常见插值法(共4页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上常见插值法 【摘 要】插值方法在数值分析中起着非常重要的作用。在此介绍一些常见的插值方法及 其应用范例。【关键字】数值分析；插值方法；应用；专心-专注-专业1. 插值法定义 . . 插值法又称“”，是利用函数f (x)在某中插入若干点的，作出适当的特定函数，在这些 表(1) 插值点点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是，就称它为插值多项式。2.常见的插值法及其构造 Lagrange插值法（a).公式推导：表（1）的Lagrange插值的插值多项式 ,(j=0,1,2.n)。其中插值基函数是 ,(i

2、,j=0,1 2.n) 。其插值余项为 其中， (b).matlab实现方法： Matlab没有直接求解的相关函数，现编译如下：function yi = Lagarange_chazhi(x,y,xi)% 求拉格朗日插值,并返回一个输入为xi时的函数值% x 为插值点向量，至少有三项% y 为插值点值的向量，项数与x相同m = length(x); %求插值个数m1 = length(y);if m<=2 error('项数不足!');endif m=m1 error('!y的项数应与x相同!');end %对参数的判断lag_hanshu = 0; s

3、yms X;for (l = 1:m) %构造插值基函数 la = y(l); for a = (1:l-1) la = la*(X-x(a)/(x(l)-x(a); end for a = (l+1:m) la = la*(X-x(a)/(x(l)-x(a); end format long lag_hanshu = lag_hanshu+la; %求解出插值函数endyi = subs( lag_hanshu,'X',xi); %返回插值函数输入为xi时的值End(c).方法缺陷：当插值点个数时，将产生龙格现象： 经典例子，对进行拉格朗日插值图（1）中从左到右，从上到下，n

4、分别为 图(1) Lagarange插值法的龙格现象4,5.11，可以看出，当后，它的插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。所以拉格朗日插值法一般不适用于高次插值。 分段线性插值法(a).插值原理： 为避免高次产生的龙格现象，采用分段插值，相邻两节点间的函数为一次线性函数, 图形为线段，在a,b间为折线，如图（2）。 图(2) 分段线性插值(b).matlab实现方法： Matlab中没有现成的函数，现编译如下：function Fenduan_liner(x,y)%对x,y进行分段线性插值%用虚线画出插值后的函数m = length(x); %求插值个数m1 = length(

5、y);if m=m1 error('!y的项数应与x相同!');end %对参数的判断hold on;for ii = 1:m-1 plot(x(ii) x(ii+1),y(ii) y(ii+1); %画出线段endplot(x,y,'o'); %画出插值点end(c).方法缺陷：在节点处曲线不平滑。 保形插值（Hermite插值）（a) .插值原理： 针对分段插值法不光滑的问题，Hermite插值引入插值点的导数。 表(2) Hermite插值法 由于若且已知函数表及导数表，则存在唯一不超过次多项式满足插值条件 则，通过求解方程，可得出插值函数 其插值余项为且

6、与x有关。(b).matlab实现方法：Matlab中没有现成的函数，现编译如下：function yi = Hermite(x,y,der_y,xi)%对x,y进行Hermite插值，其各节点的导数为der_y%返回值为带入矩阵xi后的函数值if length(x) = length(y) if length(y) = length(der_y) n = length(x); %求插值个数 endelse error('!y的项数应与x相同!');end if n<=1 warning('项数不足!');end %对参数的判断syms X;H = 0;f

7、or jj = 1:n a = 0; b = 0; l = 1; for ii = 1:n if ii = jj a = a+1/(x(jj)-x(ii); l = l*(X-x(ii)/(x(jj)-x(ii); end end A = (1-2*(X-x(jj)*a)*l2; B = (X-x(jj)*l2; H = H+(A*y(jj)+B*der_y(jj); %迭代法求Hendyi = subs(H,'X',xi);end(c).方法缺陷：无法获得各点的导数 三次样条法(a) .插值原理： 对每两个点间进行三次多项式的插值,且通过端点导数推导出各点导数，使得插值函数在

8、插值点处导数相等。(b).matlab实现方法：Matlab有现成的函数spline，以下为help spline “PP = spline(X,Y) provides the piecewise polynomial form of the cubic spline interpolant to the data values Y at the data sites X,for use with the evaluator PPVAL and the spline utility UNMKPP.X must be a vector.” 插值法关系图lagarange 插值法龙格现象 光滑节点

9、处导数相同 Hermite 插值法分段线性 插值法 降次防止龙格现象导数不易得到 节点不光滑 由边界条件推导各节点导数三次样条 插值法3. 插值法对比例证对,在x=-1,-0.5,0,0.5,1点处插值代码如下：syms X;Y = 1./(1+25*X2);x = -1:0.5:1;y = subs(Y,'X',x);der_y = subs(diff(Y),'X',x);xi = -1:0.01:1;yi = 1./(1+25*xi.2);yi_Lagarange = Lagarange_chazhi(x,y,xi);yi_Hermite = Hermite

10、(x,y,der_y,xi);yi_Yangtiao = spline(x,y,xi);hold on;plot(x,y,'o',xi,yi,'b');%画出分段插值Fenduan_liner(x,y); %画出拉格朗日插值plot(xi,yi_Lagarange,':g');%画出Hermite插值plot(xi,yi_Hermite,':');%画出三次样条插值plot(xi,yi_Yangtiao,'-g');结果图形为 （注：蓝色实线为原函数，蓝色圆点为插值点，蓝色短虚线为分段线性插值，蓝色点虚线为Hermite插值，绿色点 虚线为Lagarange插值，绿色短虚线为三次样条插值）结果分析： 所有插值法中，分段线性