勾股定理讲义

1、勾股定理讲义迈克培训学校姓名：勾股定理培优班习题1、 基础知识点：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为 所以方法三：，化简得证. 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角

2、形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。. 勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形； 若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为三边的

3、三角形是锐角三角形； 定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形

4、，以便正确使用勾股定理进行求解. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫

5、做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。题型一：利用勾股定理解决实际问题训练2、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 题型二、与勾股定理有关的图形问题训练3如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是_ _题型三、关于翻折问题训练5、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处

6、，EC与AD相交于点F.若AB=4，BC=6，求FAC的周长和面积.训练6、如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，求的长题型四、关于最短性问题训练8、如图1，长方体的长为12cm，宽为6cm，高为5cm，一只蚂蚁沿侧面从点向点爬行，问：爬到点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？训练9、如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫? 训练10、如图，一个高18m，周长5m的圆柱

7、形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)题型五、关于勾股定理判定三角形形状训练11、已知，ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明ABC是等腰三角形。题型六、关于旋转中的勾股定理的运用：训练13、如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP=3，求PP的长。 配套练习一、填空题1、若三角形的三边之比是7：24：25，则这个三角形是 三角形。2、ABC中，A是B的2倍，C比A+B还大12°，则这个三角形是

8、三角形。3、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，则斜边上的高是 。4、在RtABC中，C=900，（1）若a=6，b=8，则c= ；（2）若c=13，b=12，则a= ；（3）若a=21，c=28，则b= ；5、小华和小红都从同一点出发，小华向北走了米到点，小红向东走了米到了点，则AB= 米。6、若一块直角三角板，两直角边分别为12cm和5cm，不移动三角板，能画出的线段最长是。7、在RtABC中，ACB=900，CDAB于D，AC=6，AB=10，则BD= 。8、在等腰直角三角形中，斜边长为50cm，则它的面积为 。9、在直角三角形中，三边长分别为5、12，则第三边长为 。10、

9、等腰三角形腰和底边的比是3：2，若底边长为6，则底边上的高为 。二、选择题1、下列三角形中，一定是直角三角形的有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个有两个内角互余的三角形； 三边长为m2n2、m2+n2（m>n>0）的三角形；三边的比为3：4：5的三角形； 三个内角的比是1：2：3的三角形；2、有长度为9cm，12cm，15cm，36cm，39cm的五根木棒，能搭成（首尾顺次相连）直角三角形的个数为（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个3、若线段a，b，c组成Rt，则它们的比可以为（）A、234 B、346C、51213D、4674、三角形的三边长为（a+b）2=c

10、2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.5、一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为（ ） A、6 B、8 C、10 D、126、直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积为（ ）A、12cm2 B、10cm2 C、8cm2 D、6cm2 7、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是 （ ）A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上答案都不对二、综合发展:1如图，一个高、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6c

11、m,BC=8cm,现将直角边AC沿CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ 3.一个三角形三条边的长分别为，这个三角形最长边上的高是多少？4如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？三、解答题1、有一边长为4米的水池的池中央，竖着一根竹竿，竹竿高出水面1m，一阵风吹来，竹竿倒向一边，竹竿的顶端恰好靠在池边，顶端与水面相平。求这里的水深是多少米？2、小明要外出旅游，他带的行李箱长，宽，高，一把长的雨伞能否装进这个行李箱？3、如图：有一圆柱，它的高等于，底面直径等于（）在圆柱下底

12、面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，求蚂蚁需要爬行的最短路程。4、如图，是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的，若图中大小正方形的面积分别为62.5和4，求直角三角形两直角边的长。5、如图，ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。CABDAB提高训练1、若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高长是_。2、如图是一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为3dm、2dm、2dm，A和B是这个盒子两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着盒子表面面爬到B点最短路程是_dm.3、有一

13、直角三角形，其两边分别为12和16，则该三角形的三条角平分线的交点到斜边的距离是 。ABCD4、已知在ABC中，AD=8，AB=17，AC=10，ADBC，求BC的长。5、如图，在ABC中，CE是AB边上的中线，CDAB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,求DE的长。6、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要多少元？150°20m30m7、如图，在ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：AB2AP2=PB·PC。ABPCABCD8、农民承包了一块四边形水稻田ABC

14、D，他量得边长AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140，且边AB，BC正好位于互相垂直的马路的拐角处，请你计算一下这块水稻田的面积。（7分）9、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm，底面直径为10cm， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s.如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，取3)A·B·10、一牧童在距小河的南岸4英里的A处牧马，河水向正东流去，而他此时位于他家B的西8英里北7英里处，他想把马牵到小河边区饮水，然后回家，他完成这件事所走的最短路程为多少英里？AB小河11、如

15、图，A、B两村在河CD同侧，AB2=13平方千米，A、B两村到河的距离分别是AC=1千米，BD=3千米，现要在河边CD上建一个水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米3000元，请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设费用最省，并求出铺设水管的总费用。ACDB12.（9分）平面上有、两棵树，为1米，为4米，两树之距 为12米，、之间有一些稻谷，一小鸟从点飞到某点吃了稻谷后飞到 点，所飞路程最短，求这个最短路程.13（12分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF=CD。求证：AEF是直角三角形。14、如图是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小长方形

16、的面积都是1，则阴影部分的面积是_15. 观察一下几组勾股数，并寻找规律： 3， 4， 5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41；请你写出有以上规律的第5组勾股数： .请你写出有以上规律的第6组勾股数： .16、（10分）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P。若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行。（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由。（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值。 17如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？18、（10分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心2