磁场的高斯定理和安培环路定理PPT课件

1、1 例11、如图,载流长直导线的电流为I,试求通过矩形面积的磁通量.Ld2d1IXdxOI如图所示，一很长的直导线有电流为5.0A旁边有一个与它共面的矩形线圈长=20cm，宽=10cm，AD边距直导线为C=10cm，求穿过回路ABCD的磁通量。 例12、在磁感强度为B的均匀磁场中,有一半径为R的半球面,B与半球面轴线的夹角为.求通过该半球面的磁通量. B第第1页页/共共58页页2二、安培环路定理二、安培环路定理(Amperes circulation theorem)1. 安培环路定理的表述安培环路定理的表述 恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代数和的 0倍。表

2、达式iiLIlB0d 符号规定：穿过回路 L 的电流方向与 L 的环绕方向服从右手关系的，I 为正，否则为负。 不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。1IiI1nIknI2I第第2页页/共共58页页3 2. 安培环路定理的证明：安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场无限长直电流的磁场 在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路 。ILBddddBrlBIrrIlBLL00d2dILBdddBrlBIrrIlBLL00d2ddldr第第3页页/共共58页页4I1L2L闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路21dddLLLlBlBlB0)(20I 围绕

3、单根载流导线的任一回路 L 对L每个线元 以过垂直导线平面作参考分解为分量 和垂直于该平面的分量ld/dlldLLLlBlBlBddd/0dBlIlBlBLL0/dd证明步骤同上第第4页页/共共58页页5 围绕多根载流导线的任一回路 L 设 电流过回路， 根电流不穿过回路L。令 分别为单根导线产生的磁场nIII,21knnnIII,21knBBB,21101dIlBLnLnIlB0d0d1LnlB0d LknlBiiLIlB0d所有电流的总场穿过回路的电流任意回路第第5页页/共共58页页6 安培环路定理的存在说明磁场不是保守场，不存在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分重要的性质。 安

4、培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题，就像用高斯定理来处理电荷分布具有一定对称性的静电场问题一样。 根据矢量分析SBlBSL d)(d闭合路径包围的电流为电流密度沿所包围的曲面的积分SiiSjId 安培环路定理微分形式 jB0第第6页页/共共58页页7下列对安培环路定理 的说法中，正确的是A、安培环路上的B完全是由公式中的I所产生的B、如果I=0，一定有B=0C、 如果在安培环路上的B处处为零，一定有I=0D、以上说法都不对IdlB0c思思 考考第第7页页/共共58页页8例13、求无限长载流圆柱体磁场分布。解：圆柱体轴对称，以轴上一点为圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的圆为

5、安培环路rIB2 0Rr IBdIrBlBL02dRr 202202 d RIrBRIrlBrBr dldl 有一根长载流导体直圆管，内半径为a，外半径为b，电流强度为I，电流沿轴线方向流动，并且均匀地分布在管的横截面上，求各处的磁感应强度 思考第第8页页/共共58页页9例例14、求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。、求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。由对称性分析场结构B 1. 磁场只有与轴平行的水平分量； 2.因为是无限长，在与轴等距离的平行线上磁感应强度相等。 解：一个单位长度上有 n匝的无限长直螺线管由于是密绕，每匝视为圆线圈。第第9页页/共共58页页10 取 L 矩形回路, ab 边

6、在轴上，cd 边与轴平行，另两个边bc、da 垂直于轴。 根据安培环路定理：dacdbcabLlBlBlBlBlBdddddnIB0其方向与电流满足右手螺旋法则。 无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：cbadBabBB=ldBabnabI0第第10页页/共共58页页11例例15、 求载流螺绕环内的磁场。求载流螺绕环内的磁场。 根据对称性知，在与环共轴的圆周上磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向。磁感线是与环共轴的一系列同心圆。磁场的结构与长直螺旋管类似， 环内磁场只能平行于线圈的轴线(即每一个圆线圈过圆心的垂线)p解：设环很细，环的平均半径为

7、R ，总匝数为N，通有电流强度为 I。B2R1R第第11页页/共共58页页12设螺绕环的半径为 ，共有N 匝线圈。以平均半径 作圆为安培回路 L得：21,RRRINRBlBL02d21RrRnIB0其磁场方向与电流满足右手螺旋。n 为单位长度上的匝数。RnN 21Rr 0B同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：2R1RLRLB第第12页页/共共58页页13 例例16、设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，、设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流密度为密度为 j ,求无限大平板电流的磁场分布。求无限大平板电流的磁场分布。

8、dl dl dBdBBdPo解：可视为无限多平行长直电流的场。因此 P 点的场具有对称性。 做 PO 垂线，取对称的长直电流元，其合磁场方向平行于电流平面。无数对称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。 电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。第第13页页/共共58页页14abcd 作一安培回路如图：bc和 da两边被电流平面等分。ab和cd 与电流平面平行，则有jllBlBL02dl20jB 结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。方向如图所示。dl dl dBdBBdpo第第14页页/共共58页页15 例18

9、、电荷q均匀分布于一半径为R的圆盘上，圆盘绕通过圆心且垂直于环面的轴匀速转动，角速度为，求圆盘中心点的磁感应强度。 例17、半径为R的圆片上均匀带电,电荷面密度为,令该片以匀角速度绕它的轴旋转,求轴线上圆片中心O为x处的磁场.2/32020)(2rRdIdBdI=rdr第第15页页/共共58页页16安培力：载流导线在磁场中受到的磁场力BlIF ddsinddlBIF dF方向判断 右手螺旋LLBlIFFdd一段任意形状载流导线受到的安培力大小 是电流元与磁感应强度的夹角。 安培定律矢量式第第16页页/共共58页页17载流导线受到的安培力的微观实质是载流导线中大量载流子受到洛伦兹力的结果。简单证

10、明如下：在载流导线上任取一电流元lId其中电荷dq沿导线速度为v电流元长tvldd则tIqdd 在电流元所在的微小空间区域，磁场可看作匀强的，按照洛伦兹力公式，可得电流元所受磁场力BvqF ddBtltIdddBlI d这就是电流元在磁场中受到的安培力。第第17页页/共共58页页18载流长直导线在均匀磁场中所受安培力sinddlBIF 取电流元lId受力大小方向：垂直纸面向里积分LBIllBIFsinsindsinBlIF IBFdlId所以，安培力的大小为第第18页页/共共58页页19如果载流导线所处为非均匀磁场，可取电流元，每段受力 可分解为FddxFdyFdzFdxxFFdyyFFdzz

11、FF然后，求出合力即可。安培力应用安培力应用 磁悬浮列车车厢下部装有电磁铁，当电磁铁通电被钢轨吸引时就悬浮。列车上还安装一系列极性不变的电磁铁，钢轨内侧装有两排推进线圈，线圈通有交变电流，总使前方线圈对列车磁体产生吸引力，后方线圈对列车产生第第19页页/共共58页页20排斥力，这一推一吸的合力便驱使列车高速前进。强大的磁力可使列车悬浮110cm，与轨道脱离接触，消除了列车运行时与轨道的摩擦阻力，使列车速度可达400km/h。电磁驱动力原理图 中国第一辆载人磁悬浮列车中国第一辆载人磁悬浮列车第第20页页/共共58页页21上海磁悬浮列车上海磁悬浮列车第第21页页/共共58页页22 毕萨定律描述了电

12、流所产生的磁场，安培定律反映了处于磁场中的电流所受力的作用。电流I1和I2，两导线的间距a与它们的长度相比很小，则可以认为它们是无限长的。在电流为I2的导线上取电流元I2dl l2 2，电流I1在I1dl l1 1处产生的磁感应强度为B B12的磁场，对I2dl l2 2的作用力为dF F12。根据安培定律aI2dlB12dF121222Bl dIFd2122dlBIdF 方向？方向？第第22页页/共共58页页23因为导线是平行的，电流I1同样也受到I2导线的作用，所受磁场力都是相同的，方向相同。单位长度所受的力为aIIBIdldFf2101222121224aIIfaIB4222101210

13、12方向相同的两平行长直电流是相互吸引的，可以证明，方向相反的两平行长直电流必定是相互排斥的。电流强度的单位是安培。 第第23页页/共共58页页24例19、在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈,矩形线圈的长边与长直导线平行,如图.若直导线中的定律为I1= 20A,矩形线圈中的定律为I2=10A,求矩形线圈所受的磁场力.20cmI2I12 cm9 cmdcbaF2F1r1r2I1I2 如图,一根长直导线载有电流I1=30A,矩形回路载有电流I2=20A.试计算作用在回路上的合力.已知d=1.0cm,b=8.0cm,l=0.12m.bdF4F3F2F1I1I2思思第第24页页/共共58页页25

14、例21、如图所示，一长直导线通有电流I，在其右边的纸面内放一长为a通有电流也为I的直导线，A端距长直线也为a求通电导线AB受到力的大小例20、在同一平面上有三根等距离放置的长直通电导线，如图所示，导线1、2、3载有电流分别为1、2、3A，它们所受力分别为F1、F2、F3，则F1/F2为A. 7/16 B. 5/8 C. 7/8 D.1第第25页页/共共58页页26B)(CD)(BA2F2FneID1FBAB2l2F2F1lC1F 如上图，矩形线圈处于匀强磁场中，AB、CD边与磁场垂直，线圈平面与磁场方向夹角为 。 由于是矩形线圈，对边受力大小应相等，方向相反。第第26页页/共共58页页27AD

15、与与BC边受力大小为边受力大小为sin11BIlF 22BIlF AB与与CD边受力大小为边受力大小为 AD与与BC边受力在同一直线边受力在同一直线上，相互抵消。上，相互抵消。 这两个边受力不在在同一直线上，形成一力偶，力臂为 ，它们在线圈上形成的力偶矩为 cos1l cos12lFM cos21lBIlcosBISB)(CD)(BA2F2Fne第第27页页/共共58页页28用用 代替代替 ，可得到力矩，可得到力矩sinBISM 21l lS 为线圈面积，图中为线圈面积，图中 为线圈平面正法向与磁为线圈平面正法向与磁场方向的夹角，场方向的夹角， 与与 为互余的关系为互余的关系若线圈为若线圈为N

16、匝，则线圈所受力偶为匝，则线圈所受力偶为sinNBISM 2B)(CD)(BA2F2Fne第第28页页/共共58页页29 实际上m=NIS为线圈磁矩的大小，力矩的方向为线圈磁矩与磁感应强度的矢量积；用矢量式表示磁场对线圈的力矩： 可以证明，上式不仅对矩形线圈成立，对于均匀磁场中的任意形状的平面线圈也成立，对于带电粒子在平面内沿闭合回路运动以及带电粒子自旋所具有的磁矩，在磁场中受到的力矩都适用。BmMB)(CD)(BA2F2Fne第第29页页/共共58页页30（1）=/2，线圈平面与磁场方向相互平行，力矩最大，这一力矩有使减小的趋势。（2） =0，线圈平面与磁场方向垂直，力矩为零，线圈处于平衡状

17、态。 综上所述，任意形状不变的平面载流线圈作为整体在均匀外磁场中，受到的合力为零，合力矩使线圈的磁矩转到磁感应强度的方向。（3） =，线圈平面与磁场方向相互垂直，力矩为零，但为不稳定平衡， 与 反向，微小扰动，磁场的力矩使线圈转向稳定平衡状态。Bm讨论：讨论：第第30页页/共共58页页31 例22、如图，一根弯曲导线上载有电流I，这根导线放在磁感应强度为B的均匀磁场中，B的方向垂直于图面向外，试计算作用在导线上的力。 dFF3F1LLIOddlYX为了求出有限长的载流导线上所受的磁场力，必须将所有电流元上所受的力dF矢量和.如果各电流元上所受力的方向不同,必须将力分解成各分量,再对全导线取积分

18、.作用于两个直线段上的每个电流元所受力的方向都是一致的,方向向下(如图),大小为 IlBIdlBFF03190sin分 析第第31页页/共共58页页32AB12B1d l12d F1ICD2d l21B21d Fa2I平行载流直导线间距为平行载流直导线间距为a，两者电流方向相同，间，两者电流方向相同，间距远小于导线长，可将两导线视做无限长导线。距远小于导线长，可将两导线视做无限长导线。在在上任取一电流元上任取一电流元22dIl 为载流导线为载流导线AB在在 激发的磁感应强度激发的磁感应强度21B22dIl为二者之间夹角为二者之间夹角2aIB10212第第32页页/共共58页页33 计算CD受到

19、的力，CD上所任取电流元受力：sindd222121lIBFaIB102121sin2210222121d2ddlaIIlIBFaIIlF2102212dd载流导线CD所受的力方向指向AB。载流导线CD单位长度所受的力AB12B1d l12d F1ICD2d l21B21d Fa2I第第33页页/共共58页页34 表明：两个同方向的平行载流直导线，通过磁场的作用，将相互吸引。反之，两个反向的平行载流直导线，通过磁场的作用，将相互排斥，而每一段导线单位长度所受的斥力的大小与这两电流同方向的引力相等。AB12B1d l12d F1ICD2d l21B21d Fa2I同理可以证明载流导线AB单位长度

20、所受的力的方向指向导线CD，大小为 aII2210iiii载流直导线之间的相互作用第第34页页/共共58页页35 “安培”的定义：真空中相距1m的二无限长而圆截面极小的平行直导线中载有相等的电流时，若在每米长度导线上的相互作用力正好等于 ，则导线中的电流定义为1A。N1027 载流线圈或导线在磁场中受到磁场力（安培力）或磁力矩作用，因此，当导线或线圈位置改变时，磁场力就作了功。下面从一些特殊情况出发，建立磁场力作功的一般公式。第第35页页/共共58页页361. 1. 载流导线在磁场中运动时磁力所作的功载流导线在磁场中运动时磁力所作的功 设有一匀强磁场，磁感应强度设有一匀强磁场，磁感应强度 的方

21、向垂直于纸的方向垂直于纸面向外，磁场中有一载流的闭合电路面向外，磁场中有一载流的闭合电路 ，电路中，电路中的导线的导线 长度为长度为 ，可以沿着，可以沿着 和和 滑动。假定滑动。假定当当 滑动时，电路中电流滑动时，电路中电流 保持不变，按安培定律，保持不变，按安培定律，载流导线载流导线 在磁场中所受的安培力在磁场中所受的安培力 在纸面上，指在纸面上，指向如图所示，向如图所示， 的大小的大小BABCDABlDACBABIABFFBIlF BIFCDABABI第第36页页/共共58页页37 在在 力作用下，力作用下， 将从初始位置沿着将从初始位置沿着 力的力的方向移动，当移动到位置方向移动，当移动

22、到位置 时磁力时磁力 所作的功所作的功FABFBAFABIlAAFAABIFCDABABI第第37页页/共共58页页38 上式说明上式说明当载流导线在磁场中运动时，如果电流当载流导线在磁场中运动时，如果电流保持不变，磁力所作的功等于电流乘以通过回路所环保持不变，磁力所作的功等于电流乘以通过回路所环绕的面积内磁通量的增量，绕的面积内磁通量的增量，也即也即磁力所作的功等于电磁力所作的功等于电流乘以载流导线在移动中所切割的磁感应线数。流乘以载流导线在移动中所切割的磁感应线数。IABlDA 0ABlDt磁力所作的功为磁力所作的功为ABlABlDAABlD0t 导线在初始位置导线在初始位置 时和在终了位

23、置时和在终了位置 时，时，通过回路的磁通量分别为通过回路的磁通量分别为ABBA所以所以则则第第38页页/共共58页页392.2.载流线圈在磁场内转动时磁场力所作的功载流线圈在磁场内转动时磁场力所作的功dsinMddBISA)cosd()d(cosBSIBIS设线圈转过极小的角度设线圈转过极小的角度 ，使使 与与 之间的夹角从之间的夹角从 增为增为 ，磁力矩磁力矩 dneBsinBISM d所以磁力矩所作的功为所以磁力矩所作的功为负号负号“-”-”表示磁力矩作正功时将使表示磁力矩作正功时将使 减小。减小。设有一线圈在磁场中转动，其中电流保持不变。设有一线圈在磁场中转动，其中电流保持不变。d1F2

24、Fne ba dcB第第39页页/共共58页页40IAdd 当上述载流线圈从当上述载流线圈从 转转到到 时，按上式积分后的时，按上式积分后的磁力矩所作的总功磁力矩所作的总功为：为：12IIIA)(d1221与与 分别表示线圈在分别表示线圈在 和和 时通过线圈的磁通量。时通过线圈的磁通量。122 表示线圈转表示线圈转过过 后磁通量的增量后磁通量的增量 。)cosd(BSdd)cosd(dBSIA d1F2Fne ba dcB1第第40页页/共共58页页41注意：注意： 恒定磁场恒定磁场不是不是保守力场，磁力的功不等于磁场能保守力场，磁力的功不等于磁场能的减少，而且，的减少，而且，洛伦兹力是不作功

25、的洛伦兹力是不作功的，磁力所作的功，磁力所作的功是消耗电源的能量来完成的。是消耗电源的能量来完成的。 一个任意的闭合电流回路在磁场中改变位置或形一个任意的闭合电流回路在磁场中改变位置或形状时，如果保持回路中状时，如果保持回路中电流不变电流不变，则磁场力或磁力矩，则磁场力或磁力矩所作的功都可按所作的功都可按A= =I 计算。计算。第第41页页/共共58页页42一、带电粒子在电场和磁场中所受的力一、带电粒子在电场和磁场中所受的力电场力EqFe磁场力（洛伦兹力）BqF vmBqEqFv运动电荷在电场和磁场中受的力xyzo+qvBmF11-6带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动第第42页页/共

26、共58页页43磁场力（洛伦兹力）BFdldIm 设导线的截面积为S，单位体积内载流子的数密度为n，则)()(/BvEqdtvmdFBvqNFdFBvNqFdvNqvnqSdll dInqSvILL若是电流元l dI电流元安培定律洛伦兹公式第第43页页/共共58页页44二二 、带电粒子在磁场中运动举例、带电粒子在磁场中运动举例RmBq200vvqBmR0vB0vqBmRT220vmqBTf211 回旋半径和回旋频率回旋半径和回旋频率第第44页页/共共58页页452 磁聚焦磁聚焦（洛伦兹力不做功洛伦兹力不做功）vvv/sinvv 洛伦兹力洛伦兹力 BqFvm 与与 不垂直不垂直Bvcosvv/qB

27、mRvqBmT2)/2(cosqBmdvTv/螺距螺距第第45页页/共共58页页46 磁聚焦 在均匀磁场中点 A 发射一束初速度相差不大的带电粒子，它们的 与 之间的夹角 不同，但都较小，这些粒子沿半径不同的螺旋线运动，因螺距近似相等，相交于屏上同一点，此现象称为磁聚焦 .0vB 应用 电子光学，电子显微镜等 .第第46页页/共共58页页473 电子的反粒子电子的反粒子 电子偶电子偶显示正电子存在的云室照片及其摹描图铝板铝板正电子正电子电子电子B1930年狄拉克预言自然界存在正电子第第47页页/共共58页页481 质谱仪质谱仪RmBq2vvvRBqm7072 73 74 76锗的质谱锗的质谱.1p2p+-2s3s1s速度选择器速度选择器照相底片照相底片质谱仪的示意图质谱仪的示意图三、带电粒子在电场和磁场中运动举例三、带电粒子在电场和磁场中运动举例第第48页页/共共58页页492 回旋加速器回旋加速器 1932年劳伦斯研制第一台回旋加速器的年劳伦斯研制第一台回旋加速器的D型室型室. 此加速器可将质子和氘核加速到此加速器可将质子和氘核加速到1 MeV的能量，的能量，为此为此1939年劳伦斯获诺贝尔物理学奖年劳伦斯获诺贝尔物理学奖.第第49页页/共共58页页50mqBf2mqBR0v2k21vmE 频率与半径无关频率与半径无