复变第五章5.1-5.2

1、5.2 孤立奇点孤立奇点1. 可去奇点2. 极点3. 本性奇点4. 函数的零点与极点的关系5. 函数在无穷远点的性态1. 1. 孤立奇点的定义孤立奇点的定义的的某某个个去去心心邻邻域域不不解解析析，但但在在）在在若若00 (zzzf.)(0的的一一个个孤孤立立奇奇点点为为则则称称zfz定义定义：0z内内解解析析， 00 zz注：注：(1) 不是所有的奇点都是孤立奇点；不是所有的奇点都是孤立奇点；的的孤孤立立奇奇点点。则则它它们们全全都都是是有有有有限限多多个个奇奇点点，若若函函数数)()(zfzf（2 2）孤立奇点的简单判定方法：）孤立奇点的简单判定方法：本章本章所讨论的所讨论的函数的奇点基本

2、都是函数的孤立奇点函数的奇点基本都是函数的孤立奇点。内内解解析析在在圆圆环环域域 00)(zzzf存存在在。对对应应的的洛洛朗朗展展开开式式nnzzczf)()(-n02. 孤立奇点的类型：孤立奇点的类型：的的一一个个孤孤立立奇奇点点，为为若若)(0zfznnnzzc)(0 )1(01)(nnnzzc )()(200nnnzzc 解析部分解析部分主要部分主要部分 根据根据主要部分中主要部分中 负幂项的多少负幂项的多少，)(0zz 对孤立奇点分类：对孤立奇点分类：可去奇点：可去奇点：极点：极点：本性奇点：本性奇点：孤孤立立奇奇点点不包含负幂项不包含负幂项有限多个负幂项有限多个负幂项无穷多个负幂项

3、无穷多个负幂项(1) (1) 可去奇点可去奇点,)(0负幂项负幂项洛朗展开式中不含有洛朗展开式中不含有zz 内内的的去去心心邻邻域域在在孤孤立立奇奇点点若若函函数数 000)(zzzzf.)(0的的可可去去奇奇点点为为称称zfz例：例：zzzf)(00z孤立奇点，孤立奇点，可去奇点。可去奇点。若，令若，令1)(0zf00z“原来的奇点原来的奇点”就可就可“消除掉消除掉”，变为，变为“解析解析点点”。 f (z)= c0 + c1(z z0) +.+ cn(z z0)n +. .)(lim00czfzz显然，显然，:0)(0内内的的洛洛朗朗展展开开式式在在 zzzf结论结论 的孤立奇点，的孤立奇

4、点，为函数为函数若若)(zfz0为为一一复复常常数数。其其中中存存在在极极限限0,c0)(lim0czfzz的可去奇点的可去奇点是是)(0zfz的充要条件是：的充要条件是：则则极极点点：)2(内内的的去去心心邻邻域域在在孤孤立立奇奇点点若若函函数数 000)(zzzzf中中洛朗展开式洛朗展开式nnnzzc)(0,)(0负幂项负幂项含有有限多个含有有限多个zz .)(0的的极极点点为为称称zfz例：例：2) 1(1)(zzf10z孤立奇点，孤立奇点，极点极点)(lim1zfz在在“极点极点”处恰好取到处恰好取到“极值极值”结论结论极点极点的的是是)(0zfz的充要条件是的充要条件是)(lim0z

5、fzz, 0, 0nmcmncm时时而而当当，有有正正整整数数，的的负负幂幂项项最最高高次次数数为为若若洛洛朗朗展展开开式式中中关关于于mzz)(0的的是是则称则称)(0zfz 级极点级极点. .m即即级极点：级极点：m式式去去心心邻邻域域内内的的洛洛朗朗展展开开级级极极点点，则则在在的的是是若若00)(zmzfz011010)()()(zzczzczzczfmmmmnnzzczzcc)()(00100mc)(1)(0mzzzfmmmzzczzcc)()(0001)(0mnnzzc)()(10zzzm 。内内解解析析，且且在在收收敛敛圆圆和和函函数数0)()(00mczzzz 结论结论内解析，

6、内解析，的去心邻域的去心邻域在孤立奇点在孤立奇点若函数若函数)0(0)(00 zzzzf则则级极点级极点的的是是mzfz)(0的充要条件是的充要条件是可表示为可表示为)(zf)()(1)(0zzzzfm 的形式，其中，的形式，其中，. 0)()(00zzz 解析，解析，在在(3) (3) 本性奇点本性奇点的的去去心心邻邻域域内内的的在在孤孤立立奇奇点点若若函函数数0)(zzf中中洛朗展开式洛朗展开式nnnzzc)(0.)(0负负幂幂项项含含有有无无穷穷多多个个zz ）。）。也不为也不为不存在不存在()(lim0zfzz本本性性奇奇点点为为)(0zfz结论：结论：的充要条件是的充要条件是:)(0

7、类类型型的的判判定定的的孤孤立立奇奇点点 zzf项项的的多多少少内内的的洛洛朗朗展展开开式式中中负负幂幂的的去去心心邻邻域域在在定定义义：根根据据 000)() 1 (zzzzf的的取取值值情情况况。根根据据极极限限)(lim)2(0zfzz没有负幂项没有负幂项可去奇点可去奇点有限多负幂项有限多负幂项极点极点无限多负幂项无限多负幂项本性奇点本性奇点可去奇点可去奇点极点极点本性奇点本性奇点有限值有限值无穷大无穷大不存在，且不是无穷大不存在，且不是无穷大（洛必达法则）（洛必达法则）例例 判定下列函数的判定下列函数的孤立奇点的类型孤立奇点的类型。zez1) 1 (为为孤孤立立奇奇点点0zzezz1l

8、im01lim0zze为可去奇点。为可去奇点。0 z（洛必达法则）（洛必达法则）)()1(lim0zezz11)2(ze为为孤孤立立奇奇点点1z111limzze11的的左左侧侧趋趋向向于于点点轴轴从从点点沿沿 xz011的的右右侧侧趋趋向向于于点点轴轴从从点点沿沿 xz111limzze不存在不存在为为本本性性奇奇点点1z1113zzsin)()(为为孤孤立立奇奇点点1z开式为开式为的去心邻域内的洛朗展的去心邻域内的洛朗展在在1111zzzsin)()!()()(sin)(121111111120nzzzznnn有无限多负幂项，所以有无限多负幂项，所以为为本本性性奇奇点点1zzzsin)(1

9、4为为孤孤立立奇奇点点,.),(,210kkzz zzzsinlim10为极点。为极点。0 z问题问题：极点的级数极点的级数 是多少？是多少？m为极点。为极点。类似，类似，,.),(21kkz 3. 3. 函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系的的邻邻域域内内能能表表示示成成在在数数若若不不恒恒等等于于零零的的解解析析函函0)(zzf) 1()()()(0mzgzzzfm.)(, 0)()(000级级零零点点的的为为则则称称解解析析且且在在其其中中mzfzzgzzg重重根根的的是是mzfz0)(0定义定义注：注：重重根根级级零零点点mm级零点如何判定？级零点如何判定？m问题问题：例例:

10、:3) 1()(zzzf函数函数0z1z级级零零点点。的的是是)(zf一一级级零零点点。的的是是)(zf三三)(zf复杂的函数复杂的函数zzzfsin)(例例如如：结论结论解析，解析，在在若若0)(zzf则则级级零零点点的的为为mzfz)(0的充要条件是的充要条件是)()(00zfzf, 0)(0)1( zfm. 0)(0)( zfm充分性充分性证明：证明：解析解析在在0)(zzf的的泰泰勒勒展展开开式式存存在在，在在0)(zzf000)(00)(!)()()(nnnnnnzznzfzzczf, 0110 mccc, 0 mcmzz)(0)()(0zgzzm0)()()(00mczgzzgzg

11、解解析析，在在为为幂幂级级数数的的和和函函数数，)(01zzccmm论。论。级零点的定义，得到结级零点的定义，得到结根据根据m)(zf1010)()(mmmmzzczzc的的情情形形？在在函函数数例例：0sin)(zzzzf0)0(f的零点。的零点。是是)(0zfz 解：解：)0( fcossinzzz 0|z0)0( fsincoscoszzzz0|z0级级零零点点。的的是是)(0zfz二二定理定理级极点级极点的的是是mzfz)(0.)(10级级零零点点的的是是mzfz函数的零点与极点之间的关系函数的零点与极点之间的关系: :这个定理为这个定理为判断函数的判断函数的 级极点级极点提供了一个简

12、单的方法提供了一个简单的方法.m例子例子: :1z二二级级极点极点1z二二级级零点零点的孤立奇点？的孤立奇点？函数函数2) 1(1z的的零零点点？函函数数2)1( z问题问题: :对于一般的函数是否有类似的结论对于一般的函数是否有类似的结论? ?：级级极极点点的的判判定定即即的的判判定定极极点点，极极点点级级数数是是若若)()(0mmzfz（1 1）定义）定义内内的的洛洛朗朗展展开开式式的的去去心心邻邻域域在在计计算算 000)(zzzzfm负负幂幂项项次次数数最最高高为为若若其其中中含含有有负负幂幂项项，且且（3 3）根据零点与极点间的关系）根据零点与极点间的关系. .)()(1)()2(0

13、zzzzfm 若若其其中中，. 0)()(00zzz 解解析析，在在）分分母母无无共共同同零零点点分分子子分分式式函函数数,: )(zf.)(级级零零点点的的是是mzfz10?:m级级数数类类型型？如如果果是是极极点点，其其下下列列函函数数的的孤孤立立奇奇点点例例211zezfz)()解解孤立奇点为孤立奇点为. 0z21)(zezfz ,)!2(110nnznz .)(的的一一级级极极点点是是zfz0内内的的洛洛朗朗级级数数的的去去心心邻邻域域在在 zzzf00)()!(1102nnnzz201zezzlim)()(lim201zezz极点极点0z解解: :izizz321, 0孤立奇点孤立奇

14、点22112)()()zzzf22) 1(1limzzizz为为极极点点。)3 , 2 , 1( izi的一级零点的一级零点是是2210)(zzz的一级极点。的一级极点。是是22110)(zzz的的二二级级零零点点是是类类似似地地，221)(,zziiz的二级极点。的二级极点。是是2211)(,zziiz22) 1(1)(zzzf01z分析点分析点)0(1z22) 1(1z0) 1(10) 1(1022122zzzz处处解解析析，在在1的一级极点。的一级极点。是是221) 1(10zzziz 2分析点分析点22) 1(1)(zzzf)(1iz2)(1izz0)(1)(1222izizziziz

15、z处处解解析析，在在2的二级极点。的二级极点。是是222) 1(1zziz类似的，类似的，的的是是) 1(1)(23zzzfiz二级极点二级极点. .132zez)解：解：1, 121zz孤孤立立奇奇点点) 1(lim2zezzzi为极点。为极点。)2 , 1( izi) 1(112zzez01111zzzzezze处处解解析析，在在1zez111z极极点点的的一一级级极极点点也也是是类类似似地地，112zezz的一级极点。的一级极点。是是112zezz12z极极点点)(1112zzez1zez101111zzzzezze处处解解析析，在在注意：在求函数的孤立奇点时，不能一看函数表面注意：在求

16、函数的孤立奇点时，不能一看函数表面极点，其实是一级极点。因为极点，其实是一级极点。因为220111111( ),!2!3!znnezzzzznzz3sh zz其中其中( ) z的的z z=0 =0 解析，并且解析，并且(0)0. . 类似地类似地z z =0=0是是的的2 2级极点而不是级极点而不是3 3级极点。级极点。21zez形式急于作结论。像函数形式急于作结论。像函数，初看似乎，初看似乎z z=0=0是它的是它的2 2级级7221)(1)(1)zzz练习练习 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。它的级。 解解 (1)显然显然1z是三级极点，

17、是三级极点，1 z是二级极点。是二级极点。3533sin12)()3!5!zzzzzzzz所以所以0z是可去奇点。是可去奇点。3sin2)zzz772232( )(1)(1)(1) (1)zzf zzzzz24613!5!7!9! zzz3313).(1)zz e 解解 (3)显然显然0z 是函数的奇点。是函数的奇点。33330(1)(1)!nznzz ezn所以所以0z是六级极点。是六级极点。9121562!3!4!zzzz3313).(1)zz e331!nnzzn又5. 函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态如果函数如果函数 f f ( (z z) )在无穷远点在无穷远点z z= =

18、的去心邻域的去心邻域 R R|z z| 内解析，称点内解析，称点 为为 f f ( (z z) )的孤立奇点的孤立奇点。作变换。作变换z 1tz规定这个变换把扩充规定这个变换把扩充 z z 平面上的无穷远点平面上的无穷远点扩充扩充 t t 平面上的点平面上的点，并且，并且映射成映射成0t ，则扩充，则扩充 z z 平面上每一个向无穷平面上每一个向无穷到现在为止，讨论函数到现在为止，讨论函数 f f ( (z z) ) 的解析性和它的孤立的解析性和它的孤立奇点时，都设奇点时，都设z z为复平面内的有限远点。至于函数在无为复平面内的有限远点。至于函数在无穷远点的性态，尚未提及。现在在扩充复平面上对

19、此穷远点的性态，尚未提及。现在在扩充复平面上对此加以讨论。1nntz nz与扩充与扩充 t t 平面上向零收敛的序平面上向零收敛的序列对应。反过来也是这样。列对应。反过来也是这样。无穷远点收敛的序列无穷远点收敛的序列相对应。反过来也相对应。反过来也是这样。是这样。10 | | tR同时，同时，1tz1( )( )( )f zftt10 | | tR把扩充把扩充 z z平面上平面上的去心领域的去心领域|Rz 映射成扩充映射成扩充 t t 平面上原点的去心领域平面上原点的去心领域，又，又这样，可把在去心领域这样，可把在去心领域|Rz 对对 f f ( (z z) )的研究化为在的研究化为在内对内对

20、( ) t的研究。显然的研究。显然( ) t在在10 | | tR内解析，内解析，所以所以z z=0=0是是( ) t的孤立奇点。的孤立奇点。规定，如果规定，如果 t t = 0= 0是是本性奇点，则称点本性奇点，则称点z z = = 是是 f f ( (z z) )的可去奇点，的可去奇点，mm级极点级极点或本性奇点。由于或本性奇点。由于 f f ( (z z) )在在R R|z z|+|+ 内解析，所以在此内解析，所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数圆环域内可以展开成洛朗级数, , 即有即有( ) t的可去奇点，的可去奇点，m m 级极点或级极点或其中C为R|z|22时，时，1f的极点。显见当

21、的极点。显见当1nn。所以。所以n 0n不是不是时，时，01f的孤立奇点，6.1 留数留数1. 留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理2. 留数的计算规则留数的计算规则3. 在无穷远点的留数在无穷远点的留数1. 留数的定义及留数定理( )0Cf z dz ( )Cf z dz但是, 如果z0为 f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某一般就不等于零。如果函数如果函数 f f ( (z z) )在在z z0 0的邻域内解析的邻域内解析, , 那末根据柯西那末根据柯西古萨基本定理古萨基本定理个去心邻域其中C为z0领域内任意一条简单闭曲线。00 |zzR内包含 z0 的任意一条正向简单闭曲线C的

22、积分因此将因此将f (z)在此邻域内展开为洛朗级数在此邻域内展开为洛朗级数1( )2Cf z dzic其中c-1就称为 f (z)的留数留数, 也就是上面积分两边除以后，两端沿后，两端沿C C逐项积分逐项积分, , 右端各项积分除留下右端各项积分除留下的一项等于的一项等于10100100( )()()()()nnnnf zczzczzcc zzczz110()czz12 ic外外, , 其余各项积分都等于零其余各项积分都等于零, , 所以所以后所得的数称为 f (z)在z0的留数留数, 作 Resf (z), z0, 2 i即01Res ( ),( )2Cf z zf z dzi即从而有01R

23、es ( ),f z zc01Res ( ),( )2Cf z zf z dzi也就是说，f (z)在z0的留数就是f (z)在以z0为中心的圆环域内的洛朗级数中负幂项的系数。110()czz定理一(留数定理) 设函数设函数 f (z)在区域在区域D内除有限个内除有限个Dz1z2z3znC1C2C3CnC孤立奇点孤立奇点z z1 1, ,z z2 2,.,.,z zn n外处处解析。外处处解析。C C是是D D内包围诸奇点的内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线一条正向简单闭曲线, , 则则1( )2Res ( ),nkkCf z dzif z z关于留数，有下面的基本定理关于留数，有下面的基本定理

24、( (k k =1,2,.,=1,2,.,n n) )用互不包含的正向用互不包含的正向12( )( )( )( )nCCCCf z dzf z dzf z dzf z dz证 把在把在C C内的孤立奇点内的孤立奇点z zk k 简单闭曲线简单闭曲线C Ck k围绕起来围绕起来, , 则根据复合闭路定理有则根据复合闭路定理有即即1( )2Res ( ),.nkkCf z dzif z z121( )Res ( ),Res ( ),2Res ( ),Cnf z dzf z zf z zif z z利用这个定理，求沿封闭曲线利用这个定理，求沿封闭曲线C C的积分，就转化的积分，就转化为求被积函数在为

25、求被积函数在C C中的各孤立奇点处的留数。由此可中的各孤立奇点处的留数。由此可见，留数定理的效用有赖于如何能有效地求出是见，留数定理的效用有赖于如何能有效地求出是 f f ( (z z) )以以除等式两边，得除等式两边，得2 i12( )( )( )( )nCCCCf z dzf z dzf z dzf z dz在孤立奇点处在孤立奇点处z0处的留数。一般说来处的留数。一般说来, 求函数在奇点求函数在奇点z0处的留数即求它在以处的留数即求它在以z z0 0为中心的圆环域内洛朗级数中为中心的圆环域内洛朗级数中对求留数可能更有利。如果对求留数可能更有利。如果z z0 0是是f f ( (z z) )

26、的可去奇点的可去奇点, , 则则 Res Res f f ( (z z), ), z z0 0=0, =0, 因为此时因为此时f f ( (z z) )在在z z0 0的展开式是泰勒展的展开式是泰勒展开式。如果开式。如果z z0 0是本性奇点是本性奇点, , 则没有太好的办法则没有太好的办法, , 只好只好将其按洛朗级数展开。如果将其按洛朗级数展开。如果z z0 0是极点是极点, , 则有一些对求则有一些对求项的系数即可。但如果知道奇点的类型项的系数即可。但如果知道奇点的类型, , 110()czzc-1有用的规则。2. 留数的计算规则规则规则II 如果z0为f (z)的m级极点, 则规则I

27、如果如果z z0 0为为 f f (z)(z)的一级极点的一级极点, , 则则000Res ( ),lim() ( )zzf z zzzf z010011dRes ( ),lim()( )(1)!dmmmzzf z zzzf zmz2102010010( )()()()(),mmf zczzczzczzcc zz事实上事实上, , 由于由于0()mzz以以乘上式的两端，得乘上式的两端，得令两端zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)!就是Resf(z),z0, 因此即得规则II, 当m=1时就是规则I。10101()( )(1)!()mmmdzzf zmca zzdz01

28、011000()( )()()(),mmmmmzzf zcczzczzc zz两边求两边求mm-1-1阶导数，得阶导数，得( )( )( )P zf zQ z000()Res ( ),()P zf z zQ z规则III 设设，P P( (z z) )及及QQ( (z z) )在在z z0 0都解析，都解析，000()0,()0,()0,P zQ zQ z则则z z0 0为为 f f ( (z z) )的一级极的一级极点，而如果事实上，因为事实上，因为0()0Q z及及0()0Q z，所以为，所以为QQ( (z z) )的的一级零点，从而一级零点，从而z z0 0为为1( )Q z的一级极点。

29、因此的一级极点。因此011( ),( )zQ zzz其中其中( )( ) ( )g zz P z在在z z0 0解析，且解析，且000()() ()0g zzP z。故故z z0 0为为f f ( (z z) )的一级极点。的一级极点。00( )11( )( )( )( ),( )P zf zP zzg zQ zzzzz0()0z由此得由此得其中其中( ) z在在z z0 0解析，解析，例1 计算积分计算积分21zCzedzz 22 Res ( ),1Res ( ), 1.1zCzedzif zf zz2( )1zzef zz，C C为正向圆周为正向圆周| |z z|=2|=2。 解 由于由于

30、有两个一级极点有两个一级极点1, 1 而这两个极点都在圆周而这两个极点都在圆周| |z z|=2|=2内，所以内，所以由规则由规则I, I, 得得而而0()0,Q z根据规则根据规则I I，000Res ( ),lim() ( )zzf z zzzf z000( )() ( )( )()P zzzf zQ zQ zzz令令0zz，即得规则，即得规则IIIIII。所以所以因此因此1211Res ( ), 1lim(1)lim112zzzzzezeef zzzz122()2ch1122zCzeeedziiz我们也可以用规则我们也可以用规则IIIIII来求留数来求留数: :这比用规则1要简单些.1R

31、es ( ),1;22|zzzeef zz211Res ( ),1lim(1)lim112zzzzzezeef zzzz11Res ( ), 1.22|zzzeef zz例 求下各函数求下各函数 f f ( (z z) )在有限奇点处的留数：在有限奇点处的留数：21(1)2zzzRes ( ),0f z21( )2zf zzz 解 (1) (1)有两个一级极点有两个一级极点0,2方法一由规则由规则I, I, 得得1(2)sinzz1(3)znez51(4)zez201lim2zzzzz12 Res ( ),2f z221lim(2)2zzzzz32例 求下各函数求下各函数 f f ( (z z

32、) )在有限奇点处的留数：在有限奇点处的留数：21(1)2zzzRes ( ),0f z21( )2zf zzz 解 (1) (1)有两个一级极点有两个一级极点0,2方法二由规则由规则III, III, 得得1(2)sinzz1(3)znez51(4)zez201(2 )zzzz12 Res ( ),2f z221(2 )zzzz32例 求下各函数求下各函数 f f ( (z z) )在有限奇点处的留数：在有限奇点处的留数：21(1)2zzzRes ( ),f z k1( )sinf zzz 解 (2) (2)的极点为的极点为(0, 1,) kzkk(一)为一级极点。为一级极点。1(2)sin

33、zz1(3)znez51(4)zez1( sin )z kzz1coskk( sin )0(1, 2)kz zzzk 所以所以(1, 2) kzkk( 1)kk(1, 2) k例 求下各函数求下各函数 f f ( (z z) )在有限奇点处的留数：在有限奇点处的留数：21(1)2zzz1( )sinf zzz 解 (2) (2)的极点为的极点为(0, 1,) kzkk(二)的一级极点，的一级极点，1(2)sinzz1(3)znez51(4)zez0z是是1sin z从而从而0z是是1sinzz的二级极点，所以的二级极点，所以Res ( ),0f z201limsinzdzdzzz0例 求下各函

34、数求下各函数 f f ( (z z) )在有限奇点处的留数：在有限奇点处的留数：21(1)2zzzRes ( ),0f z1( )znef zz 解 (3) (3)有一个有一个n n+1+1级极点级极点0,方法一由规则由规则II, II, 得得1(2)sinzz1(3)znez51(4)zez1101lim!nznnnzdezndzz01lim!zzen1!n例 求下各函数求下各函数 f f ( (z z) )在有限奇点处的留数：在有限奇点处的留数：21(1)2zzz11111111.2!(1)!znnnnezzzzn zn 解 (3) (3)方法二将函数在将函数在1(2)sinzz1(3)z

35、nez51(4)zezRes ( ),0f z1!n0 | z上展开成洛朗级数，上展开成洛朗级数，即即11!Cn所以所以1( )znef zz有一个有一个n n+1+1级极点级极点0,例 求下各函数求下各函数 f f ( (z z) )在有限奇点处的留数：在有限奇点处的留数：21(1)2zzz255111.12!znezzzzzn 解 (4) (4)方法一将函数在将函数在1(2)sinzz1(3)znez51(4)zezRes ( ),0f z1240 | z上展开成洛朗级数，上展开成洛朗级数，1C所以所以51( )zef zz有一个有一个4 4级极点级极点0,43211114624zzzz例

36、 求下各函数求下各函数 f f ( (z z) )在有限奇点处的留数：在有限奇点处的留数：21(1)2zzz51Res,0zez 解 (4) (4)方法二由规则由规则II II，取，取mm比实际级数高，即比实际级数高，即mm=5=5，有，有1(2)sinzz1(3)znez51(4)zez51( )zef zz有一个有一个4 4级极点级极点0,1244545011lim4!zzdezdzz41Czdzz 42 Res ( ),1Res ( ), 11Res ( ), Res ( ),Czdzif zf zzf z if zi4( )1zf zz例2 计算积分计算积分，C C为正向圆周为正向圆周

37、| |z z|=2|=2。 解 被积函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点1, i 都在圆周都在圆周| |z z|=2|=2内，所以内，所以41111d2 ()014444Czziz32( )1( )44P zzQ zzz由规则由规则IIIIII，故，故2200Res ( ),0limlim1(1)(1)zzzzeef zzz zz2(1)zCedzz z 2212111Res ( ),1lim(1)(2 1)!(1)(1)limlim0zzzzzzdef zzdzz zdeezdzzz例3 计算积分计算积分，C C为正向圆周为正向圆周| |z z|=2|=2。 解 z z=0=0为被积函数

38、的一级极点为被积函数的一级极点, , z z=1=1为二级极点为二级极点, , 而而32Res ( ),0Res ( ),1(1)2(1 0)2.zCedzif zf zz zii所以所以6( )sin( )( )P zzzf zQ zz0(0)(sin )0,zPzz级数。由于级数。由于在在z z=0=0处的留数。为了要用公式，先应定出极点处的留数。为了要用公式，先应定出极点z z=0=0的的以上介绍了求极点处留数的若干公式。用这些公以上介绍了求极点处留数的若干公式。用这些公式解题有时虽感方便，但也未必尽然。例如欲求函数式解题有时虽感方便，但也未必尽然。例如欲求函数0(0)(1 cos )0

39、,zPz0(0)sin0,zPz0(0)cos10.zPz 因此因此z z=0=0是是z z - sin- sinz z的三级零点，从而由的三级零点，从而由 f f ( (z z) )的表达式知的表达式知, ,z z=0=0是是 f f ( (z z) )的三级极点。应用规则的三级极点。应用规则II II，得，得1c就比较方便。因为就比较方便。因为如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求由此可见，往下的运算既要先对一个分式函数求二阶由此可见，往下的运算既要先对一个分式函数求二阶函数，然后又要对求导结果求极限，这就十分繁杂。函数，然后又要对求导结果求极限，这就十分繁杂。35663sin111()

40、3!5!11.3!5!zzzzzzzzzz2362602230sin1sinRes,0lim(3 1)!1sinlim().2!zzzzdzzzzdzzdzzdzz16sin1Res,0.5!zzcz 所以所以35663sin111()3!5!11.3!5!zzzzzzzzzz可见解题的关键在于根据具体问题灵活选择方法，不可见解题的关键在于根据具体问题灵活选择方法，不要拘泥于套用公式。要拘泥于套用公式。3.在无穷远点的留数的值与C无关, 称其为 f (z)在在 点的留数点的留数, 记作积分路线的方向是负的，也就是顺时针方向。绕原点的任何一条简单闭曲线绕原点的任何一条简单闭曲线, , 则积分则积

41、分设函数设函数 f f ( (z z) )在圆环域在圆环域R R|z z|+|+ 内解析内解析, , C C为圆环域内为圆环域内1( )2Cf z dzi1Res ( ),( )(5.2.7)2Cf zf z dzi 从第一节可知，当n=-1时，有11( )2Ccf z dzi11( )2Ccf z dzi因此，由(5.2.7)可得1Res ( ),f zc 这就是说，f (z)在点的留数等于它在点的去心领域R|z|+内洛朗展开式中z-1的系数变号。定理二 如果函数如果函数 f (z)在扩充复平面内只有有限在扩充复平面内只有有限个孤立奇点个孤立奇点, , 那末那末 f f ( (z z) )在

42、所有各奇点在所有各奇点( (包括包括 点点) )的留数的留数总和总和必等于零。必等于零。下面的定理在计算留数时是很有用的。下面的定理在计算留数时是很有用的。 证 除除 点外点外, , 设设f f ( (z z) )的有限个奇点为的有限个奇点为z zk k( (k k=1,2,.,=1,2,.,n n) )。又设又设C C为一条绕原点的并将为一条绕原点的并将z zk k( (k k=1,2,.,=1,2,.,n n) )包含在它内部包含在它内部的正向简单闭曲线的正向简单闭曲线, , 则根据留数定理与在无穷远点的留则根据留数定理与在无穷远点的留数定义数定义, , 有有1Res ( ),Res (

43、),11( )d( )d0.22nkkCCf zf z zf zzf zzii 规则IV211Res ( ),Res,0f zfzz 关于在无穷远点的留数计算，有以下的规则：关于在无穷远点的留数计算，有以下的规则：1Res ( ),( )2Cf zf z dzi ，那末，那末事实上，在无穷远点的留数定义中，取正向简单事实上，在无穷远点的留数定义中，取正向简单闭曲线闭曲线C C为半径足够大的正向圆周：为半径足够大的正向圆周：| z。令。令1z，,iizere1,r ，于是有，于是有为正向为正向) )。并设201()2iifeie di2011()2iiifdirere 220111()()2()

44、iiifd reirere 12| |1111()( |2fdi 221| |11111()Res(), 0 .2fdfi | z 所以规则所以规则IVIV成立。成立。由于由于f f ( (z z) )在在内解析内解析, , 从而从而内解析，因此内解析，因此在在1()f外没有其他外没有其他奇点。由留数定理，得奇点。由留数定理，得定理二与规则定理二与规则IVIV为提供了计算函数沿闭曲线积分为提供了计算函数沿闭曲线积分在在10 |211()f 1|内除内除0的又一种方法，在很多情况下，它比利用上一段中的的又一种方法，在很多情况下，它比利用上一段中的方法更简便。方法更简便。12211( )1zefzzz例 求函数求函数21zez在在 点的留数。点的留数。 解 由由Res( ),sh1. f z而而211Res( ),0 fzz故故Res( ),f z23241(1) 12!3!zzzzz1z的项系数为的项系数为1113!5!1sh12ee例 求函数求函数21zez在在 点的留数。点的留数。 解 Res( ),Res( ),1Res( ), 1 f z