概率论与数理统计2.1

1、 随随机机量量变变其其及及分分布布 为更好地揭示随机现象的规律性并利为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律用数学工具描述其规律, , 有必要引入随机有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果变量来描述随机试验的不同结果. .例例 电脑寿命可用一个连续变量电脑寿命可用一个连续变量 T 来描述来描述.例例 检测检测一件产品可能出现的两个结果一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散变量来描述也可以用一个离散变量来描述正品次品,0, 1)(X1. 随机变量随机变量r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写希腊字母 , , 表示.随机变量 ( random variabl

2、e )设 是试验E的样本空间, 若则称 X ( ) 为 上的 随机变量)(X实数定义定义按一定法则简记 r.v. X .此映射具有如下特点 定义域定义域 事件域 随机性随机性 r.v. X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值 引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表达随机事件, 例如)100(X 表示 “某天9:00 10:00 接到电话次数超过100次” 这一事件AAXA, 0, 1为事件A 的示性变量(indicator random variable) r.v.的函数一般也是 r.v. 可根据随机事件

3、定义 r.v. 设 A 为随机事件，则称 在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v., 例如 = 儿童的发育情况 X() 身高,Y() 体重,Z() 头围.各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系 即 相互独立2. 离散离散型随机变量型随机变量及其分布律及其分布律定义定义 若随机变量若随机变量 X 的可能取值是有限的可能取值是有限个或可列个个或可列个, 则称则称 X 为为离散型离散型随机变量随机变量(Discrete random variables)离散随机变量及分布律描述描述X 的概率特性常用的概率特性常用概率分布概率分布或或分布分布律律(probability distribu

4、tion or distribution law), 2, 1,)(kpxXPkkX kxxx21P kppp21或即X 或kxxx21kppp21分布律的性质分布律的性质q , 2 , 1, 0kpk非负性q 11kkp归一性3 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXPk解解,) 4(4pXP出发地出发地甲地甲地 例例1 1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布函数.令 X 表示kpk 0 1 2 3 40.6 0.24 0.0960.0384 0.0

5、256代入4 . 0p例例2 2 一门大炮对目标进行轰击一门大炮对目标进行轰击,假定此目标假定此目标必须被击中必须被击中r 次才能被摧毁次才能被摧毁. 若每次击中目若每次击中目标的概率为标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独且各次轰击相互独立立,一次次地轰击直到摧毁目标为止一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需求所需轰击次数轰击次数 X 的概率分布的概率分布.解解P(X = k) = P(前 k 1次击中 r 1次， 第 k 次击中目标)pppCrkrrk)1 (111rkrrkppC)1 (11, 1, rrk帕斯卡分布(Pascal distribution)注1)1 (11rkr

6、krrkppC利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质xxkk1111222)1 (1) 1(xxkkk1|x当333)1 (2)2)(1(xxkkkk33321)1 (1xxCkkkrrkrkrkxxC)1 (111归纳地令px1rrrkrkrkpppC1)1 (1 (1)1 (111)1 (11rkrkrrkppC(1) 0 1 分布分布 (0-1 distribution)1, 0,)1 ()(1kppkXPkk是否超标等等. 常见离散常见离散r.v.的分布的分布凡试验只有两个结果, 常用0 1分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X = xk 1 0Pk p 1

7、- p0 p 1应用场合或(2) 二项分布二项分布 (binomial distribution)n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数 , P (A) = p ,若nkppCkXPkPknkknn, 1 , 0,)1 ()()(则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作),(pnBX01 分布是 n = 1 的二项分布二项分布的取值情况二项分布的取值情况设), 8(31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 8 , 1 , 0,)1 ()()()(831318

8、8kCkXPkPkkk0.273由图表可见 , 当 时，32或k分布取得最大值273. 0)3()2(88 PP此时的 称为最可能成功次数kxP012345678设)2 . 0 ,20( BX.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由图表可见 , 当 时，4k分布取得最大值22. 0)4(20P0.22 例例3 3 独立射击5000次, 命中率为0.001,求命中次数不少于1 次的概率.令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001)(1)

9、1(1) 1(0)P XP XP X 00500050001(0.001) (0.999)C .9934. 0 小概率事件虽不易发生，但重小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件复次数多了，就成大概率事件.本例本例启示启示(3) 泊松分布泊松分布(Poisson 分布分布)若, 2, 1 , 0,!)(kkekXPk其中0是常数，则称 X 服从参数为的Poisson 分布.或)(X)(P记作1! 3! 21!3200eeekekekkkk在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷

10、错误数；一匹布上的疵点个数；应用场合放射性物质发出的 粒子数；, 则对固定的 k, 2 , 1 , 0!)1 (limkkeppCkknnknknn0nnp设Possion定理定理Poisson定理说明若X B(n, p), 则当n 较大，p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式np, 2 , 1 , 0,!)1 (kkeppCkknkkn证 knnknknnknknnnkknnnppC1!) 1() 1()1 (nnnp记nknnnknnnnknkn)(1!1111! kek, 2 , 1k类似地, 从装有 a 个白球，b 个红球的袋中不放回地任取 n 个球, 其中恰有k 个白球的概率为pb

11、aaba,当时，knkkbanbaknbkappCCCC)1 (对每个 n 有nbaknbkaCCC/ 结结 论论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是 Poisson 分布解解 令X 表示命中次数, 则 5 np令.9933. 01) 1(5eXP 此结果也可直接查 P.383 附表3 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万万分之一.利用利用Poisson定理再求例例3X B( 5000,0.001 )解解 设每箱至少应装100 + n 个, 每箱的不合格品个数为X , 则X B (100 + n , 0.03 )由题意 9 . 0)()(0100kPn

12、XPnkn3(100+n)0.03=3+0.03n取 = 3例例4 4 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装多少个产品？1 . 0!331eknkk查Poisson分布表, =3得 n +1 = 6 , n = 5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求. .应用Poisson定理9 . 0!31!3)(31300100ekekkPnkknkknkn在实际计算中,当 n 20, p 0.05时, 可用上述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时, 精度更好 0 0.349 0.358 0.369

13、0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 设同类型设备90台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常 情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备.(1) 问至少要

14、配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？例例590190)99. 0()01. 0()(NkkNkkCNXP令9 . 001. 090则9019 . 0!9 . 0)(NkkkeNXP919 . 019 . 0!9 . 0!9 . 0kkNkkkeke19 . 0!9 . 0Nkkke01. 0查附表3得 N = 4解解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台设备中发生故障的台数，则 X B(90, 0.01)(2)三个人共同负责90台设备发生故障

15、不能 及时维修的概率为9049 . 0!9 . 0)3(kkkeXP919 . 049 . 0!9 . 0!9 . 0kkkkkeke49 . 0!9 . 0kkke013459.0设30台设备中发生故障的台数为 Y B (30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的 30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai 则23 . 0!3 . 0)2()(kkikeYPAP0369.03 , 2 , 1i三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件321AAA31321)(1iiAPAAAP1067. 0)0369. 01 (13013459.0故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！ Blaise Pascal 1623-1662帕斯卡法国数学家物理学家 思想家 帕斯卡四岁丧母, 在父亲精心培养下, 16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成圆锥曲线论,由此定理导出400余条推论, 这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步.帕斯卡简介 1642年发明世界上第一台机械加法计算机帕斯卡计算器. 他应用此方法解决了摆线问题. 1654年研究二项系数性质,写出论算术三角形一文,还深入讨论不可分原理,这实际上相当于已知道 andxx011nan 1647年他发现了流体静力学的帕斯卡原理. 三十岁时他曾研究过赌博问题三十岁时他