大学物理第4章

1、14.1 简谐振动及其描述简谐振动及其描述4.2 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程4.3 简谐振动的能量简谐振动的能量4.4 简谐振动的合成简谐振动的合成4.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振2 因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须的因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须的基础知识，自然界中还有许多现象，如交变电流、基础知识，自然界中还有许多现象，如交变电流、 交变的电磁场等，都属于广义的振动现象。这些运交变的电磁场等，都属于广义的振动现象。这些运动的本质虽然并非机械运动，但运动规律的数学描动的本质虽然并非机械运动，但运动规律的数学描述却与机械振动类似。因此，述却与机械

2、振动类似。因此， 机械振动的研究也机械振动的研究也为光学、电学、为光学、电学、 交流电工学、无线电技术等打下交流电工学、无线电技术等打下了一定的基础。了一定的基础。 任何一种复杂的机械振动都可以看成多个直线任何一种复杂的机械振动都可以看成多个直线振动的叠加。振动的叠加。学习机械振动的意义学习机械振动的意义34.1 简谐振动及其描述简谐振动及其描述 简谐振动：简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移物体运动时，离开平衡位置的位移( (或角或角位移位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。)cos(0tAx速度速度)sin(dd0tAtxv加速度加速度)cos(

3、dd0222tAtxa42. 简谐振动的特征量（振幅、圆频率、周期、频率和位相）简谐振动的特征量（振幅、圆频率、周期、频率和位相）振幅振幅 A圆频率圆频率、周期周期T 和频率和频率 位相位相(1) ( t + + 0 )是是 t 时刻的位相时刻的位相， (2) 0 是是t =0 时刻的位相时刻的位相 初相初相。位相概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异位相概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异, ,设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：位相差位相差 10201020)()(tt)cos(1011tAx)cos(2022tAx）（TT1,25

4、t (s)x(m)00.020.51.0)2 2cos(02. 0tx3. 简谐振动的几何描述方法简谐振动的几何描述方法振动曲线法振动曲线法6x x = A cos( t + 0) 0oxt = 0A t+ 0t = tA优点：优点： 初位相直观明确。初位相直观明确。 比较两个简谐振动的位相比较两个简谐振动的位相差直观明确。差直观明确。简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法1212)()(tt2A2 1A1x07oxA2A1A31212)()(tt) 12(k(A2、A3) 两个振动为反相两个振动为反相. .(A1、A2) 两个振动为同相；两个振动为同相；k28例例: :一物体沿一物体沿X轴

5、作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期周期T=2s。当当t=0时时, ,物体的位移物体的位移x=0.06m, ,且向且向X轴正向运动。求轴正向运动。求:(1):(1)简谐振动简谐振动表达式表达式;(2) ;(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度时物体的位置、速度和加速度;(3);(3)物体从物体从x = -0.06m向向X轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解解: (1): (1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点, ,谐振动表达式写为：谐振动表达式写为：)cos(0tAx其中其中A=0.12m, T=2s, T2初

6、始条件：初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得可得06. 0cos12. 0030, 0sin00Av30) 3cos(12. 0tx(2) (2) 由由(1)(1)求得的简谐振动表达式得求得的简谐振动表达式得: :) 3sin(12. 0ddttxv) 3cos(12. 0dd2ttva在在t =T/4=0.5s时时，代入所列的表达式可求代入所列的表达式可求! !9(3) (3) 当当x = -0.06m时时，该时刻设为该时刻设为t1 1, ,得得21) 3cos(1t34,3231t因该时刻速度为负因该时刻速度为负( (向向x轴负方向运动轴负方向运动) ), ,应舍去应舍去4 4

7、/3/3，设物体在设物体在t2 2时刻第一次回到平衡位置时刻第一次回到平衡位置( (x=0)=0)，位相是，位相是3 3 /22332ts83. 12t因此从因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间处第一次回到平衡位置的时间：。s83. 012ttt另解另解：从从t1 1时刻到时刻到t2 2时刻所对应的相差为时刻所对应的相差为：653223s83. 0tx1320 x23 振幅矢量的角速度振幅矢量的角速度 ， t= ) 3cos(12. 0tx) 3sin(12. 0ddttxv104.2 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程受力特点受力特点: : 线性回复力线性回复力 ( F

8、= -kx )以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例22ddtxmF 由）（mkxtx, 0dd222固有频率决定于系统内在性质固有频率决定于系统内在性质位移位移x之通解可写为：之通解可写为：)cos(0tAx 固有固有( (圆圆) )频率频率常量常量A和和 0由初始条件由初始条件确定确定根据初始条件：根据初始条件：t = 0 时，时，x = x0 , v = v0) (cos0tAx) (sin 0tAv00cosAx 0t00sin Av22020vxA000 tgxv0dd22xmktxm11（1）单摆）单摆几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动sinmglM动力学分析：动力学分析：.! 5

9、! 3sin53sin222ddsintmmgl 很小很小, ,小于小于50 时，时，0dd22gtg2令gT2所以：单摆作小角度摆动，也是谐振动（角所以：单摆作小角度摆动，也是谐振动（角谐振动）。重力的分力（准弹性力）。谐振动）。重力的分力（准弹性力）。0dd222t通解为：通解为：)cos(0tm mmg+12（2）复摆复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。 刚体的质心为刚体的质心为C, , 对过对过O 点的转轴的点的转轴的转动惯量为转动惯量为I, , O、C 两点间的距离为两点间的距离为h。令令据转动定律，得据转动定律，得若若 角度较小时角度较小时sin

10、dd22mghtImghtI22ddImgh20dd222tmghIT22gmCOh+13简谐振动的能量简谐振动的能量( (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例) )(1) (1) 动能动能4.3 简谐振动的能量简谐振动的能量)(sin212102222tAmmvEK0,21min2maxkkEkAE2411kAdtETETttkk)(sin21022tkA)(cos21210222tkAkxEP(2) (2) 势能势能情况同动能情况同动能。pppEEE,minmax系统总的机械能：系统总的机械能：221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒) (sin 0tAvmk14谐

11、振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: :221kAE PEkEE0ttAxcos0tx241kAEEpk15简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法1. 由分析受力出发由分析受力出发( (由牛顿定律列方程由牛顿定律列方程) )2. 由分析能量出发由分析能量出发( (将能量守恒式对将能量守恒式对t 求导求导) )例：例：弹簧竖直放置时物体的振动。弹簧竖直放置时物体的振动。m0l0 xxxo弹簧原长弹簧原长挂挂m后伸长后伸长某时刻某时刻m位置位置f伸伸 长长受弹力受弹力平衡位置平衡位置k解：求平衡位置解：求平衡位置mgkx 0kmgx 0以平衡位置以

12、平衡位置O为原点为原点kxkxkxmgxxkmgF00)(因此因此, , 此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。16m0l0 xxxo以平衡位置以平衡位置O为原点为原点弹簧原长弹簧原长挂挂m后伸长后伸长某时刻某时刻m位置位置f伸伸 长长受弹力受弹力平衡位置平衡位置kxkxkxmgxxkmgF00)(k重力和弹性力都是保重力和弹性力都是保守力，合力守力，合力F F 作功将作功将转化为势能。转化为势能。221(kxkx功）包括重力势能和弹性势能包括重力势能和弹性势能系统的势能系统的势能17如果振动系统除去本身如果振动系统除去本身恢复力之外还有其它恒恢复力之外还有其它恒力作用。振动系统仍作力作用。振动

13、系统仍作简谐振动。以振动系统简谐振动。以振动系统在恒力作用下的平衡位在恒力作用下的平衡位置为原点，则可按常规置为原点，则可按常规立刻写出简谐振动的微立刻写出简谐振动的微分方程或振动表达式。分方程或振动表达式。在本例中在本例中0dd22xmktx)cos(tAxm0l0 xxxo弹簧原长弹簧原长挂挂m后伸长后伸长某时刻某时刻m位置位置f伸伸 长长受弹力受弹力平衡位置平衡位置k18例：一质量为例：一质量为m的物体从倾角为的物体从倾角为 的光滑斜面顶点处由静的光滑斜面顶点处由静止滑下，滑行止滑下，滑行 远后与质量为远后与质量为M 的物体发生完全非弹性碰的物体发生完全非弹性碰撞。撞。M与倔强系数为与倔

14、强系数为k的弹簧相连，碰前的弹簧相连，碰前M 静止于斜面。静止于斜面。求：运动方程。求：运动方程。 mMk解解1：取取m与与M 碰撞连在一起碰撞连在一起后的平衡位置为坐标原点。后的平衡位置为坐标原点。设此时弹簧在设此时弹簧在m与与M的压的压缩下退了缩下退了x0 。x0原长原长Mmx0 坐标系如图坐标系如图0X，0sin)(kxgMm)(sin)(/dd)(022，xxkgMmtxMmkxtxMm22dd)(以振动系统在恒力作用下的平衡位置以振动系统在恒力作用下的平衡位置为原点，则可按常规立刻写出简谐振为原点，则可按常规立刻写出简谐振动的微分方程或振动表达式。动的微分方程或振动表达式。19例：一

15、质量为例：一质量为m的物体从倾角为的物体从倾角为 的光滑斜面顶点处由静的光滑斜面顶点处由静止滑下，滑行止滑下，滑行 后远后与质量为后远后与质量为M的物体发生完全非弹性的物体发生完全非弹性碰撞。碰撞。M与倔强系数为与倔强系数为k的弹簧相连，碰前的弹簧相连，碰前M静止于斜面。静止于斜面。求：运动方程。求：运动方程。kxtxMm22dd)(Mmk以以碰撞时作为碰撞时作为记时起点记时起点动量守恒动量守恒sin20gMmmv初位置初位置sin0gkmx002020/xvtgvxA)cos(0tAxA和和 0由初始条件由初始条件确定确定20CkxvMm2221)(210dd)(kxtvMm0dd)(22k

16、xtxMm解解2 : 取平衡位置取平衡位置（x = 0）为为系统势能系统势能的零点。的零点。系统机械能守恒，有系统机械能守恒，有简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法2. 由分析能量出发由分析能量出发( (将能量守恒式对将能量守恒式对t 求导求导) )Mmk21势能讨论势能讨论取平衡位置取平衡位置（x = 0）为系统为系统势能的零点。势能的零点。) 1 (21)(212122020kAvMmkx另，设弹簧自然长度（未形变）时弹性势能为零，重力势另，设弹簧自然长度（未形变）时弹性势能为零，重力势能的零点取在能的零点取在 x = 0 处。处。sin)()(21)(21020200gxMmvMmx

17、xk)2(sin)()(2120gAMmAxk(2)-(1)0sin)(xkgMm机械能守恒机械能守恒 （初始（初始 最大位移）最大位移）22势能讨论势能讨论取平衡位置取平衡位置（x = 0）为系统为系统势能的零点。势能的零点。) 1 (21)(212122020kAvMmkx机械能守恒机械能守恒20202)(212121vMmkxkA20202vkMmxAMmk22020vxA由初始条件决定由初始条件决定A也是机械能守恒定律的必然结果。也是机械能守恒定律的必然结果。234.4 简谐振动的合成简谐振动的合成1.1.同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成分振动分振动 :

18、x1=A1cos( t+ 10)x2=A2cos( t+ 20)合振动合振动 : x = x1+ x2 x =A cos( t+ 0 )合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 )cos(21020212221AAAAA2021012021010coscossinsintgAAAA两个同方向同频率两个同方向同频率简谐振动的合成仍简谐振动的合成仍是简谐振动。合振是简谐振动。合振动的频率与分振动动的频率与分振动的频率相同。的频率相同。 24A1A2A1xA1xA2xA12ox221xxx) cos(tA) ( cos 2122122212AAAAAyA2yA122112211212

19、1coscossinsin tgAAAAAAAAxxyy旋转矢量法表示：旋转矢量法表示：25两种特殊情况两种特殊情况 (1)若两分振动同相若两分振动同相 20 10 = 2k ( k = 0,1,2, ) (2)若两分振动反相若两分振动反相 20 10 = (2k+1) ( k = 0,1,2, )如果如果 A1=A2 , 则则 A=0则则A=A1+A2 , 两分振动相互加强两分振动相互加强则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱)cos(21020212221AAAAA两个振动的位相差，对合成振动起着重要的作用，这种两个振动的位相差，对合成振动起着重要的作用，这种现象在波的

20、干涉与衍射中具有特殊的意义现象在波的干涉与衍射中具有特殊的意义 26N个同方向、同频率的简谐个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初振动，它们的振幅相等，初相分别为相分别为0, , , 2, 2 , ., , ., 依次差一个恒量依次差一个恒量 ，振动表，振动表达式可写成达式可写成 采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。的三角函数运算。 根据矢量合成法则，根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：合成如下图所示：taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax) 1(co

21、sNtaxN2. 多个同方向同频率简谐振动的合成多个同方向同频率简谐振动的合成合振动的频率与分振动的频率相同。合振动的频率与分振动的频率相同。 合振动的振幅和初相是分析的关键合振动的振幅和初相是分析的关键! !27NOCM taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax) 1(cosNtaxNOX1a2a3a4a5aCAM 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 , ,上图中上图中各个矢量各个矢量 的起点和终点都在以的起点和终点都在以C为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得）、.(4321aaaa28NOCM 在三

22、角形在三角形OCM中中, ,OM 的长度就的长度就是是合合振动振动的的振幅振幅A, ,角度角度 MOX就就是是合振动合振动的初相的初相 ，据此得，据此得2sin2NAOC考虑到考虑到2sin2OCa 2sin2sinNaA COMCOXMOX21)(21)(21NN当当 = 0= 0时时( (同相合成同相合成) )，有，有,NaA 。0293.3.同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率 1和和 2很接近，且很接近，且12)cos(),cos(022011tAxtAx两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得：)2cos()2c

23、os(201212ttAxx = x1+ x2合振动可视为合振动可视为圆频率为圆频率为( 1+ 2)/2、振幅为、振幅为|2Acos( 2 - 1)t/2| 的简谐振动。的简谐振动。随时间变化很慢可随时间变化很慢可看作合振动的振幅看作合振动的振幅随时间变化较快可随时间变化较快可看作作谐振动的部分看作作谐振动的部分301AoX12A2A, 同一直线上同一直线上 不同频率简谐振动合成不同频率简谐振动合成旋转矢量旋转矢量几何法分析几何法分析) cos(2222tAx) cos(1111tAx重合：重合：21AAA21AAA反向：反向：12121222T121221T拍拍: :合振动忽强忽弱的现象合振

24、动忽强忽弱的现象31561拍频拍频: 单位时间内强弱变化单位时间内强弱变化的次数的次数 =| 2- 1| 32两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式消时间参数，得消时间参数，得)cos(101tAx)(sin)cos(210202102021222212AyAxAyAx)cos(202tAy 椭圆的性质椭圆的性质( (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) )在在 A1 、A2确定之后确定之后, ,主要决定于主要决定于 = 20 - 10。4. 相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成33(1) 20- 10 0 0, , 两个分振动同位相，

25、得两个分振动同位相，得xAAy12在任一时刻离开坐标原点位移为：在任一时刻离开坐标原点位移为：)cos(2221tAAs(2) 20- 10 , 两个分运动反位相，得两个分运动反位相，得xAAy12几种特殊情况：几种特殊情况：)(sin)cos(210202102021222212AyAxAyAx34(3) 20- 10 /2，得，得1222212AyAx(4) 20- 10 3/2，仍然得，仍然得1222212AyAx这是坐标轴为主轴的椭圆，这是坐标轴为主轴的椭圆，质点的轨迹是顺时针旋转。质点的轨迹是顺时针旋转。与与(3)(3)相同，只是质点的轨相同，只是质点的轨迹沿逆时针旋转。迹沿逆时针旋

26、转。35几种特殊情况几种特殊情况10200243452347436方向垂直的不同频率的简谐振动的合成方向垂直的不同频率的简谐振动的合成两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随t 缓慢变化，合运动轨迹将按缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化上页图依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形两振动的频率成整数比且两振动的频率成整数比且初位相恒定初位相恒定t )(120,42:3:1020yx37无阻尼自由振动无阻尼自由振动 物体在弹性力或准弹性力作用下产生的简谐运动称无物体在弹性力或准弹性力作用下产生的简谐运动称无阻尼自由振动。阻尼自由振动。

27、阻尼振动阻尼振动 物体在弹性力（或准弹性力）和物体在弹性力（或准弹性力）和阻力阻力作用下产生的运作用下产生的运动称阻尼振动。动称阻尼振动。4.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振阻尼振动的种类：阻尼振动的种类： 在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程中逐渐减少。能量损失的原因通常有两种：程中逐渐减少。能量损失的原因通常有两种： 一种是由于介质对振一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力，使振动物体的摩擦阻力，使振动系统的能量动系统的能量逐渐变为热逐渐变为热运动的能量运动的能量而造成能量损而造成能量损失。这称失。这称摩擦阻尼摩擦阻尼。 另

28、一种是由于振动物体引起另一种是由于振动物体引起邻近质点振动，使振动系统的能邻近质点振动，使振动系统的能量逐渐向四周辐射出去，量逐渐向四周辐射出去，转变为转变为波动的能量波动的能量，而造成系统能量损，而造成系统能量损失。这称失。这称辐射阻尼辐射阻尼。38阻尼振动阻尼振动dtdxvfr弹性力和上述阻力作用下的微分方程：弹性力和上述阻力作用下的微分方程：在流体在流体(液体、气体液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，中运动的物体，当物体速度较小时，阻力阻力 速度，速度， ：阻力系数。：阻力系数。txkxtxmdddd22m2;20mk令：令：称称 0 为振动系统的固有圆频率，称为振动系统的固有圆

29、频率，称 为阻尼因子为阻尼因子022022xdtdxdtxd39（1） 2 02 阻尼较小时阻尼较小时，此方程的解此方程的解：220)cos()(0tAetxt这种情况称为这种情况称为欠阻尼欠阻尼022022xdtdxdtxd由初始条件决定由初始条件决定A和初位相和初位相 0, ,设设000dd,)0(,0vttxxxt即有即有： 00000cossincosAAAxv,)(220020 xxAv0000 xxtgv40欠阻尼下欠阻尼下1.振幅特点振幅特点振幅：振幅：A(t) = Ae- t)cos()(0tAetxt振幅随振幅随 t 衰减。衰减。 2.周期特点周期特点严格讲，严格讲，阻尼振动

30、不阻尼振动不是周期性振动是周期性振动( (更不是更不是简谐振动简谐振动) )，因为位移，因为位移x(t)不是不是t 的周期函数。的周期函数。但阻尼振动有某种但阻尼振动有某种重复性。重复性。202 )2(阻尼较大时，方程的解：阻尼较大时，方程的解：tteetxCC)(2)(1202202)(其中其中C1,C2是积分常数，由初始条件是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为来决定，这种情况称为过阻尼过阻尼。无振动发生无振动发生41tetCCtx)()(21（3）如果如果 2= 02 方程的解：方程的解：无振动发生无振动发生C1,C2是积分常数，由初始条件来决是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为定，这种情况称为临界阻尼临界阻尼。 2 = 02( (临界阻尼临界阻尼) ) 情形下情形下: :阻尼振动微分方程的解将是非振动性阻尼振动微分方程的解将是非振动性的运动。运动物体连一次振动也不能的运动。运动物体连一次振动也不能完成，