2)=5, j(-3)=-5是j(a)的特征值, 故 |a*+3a+2e|=|-6a-1+3a+2e|=|j(a)| =j(1)×j(2)×j(-3)=-1´5´(-5)=25. 13. 设a、b都是n阶矩阵, 且a可逆, 证明ab与ba相似. 证明 取p=a, 则p-1abp=a-1aba=ba,即ab与ba相似. 14. 设矩阵可相似对角化, 求x. 解 由,得a的特征值为l1=6, l2=l3=1. 因为a可相似对角化, 所以对于l2=l3=1, 齐次线性方程组(a-

11、e)x=0有两个线性无关的解, 因此r(a-e)=1. 由知当x=3时r(a-e)=1, 即x=3为所求. 15. 已知p=(1, 1, -1)t是矩阵的一个特征向量. (1)求参数a, b及特征向量p所对应的特征值; 解 设l是特征向量p所对应的特征值, 则 (a-le)p=0, 即, 解之得l=-1, a=-3, b=0. (2)问a能不能相似对角化？并说明理由. 解 由,得a的特征值为l1=l2=l3=1. 由知r(a-e)=2, 所以齐次线性方程组(a-e)x=0的基础解系只有一个解向量. 因此a不能相似对角化. 16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: (1);

12、 解 将所给矩阵记为a. 由=(1-l)(l-4)(l+2),得矩阵a的特征值为l1=-2, l2=1, l3=4. 对于l1=-2, 解方程(a+2e)x=0, 即,得特征向量(1, 2, 2)t , 单位化得. 对于l2=1, 解方程(a-e)x=0, 即, 得特征向量(2, 1, -2)t , 单位化得. 对于l3=4, 解方程(a-4e)x=0, 即,得特征向量(2, -2, 1)t , 单位化得. 于是有正交阵p=(p1, p2, p3), 使p-1ap=diag(-2, 1, 4). (2). 解 将所给矩阵记为a. 由=-(l-1)2(l-10),得矩阵a的特征值为l1=l2=1

13、, l3=10. 对于l1=l2=1, 解方程(a-e)x=0, 即,得线性无关特征向量(-2, 1, 0)t和(2, 0, 1)t , 将它们正交化、单位化得 , . 对于l3=10, 解方程(a-10e)x=0, 即,得特征向量(-1, -2, 2)t , 单位化得. 于是有正交阵p=(p1, p2, p3), 使p-1ap=diag(1, 1, 10). 17. 设矩阵与相似, 求x, y; 并求一个正交阵p, 使p-1ap=l. 解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然l=5, l=-4, l=y是l的特征值, 故它们也是a的特征值. 因为l=-4是a的特征值, 所以,解之得x=4. 已

14、知相似矩阵的行列式相同, 因为, ,所以-20y=-100, y=5. 对于l=5, 解方程(a-5e)x=0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)t, (1, -2, 0)t. 将它们正交化、单位化得, . 对于l=-4, 解方程(a+4e)x=0, 得特征向量(2, 1, 2)t, 单位化得. 于是有正交矩阵, 使p-1ap=l. 18. 设3阶方阵a的特征值为l1=2, l2=-2, l3=1; 对应的特征向量依次为p1=(0, 1, 1)t, p2=(1, 1, 1)t, p3=(1, 1, 0)t, 求a. 解 令p=(p1, p2, p3), 则p-1ap=diag(2,

15、 -2, 1)=l, a=plp-1. 因为,所以 . 19. 设3阶对称阵a的特征值为l1=1, l2=-1, l3=0; 对应l1、l2的特征向量依次为p1=(1, 2, 2)t, p2=(2, 1, -2)t, 求a. 解 设, 则ap1=2p1, ap2=-2p2, 即, -. -再由特征值的性质, 有x1+x4+x6=l1+l2+l3=0. -由解得 , , , , .令x6=0, 得, x2=0, , , . 因此 . 20. 设3阶对称矩阵a的特征值l1=6, l2=3, l3=3, 与特征值l1=6对应的特征向量为p1=(1, 1, 1)t, 求a. 解 设. 因为l1=6对应

16、的特征向量为p1=(1, 1, 1)t, 所以有, 即 -. l2=l3=3是a的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知r(a-3e)=1. 利用可推出. 因为r(a-3e)=1, 所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3, 解之得x2=x3=x5=1, x1=x4=x6=4.因此 . 21. 设a=(a1, a2, × × ×, an)t , a1¹0, a=aat. (1)证明l=0是a的n-1重特征值; 证明 设l是a的任意一个特征值, x是a的对应于l的特征向量, 则有 ax=lx, l2x=a2x=aataatx=ataax=latax

17、, 于是可得l2=lata, 从而l=0或l=ata. 设l1, l2, × × ×, ln是a的所有特征值, 因为a=aat的主对角线性上的元素为a12, a22, × × ×, an2, 所以a12+a22+ × × × +an2=ata=l1+l2+ × × × +ln,这说明在l1, l2, × × ×, ln中有且只有一个等于ata, 而其余n-1个全为0, 即l=0是a的n-1重特征值. (2)求a的非零特征值及n个线性无关的特征向量

18、. 解 设l1=ata, l2= × × × =ln=0. 因为aa=aata=(ata)a=l1a, 所以p1=a是对应于l1=ata的特征向量. 对于l2= × × × =ln=0, 解方程ax=0, 即aatx=0. 因为a¹0, 所以atx=0, 即a1x1+a2x2+ × × × +anxn=0, 其线性无关解为p2=(-a2, a1, 0, × × ×, 0)t,p3=(-a3, 0, a1, × × ×, 0)t,

19、5; × ×,pn=(-an, 0, 0, × × ×, a1)t.因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为. 22. 设, 求a100. 解 由 , 得a的特征值为l1=1, l2=5, l3=-5. 对于l1=1, 解方程(a-e)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)t. 对于l1=5, 解方程(a-5e)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)t. 对于l1=-5, 解方程(a+5e)x=0, 得特征向量p3=(1, -2, 1)t. 令p=(p1, p2, p3), 则 p-1ap=diag(1, 5, -5)=l, a=plp

20、-1, a100=pl100p-1. 因为 l100=diag(1, 5100, 5100), , 所以 . 23. 在某国, 每年有比例为p的农村居民移居城镇, 有比例为q的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1). (1)求关系式中的矩阵a; 解 由题意知 xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn, yn+1=yn+pxn-qyn= pxn+(1-q)yn,可用矩阵表示为 , 因此 . (2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即, 求. 解 由可知. 由,得a的特征值为

21、l1=1, l2=r, 其中r=1-p-q. 对于l1=1, 解方程(a-e)x=0, 得特征向量p1=(q, p)t. 对于l1=r, 解方程(a-re)x=0, 得特征向量p2=(-1, 1)t. 令, 则 p-1ap=diag(1, r)=l, a=plp-1, an=plnp-1. 于是 , . 24. (1)设, 求j(a)=a10-5a9; 解 由,得a的特征值为l1=1, l2=5. 对于l1=1, 解方程(a-e)x=0, 得单位特征向量. 对于l1=5, 解方程(a-5e)x=0, 得单位特征向量. 于是有正交矩阵, 使得p-1ap=diag(1, 5)=l,从而a=plp-

22、1, ak=plkp-1. 因此 j(a)=pj(l)p-1=p(l10-5l9)p-1 =pdiag(1, 510)-5diag(1, 59)p-1 =pdiag(-4, 0)p-1 . (2)设, 求j(a)=a10-6a9+5a8. 解 求得正交矩阵为,使得p-1ap=diag(-1, 1, 5)=l, a=plp-1. 于是 j(a)=pj(l)p-1=p(l10-6l9+5l8)p-1 =pl8(l-e)(l-5e)p-1 =pdiag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)p-1 =pdiag(12, 0, 0)p-1 . 25. 用矩阵记号表

23、示下列二次型: (1) f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz; 解 . (2) f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz; 解 . (3) f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+6x2x3-4x2x4. 解 . 26. 写出下列二次型的矩阵: (1); 解 二次型的矩阵为. (2). 解 二次型的矩阵为. 27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f=2x12+3x22+3x33+4x2x3; 解 二次型的矩阵为. 由,得a的特征值为l1=2, l2=5, l3=1. 当l1=2时, 解方程(a-2e)x=0, 由,得特征向量(1

24、, 0, 0)t. 取p1=(1, 0, 0)t. 当l2=5时, 解方程(a-5e)x=0, 由,得特征向量(0, 1, 1)t. 取. 当l3=1时, 解方程(a-e)x=0, 由,得特征向量(0, -1, 1)t. 取. 于是有正交矩阵t=(p1, p2, p3)和正交变换x=ty, 使f=2y12+5y22+y32. (2) f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4. 解 二次型矩阵为. 由,得a的特征值为l1=-1, l2=3, l3=l4=1. 当l1=-1时, 可得单位特征向量. 当l2=3时, 可得单位特征向量. 当l3=l4=1时,

25、可得线性无关的单位特征向量, . 于是有正交矩阵t=( p1, p2, p3, p4)和正交变换x=ty, 使f=-y12+3y22+y32+y42. 28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1化成标准方程. 解 二次型的矩阵为. 由, 得a的特征值为l1=2, l2=11, l3=0, . 对于l1=2, 解方程(a-2e)x=0, 得特征向量(4, -1, 1)t, 单位化得. 对于l2=11, 解方程(a-11e)x=0, 得特征向量(1, 2, -2)t, 单位化得. 对于l3=0, 解方程ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)t, 单

26、位化得. 于是有正交矩阵p=(p1, p2, p3), 使p-1ap=diag(2, 11, 0), 从而有正交变换, 使原二次方程变为标准方程2u2+11v2=1. 29. 明: 二次型f=xtax在|x|=1时的最大值为矩阵a的最大特征值. 证明 a为实对称矩阵, 则有一正交矩阵t, 使得tat-1=diag(l1, l2, × × ×, ln)=l成立, 其中l1, l2, × × ×, ln为a的特征值, 不妨设l1最大. 作正交变换y=tx, 即x=tty, 注意到t-1=tt, 有 f=xtax=yttatty=ytly=

27、l1y12+l2y22+ × × × +lnyn2. 因为y=tx正交变换, 所以当|x|=1时, 有|y|=|x|=1, 即y12+y22+ × × × +yn2=1.因此f =l1y12+l2y22+ × × × +lnyn2£l1,又当y1=1, y2=y3=× × ×=yn=0时f =l1, 所以f max =l1. 30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1