2019-2020年高二数学棱柱、棱锥 人教版

1、2019-2020年高二数学棱柱、棱锥 人教版【教学内容】第九章 直线 平面 简单几何棱柱 棱锥【教学目标】1、掌握棱柱、棱锥的概念，基本元素的关系及其性质；2、掌握柱、锥的侧面积，全面积，体积的计算；3、会用斜二测画法画水平放置的平面图形和柱、锥的直观图。【知识重点与难点】1、棱柱的定义本质特征（1）有两个面互相平行； （2）其余各面中每相邻两个面的公共边互相平行。2、棱柱的分类（1）按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。 按侧棱与底面垂直与否可分为：直棱柱、斜棱柱（2）正棱柱是一种特殊的直棱柱相交的棱互相垂直底面是平行四边形 形 各棱相等（3）四棱柱是常见的一种棱柱，包括平行六面体

2、、长方体、正方体等，它们之间关系如下：四棱柱 平行六面体 长方体 正方体 3、棱柱的性质要点（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形，过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形4、棱锥的形状特征（1）底面是多边形（2）侧面是有一个公共顶点的三角形5、棱锥的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么：（1）截面和底面相似（2）截面积和底面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。6、正棱锥是一种特殊的棱锥（1）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。（2）各侧面是全等的等腰三角形，各侧棱相等，各斜高相等。（3）正棱锥的高与斜高，斜高在底面的射影组成一

3、个直角三角形； 正棱锥的高与侧棱，侧棱在底面的射影组成一个直角三角形。7、棱柱的问题常在高与侧棱构成的四边形中解决，棱锥的问题则在相应的三角形中处理。8、体积公式：V锥体=Sh 其中S是底面积，h是高 V柱体=Sh 其中S是柱体的底面积，h是柱体的高【典型例题】例1：已知正六棱柱的最长对角线为13cm，侧面积为180cm2，求正六棱柱的体积。分析：因为V棱柱等于底面积乘以高，而底面是正六边形，高即侧棱长。所以关键在于求得底面边长和高（或侧棱长）。解：设底面边长为a，高为h。AD1是最长对角线，高DD1底面由RtADD1知(2a)2+h2=169由侧面积为180cm2知6a·h=180

4、即 、相加和相减后开平方得即：正六棱柱体积为：V1或V2=例2：正三角形的边长为16，把它沿高AD折成120°的二面角（1）求三棱锥A-BCD的体积（2）求点D到平面ABC的距离解：（1）ADDC, ADBD AD平面BCD，且BDC为二面角的平面角 BDC=120° VA-BCD=SBCD·AD =128（2）设D到平面ABC距离为h VA-BCD=VD-ABC BCD中，BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos120° 等腰ABC中，BC边上的高为点评：在求三棱锥体积时，应选择适当的底和高，同时，也可通过选择不同的

5、底和高，利用体积公式来求点到平面距离。例3：斜棱柱的底面是等腰三角形ABC，AB=AC=10，BC=12，棱柱顶点A1到A、B、C三点距离相等，侧棱长是13，求它的侧面积。解法一：取BC中点D，则BCAD，作A1O平面ABC于O，取AB中点E，连结A1E、EOA1A=A1B=A1CO是ABC外心，O在AD上BCAD，A1O平面ABC由三垂线定理BCAA1BCBB1侧面BCC1B1为矩形，A1A=A1B,E为AB中点A1EABRtA1AE中，AE=5，AA1=13，A1E=12 ABB1A1=10×12=120同理：S ACC1A1=120S侧=156+120×2=396解法

6、二：取BC中点D，过B作BEAA1于E，连结DE、CEA1B=A1C, D为BC中点A1DBCAB=AC, D为BC中点ADBCBC平面ADA1AA1平面ADA1BCAA1又AA1BEAA1平面BEC，平面BEC为棱柱的直截面。等腰三角形A1BA中cosA1AB=sinA1AB=RtABE中，S侧=点评：求斜棱柱侧面积有两种方法，一是分别求出各个侧面的面积再求和；二是作出直截面，用直截面的周长乘以侧棱长。（因为直截面的边长是各侧面平行四边形的高，每个平行四边形用侧棱乘以高来求面积）例4：已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，ACB=90°，侧棱与底面成60°角

7、，点B1在底面上的射影恰为BC中点D。（1）求证：AC平面BCC1B（2）求证：AB1BC1（3）若BC=2，四棱锥A-BB1C1C的体积为，求二面角A-BB1-C的大小。解：（1）证明：B1D平面ABC，AC平面ABC B1DAC 又ACBC, ACBC=C AC平面BCC1B （2）连结B1C A C平面BCC1B B1C是AB1在平面BCC1B内的射影 B1D平面ABC B1BD=60° B1B=2BD 又D为BC中点 B1B=BC BCC1B1是菱形 B1CBC1 由三垂线定理BC1AB1 （3）取BB1中点M，连结CM, AMCMBB1由三垂线定理AMBB1可知AMC为二面

8、角的平面角 AC=1 RtAMC中， AMC=30°例5：在棱长为a的正四面体ABCD内，作一个内接正三棱柱A1B1C1-A2B2C2，使底面A2B2C2在平面BCD中，且A1,B1,C1分别在AB，AC，AD上，当A1在AB上的什么位置时，三棱柱的体积最大？解：设AA1=x(0<x<a)平面A1B1C1/平面BCDA1B/BCAB=AC，AA1=AB1A1AB1=60°得等边AA1B1，同理：AB1C1，AC1A1也为等边三角形，四面体AA1B1C1为正四面体。这两个四面体的高分别为则棱柱的高为（a-x）当且仅当时，等号成立。当AA1=时，三棱柱体积的最大值为

9、注这个规律可以推广到：【同步练习】一、选择题：1、给出四个命题：各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 对角面是全等矩形的四棱柱是长方体 有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是（） A、0B、1C、2D、32、有下列四个条件：侧棱长都相等 侧面与底面所成的二面角都相等 侧棱和底面所成的角都相等 侧面是全等的等腰三角形能判定这个三棱锥是正三棱锥的是（） A、B、C、D、都不能判定3、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4：9，则此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为（） A、4：9B、2：1C、2：3D、2：4、平行六面体的棱长都是a，从

10、一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该平行六面体的体积为（） A、a3B、a3C、a3D、5、正四棱锥的一个对角面与侧面积之比为：8，则侧面与底面所成的一个二面角为（） A、B、C、D、6、正四面体内一点到各面距离之和为一个常数，则此常数为（） A、正四面体的一条棱长B、正四面体的一条斜高长 C、正四面体的高D、以上结论都不对二、填空题7、长方体ABCD-A1B1C1D1中，设D1B与自点D1出发的三条棱分别成角、，则cos2+cos2+cos2=.8、正六棱锥底面周长为6，高为，那么它的侧面积是。9、把图中边长为a的正方形剪去阴影部分，沿所画的虚线折成一个正三棱锥，则这个正三凌

11、锥的高为。（用a表示）三、解答题10、已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积11、如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面ABC上的射影O是ABC的中心，AA1与AB的夹角是45°（1）求证：AA1平面A1BC（2）求此棱柱的侧面积。12、在三棱锥P-ABC中，已知AB=1，AC=2，BAC的平分线AD=1，且凌锥的三个侧面与底面都成60°角，求：（1） 三棱锥的侧面积（2） 三棱锥的高【参考答案】一、选择题1、A错 各侧面都是正方形，仅能保证是直棱柱，而底面未

12、必是正多边形。错 对角面是全等矩形的四棱柱，仅能保证是直平行六面体，而底面不一定是矩形。错 若是相交的两个侧面垂直于底面，可证明是直棱柱；若是平行的两个侧面垂直于底面，不一定是直棱柱。错 长方体的底面如果不是正方形就不是正四棱柱。2、D不能 可证得顶点在底面的射影是底面三角形的外心，但不一定是中心，底面也不一定是正三角形。不能 可证得，顶点在底面的射影是底面三角形的内心，但底面不一定是正三角形。不能 把如图菱形ABCD，DAB=30°，沿对角线BD翻折，使AC=BD，此时ABDCBDACD，但是DACB不是正三棱锥。3、B截面与底面相似，相似比为2：3，截得的小棱锥与大棱锥侧棱之比为

13、2：3，侧棱被分成的上、下部分比为2：1。4、C设A发出的三条棱两两成60°角，则AA1在底面的射影是DAB的平分线，且cosA1AO·cosOAB=cosA1AB V=S ABCD·A1O=a·asin60°·a·sinA1AO =5、D设正四棱锥的高为h，斜高为h，底面边长为a。 6、C以正四面体内一点为顶点，每一个面为底面得到四个三棱锥，它的体积和等于这个正四面体的体积。二、填空题7、设长方体的长、宽、高分别为a、b、cBD1C1=，BD1D=，BD1A1=cos=8、底面边长为1，在高、斜高组成的直角三角形POH中，

14、9、A、B、D重合AEF为正三角形，图（1）中AFDAEBDAF=ADFEAB=ABE=15°在图（2）中，高CO与侧棱CF组成的RtCOF中， 三、解答题：10、分析：由于A1到平面EBFD1的距离不容易计算，因此把四棱锥分成两个三棱锥A1-EBD1和A1-BFD1 ，而且这两个三棱锥是等底同高的，体积相等，可转换成。解：RtD1A1E中，ED1=同理：BE=BF=D1F=，且可证四边形EBFD1为平行四边形BED1BFD1VA1-BED1=VA1-BFD1 VA1-EBFD1=2VA1-BED1又11、（1）证明：点A1在底面ABC上的射影O是正ABC的中心，且底面ABC是正三角形 A1-ABC是正三棱锥 A1A=A1B=A1C, AA1BAA1C 又A1AB=45° A A1B=90°且A A1C=90° 即AA1A1B，AA1A1C AA1平面A1BC（2）AA1平面A1BC，BC平面