微分方程稳定性理论简介

1、(1)第五节微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容:一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程dx不（X）右端不显含自变量t，代数方程f (x) =0(2)的实根x=xo称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解x（t）都满足lim x(t)二 x0t厂(3)则称平衡点xo是稳定的（稳定性理论中称 渐近稳定）；否则，称Xo是不稳定的（不渐近稳定）。判断平衡点Xo是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解x（t），因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。将f（x）在xo做泰勒展开，只

2、取一次项，则方程（1）近似为:dx f '（x）（x -Xo） dt（4）称为（1）的近似线性方程。xo也是（4）的平衡点。关于平衡点X。的(4)稳定性有如下的结论：若f'（xj<o，则xo是方程（1）、（ 4）的稳定的平衡点。若f'（xo）>0，则Xo不是方程（1）、（ 4）的稳定的平衡点xo对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是x(tcef，(x)tX。(5)其中C是由初始条件决定的常数(6)二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为晋"（X1,X2）dt響弋（X1,X2）.dt右端不显含t

3、，代数方程组(7)f （XI，X2）= 0g（Xi,X2）=0的实根（x10,x2）称为方程（6）的平衡点。记为Po（x10,x0）如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解Xi（t）,X2（t）都满足tmxi(t)=x0im x2(t)二x0(8)则称平衡点F0（x10,x0）是稳定的（渐近稳定）；否则，称Po是不稳定的（不渐 近稳定）。为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程空©"iXi biX2(9)dt=a 2 Xib?X2dx2(t).dt系数矩阵记作bjb2并假定A的行列式det A = 0于是原点F0（0,0）是方程（9）的唯一平衡

4、点，它的稳定性由的特征方程det(A；1) = 0的根（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：G 2丄 口丄扎十p扎十q = 0 p （印 b2）（ 10）q =det A将特征根记作J2，则12' 1, ' 2 = / p _ 4q） （11）方程（9）的解一般有形式qe" +c2e於（人打2）或（G +c2t）e兀6 =入2 = ）Ci,C2为任意实数。由定义（8）,当厂2全为负数或有负的实部时P0（O,O）是稳定 的平衡点，反之，当，“有一个为正数或有正的实部时 R（0,0）是不稳定的平衡 占八、微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，

5、完全由 特征根、，2或相应的p,q取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一 列指按照定义（8）式得下马看花关于稳定性的结论。表1由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性打，為p,q平衡点类型稳定性入V人2 < 0p>0,q>0,p >4q稳定结点稳定>、一 2 > 0pc0,q>0, p2 >4q不稳定结点不稳定入瓷0 扎7q <0鞍点不稳定»1 =人2 £ 0p>0,q>0, p2 =4q稳定退化结点稳定人=、'一 2 > 0pc0,q>0, p2 T不稳定退化结点不稳定人，热

6、7; 0 2 < 0p>0,q>0, p c4q稳定焦点稳定人,爲=0 ± 0 3 > 0pc0,q>0, p2 v4q不稳定焦点不稳定人，爲± P =0p =0,q >0中心不稳定由上表可以看出，根据特征方程的系数p,q的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若p 0,q 0（ 12）则平衡点稳定，若p ：0 或 q ：0（ 13）则平衡点不稳定以上是对线性方程（9）的平衡点P°（0,0）稳定性的结论，对于一般的非线性dxi （t） ! dtdx2（t）.dt方程（6），可以用近似线性方法判断其平衡点Po（x°,x

7、0）的稳定性，在Po（x°,x0）点 将f （Xi, X2）和g（X,X2）作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程 二 J （X；,X；）（Xi -Xi0） fx2（Xi0,X；）（X2 -x；）（14）二 gx（Xi0,x0）（Xi -Xi0） gx2（Xi0,x；）（x2 -X；）A = figX2P）（x0，x2）系数矩阵记作特征方程系数为P （fxi gx2）p（x0,x0）, q =detA显然，P）（Xi0,x°）点对于方程（i4）的稳定性由表i或准则（i2）、（i3）决定, 而且已经证明了如下结论：若方程（i4）的特征根不为零或实部不为零，则 P）（x

8、i0,x0）点对于方程（6） 的稳定性与对于近似方程（i4）的稳定性相同。这样，丘（为0公0）点对于方程（6）的稳定性也由准则（i2）、（ i3）决定。第六节种群的相互竞争与相互依存当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称为种群）生存时，人们常用Logistic模型来描述这个群数量的演变过程，即f（i）dtNx（ t）是种群在时刻t的数量,（1）r是固有增长率,N是环境资源容许的种群最大数量，在前面我们曾应用过这种模型，由方程（1）可以直接得到，Xo=N是稳定平衡点，即t时x（t） f N,从模型本身的意义看这是明显的结果。如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在

9、着 或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系。这里将从稳定状态的角度分别讨论这些关系、种群的相互竞争当两个种群为了争夺有限的食物来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。 人们今天可以看到自然界长期演变成的这样的结局，例如一个小岛上虽然有四种 燕子栖息，但是它们的食物来源各不相同，一种只在陆地上觅食，另两种分别在 浅水的海滩上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽阔的海面到远方攫取海 味，每一种燕子在它各自生存环境中的竞争力明显地强于其它几种，这里我们建立一个模型解释类似的现象，并分析产生这种结局的条件。模型

10、建立 有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时， 数量的 演变均遵从Logistic 规律，记Xi（t）,X2（t）是两个种群的数量，”丄是它们的固有 增长率，N、NN是它们的最大容量， 于是对于种群甲有其中因子（1-dt二隅（1N11N2)）反映由于甲方有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，互可解释为相对于N而言单位数量的甲消耗的供养甲的食物量（设食物Ni总量为1）0当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子 （1-互）中再减去一项，该项与种群乙的N1数量X2 （相对于2而言）成正比，得到种群甲方增长的方程这里J的意义是

11、，单位数量乙（相对 M而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对N）消耗的供养甲的食物量的5倍。类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的方程应该是dx2一 _ x-ix2、应=护2（1八2兀-皿）对二2可作相应的解释在两种群的相互竞争中G、二2是两个关键指标，从上面对它们的解释可知,G >1表示在消耗供养甲的资源中，乙的消耗多于甲，因而对甲增长的阻滞作用 乙大于甲，即乙的竞争力强于甲，对 6 > 1可作相应的理解。般地说，G与二2之间没有确定的关系，但是可以把下面这种特殊情况作为较常见的一类实际情况的典型代表，即两个种群在消耗资源中对甲增长的阻作 用对乙增长的阻滞作用相同，具体

12、地说就是，因为单位数量的甲和乙消耗的供养 甲方食物量之比是1：二i，消耗的供养甲方食物量之比是 匚2 : 1,所谓阻滞作用相同即11=72 : 1,所以这种特殊情形可以定量地表示为=1（4）即G、匚2互为倒数，可以简单地理解为，如果一个乙消耗的食物是一个甲的-1 = k倍，则一个甲消耗的食物是一个乙的 2=1/ k。下面我们仍然讨论F、二2相互独立的一般情况，而将条件（4）下对问题的 分析留给大家讨论。稳定性分析 为了研究两个种群相互竞争的结局，即t 时x.,（t）, x2（t）的趋 向，不必要解方程（2）、（3）,只需对它的平衡点进行稳定性分析。首先根据微分方程（2）、（ 3）解代数方程组L

13、f（0X2）=汕（1-善-6 乎）=0N1N2t12（5）x1x2g（x1,xO =2X2（1-67；）=0IN1 N2得到4个平衡点：叫（1 一牛）N2（1 仃 2）R（N1,0）, P2（0, N2）,P3（ 12-）, P4（0,0）1-C21-C2因为仅当平衡点们于平面坐标系的第一象限时（X1,X2 -0 ）才有实际意义，所以对F3而言要求二1、匚2同时小于1，或同时大于1。按照判断平衡点性的方法（见前面）计算gXl；1 x2N2ric1x1N2r2c2x22x2N2p = -(fx gx2)p,i =1,234 q =detAp,i =1,2,3,4将4个平衡点p、q的结果及稳定条件

14、列入下表）表1种群竞争模型的平衡点及稳定性平衡点pq稳定条件耳叫。）1 2(1)-心(1-)S c1q2 >1B(0,N2)-1(1 -。1)+ r2_rr 2(1 - w)W > 1戸2 c1cf 口1)N2(1口2) , ) 1 _口1口21021（1 。1 ）+2（1。2）12（1 口 1）（1 一 2）v1,b2 c11 ° 1。21 円。2巳(0,0)一（1十叨12不稳定注：表中最后一列“稳定条件”除了要求p>0,q>0以外，还有其他原因，见下面的具体分析 为了便于对平衡点R、P2、P3的稳定条件进行分析，在相平面上讨论它们。 在代数方程组（5）中记

15、：(x1, x2)一 ¥ 7 乎=0N1N2PM斜行0对于J、2的不同取值范围，直线：=0和t =0在相平面上的相对位置不同， 下面给出它们的4种情况;并对这4种情况进行分析1、S<1®2>1。由表1知对于P（N1,0）有p >0, q V 0, P稳定；P的稳定性还可以从t -X时相轨线的趋向来分析，图 1中=0和 =0两条直线将相平面（为_0,X2 一0）划分为3个区域:图 16 <1,CT2 >1 P 稳定S|：dxi/dt 0,dx2/dt 0(6)S2: dxi / dt 0,dx2/dt ：0(7)Ss: dx-! /dt : 0,

16、 dx2/dt : 0(8)可以证明，不论轨线从哪个区域出发，t -X时都将趋向Pi(N, 0)。若轨线从Si出发，由(6)可知随着t的增加轨线向右上方运动，必然进入若轨线从S出发，由(7)可知轨线向右下方运动，那么它或者趋向Pi点,或者进入Ss,但是进入S是不可能的，因为，如果设轨线在某时刻ti经直线=0进入Ss，则d xi(t i)/ dt =0,由方程(2)不难算出2 _ d 为ni、，dx2=Xidt2N2 dt由(7)、(8)知 dx2 /dt v 0,故 d2xi/dt>0，表明 (t)在 11达到极小值，而这是不可能的，因为在 S2中dx,/dt >0,即xi(t)

17、一直是增加的；若轨线从S3出发，由(8)可知轨线向左下方运动，那么它或者趋向Pi点,或者进入S,而进入S2后，根据上面的分析最终也将趋向 Pi综上分析可以画出轨线示意图(图1),因为直线=0上dxi =0,所以在® =0上轨线方向垂直于xi轴；在'-：=0上dx2=0,轨线方向平行于xi轴2、匚i 1,；1，类似的分析可知F2(0,N2)稳定。图2.1匸2：1F2稳定3、二1 <12 <1，由表1知对于P点P >0, q >0,故P稳定，对轨线趋势 的分析见图3。二 1 叮，二2 :：1F3 稳定4、；i 12 1，由表1知对于P3点q v0,故F3不

18、稳定（鞍点），轨线或者 趋向R，或者趋向P，由轨线的初始位置决定，示意图见图 4,在这种情况下R 和R2都不能说是稳定的，正因为这样，所以R稳定（与初始条件无关）的条件需 要加上G ：1，R稳定的条件加上二2 <1 °图4.1,6 - 1F3不稳定结果解释 根据建模过程中cr1r2的含义，说明R、P2、F3点稳定在生态上 的意义。1、 G ：1,二2 1，- 1 1意味着在对供养甲的资源的竞争中乙弱于甲， 匚2 1 意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙， 于是种群乙终灭绝，种群甲趋向最 大容量，即為必趋向平衡点R（N1,0）2、二1 -12 <1，情况与1正好的相反。3

19、、二1 ：1,；2 :：1，因为在竞争甲的资源中乙较弱，而在竞争乙的资源中甲较弱，于是可以达到一个双方共存的稳定的平衡状态R3，这是种群竞争中很少出现的情况。4、f 12 1，请大家作出解释生态学中有一个竞争排斥原理；若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相 同，而环境能承受的种群甲的最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡，用本节的模型很容解释这个原理。将方程（2）、（ 3）改写为NiN1X22 )以1 X2原理的两个条件相当于1吐十21 N22 N1= 1,N1 N2从这3个式子显然可得 耳<1q2 >1，这正是P稳定，即种群乙灭绝的条件、种群的相互依存自然界中处于同一环境下两个种

20、群相互依存而共生的现象是很普遍的，植物可以独立生存。昆虫的的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独存活，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系，这种共生现象可以描述如下。设种群甲可以独立存在，按 Logistic 规律增长，种群乙为甲提供食物，有 助于甲的增长，类似于前面的方程（2），种群甲的数量演变规律可以写作（n、 Ni、N的意义同前）dx1一 X1X2、(9)dTr1X1（1 卞二忆）5前面的-号这里变成+号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供食物，J的含义是：单位数量乙（相对于NO提供的供养甲的食物量为单位数量甲（相 对于Ni）消耗的供养甲食物量的G倍。

21、种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为2，则乙单独存在时有dx2/dt 二-r2x2（10）甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有dx2/dt =-r2x2（1-二 2 互）（11）N1显然仅当匚2乞 1时种群乙的数量才会增长，与此相同乙的增长又会受到自 Ni身的阻滞作用，所以93）式右端还要添加Logistic项，方程变为dx2 /dt = r2x2（1 b2 乞 +生）（12）N1N2方程（9）、（ 12）构成相互依存现象的数学模型，下面利用平衡点的稳定性 分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向。类似于前面的作法将方程（9）、（ 12）的平衡点及其稳定性分析的结果列入 表2表2种群依存模型的平衡点及稳定性平衡点Pq稳定条件R（N1,0）r1 -2（口2 -1）_rT 2 ©2 -1）cr2 成1,吓2 £1p（N1（1-F）N2&2-1）1 _吓2 ' 1 -円匹r1（1 一坊1）+ r2（<J2 一1）r1r2 （1 一 °1 ）（2 UW <1,6 >1,1 -吓21 吓2£1P3（0,0）-r<2不稳定显然，P2点稳定才表明两个种群在同一环境里相互依存而共生，我们着重分析P2稳定的条件。由P2的表达式容易看出，要使平衡点 P2有实际意义，即位于