【人教A版】最新高中数学必修二：全册作业与测评 课时提升作业(二十六) 4.2.1

1、最新人教版数学精品教学资料课时提升作业(二十六)直线与圆的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是()a.相切b.直线过圆心c.直线不过圆心但与圆相交d.相离【解析】选b.圆(x+1)2+y2=1的圆心为(-1,0),点(-1,0)在直线x-y+1=0上,故选b.【补偿训练】直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是()a.相离b.相切c.相交且直线不过圆心d.相交且直线过圆心【解析】选d.圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的圆心为1,12,圆心到直线3x+4y-5=0的距离为d=3

2、×1+4×12-532+42=0,所以直线与圆相交且直线过圆心.2.若直线3x+4y+k=0与圆x2+y2-6x+5=0相切,则k的值等于()a.1或-19b.10或-1c.-1或-19d.-1或19【解析】选a.x2+y2-6x+5=0的圆心为(3,0),半径r=2,由题意得圆心到直线的距离d=3×3+0+k32+42=2,解得k=-19或1.3.点m(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)内不为圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是()a.相切b.相交c.相离d.相切或相交【解析】选c.m在圆内,且不为圆心,则0<x02+y0

3、2< a2,则圆心到直线x0x+y0y=a2的距离为d =a2x02+y02>a2a2=a,所以相离.4.(2015·广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()a.2x-y+5=0或2x-y-5=0b.2x+y+5=0或2x+y-5=0c.2x-y+5=0或2x-y-5=0d.2x+y+5=0或2x+y-5=0【解析】选d.设所求切线方程为2x+y+c=0,依题有0+0+c22+12=5,解得c=±5,所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.【补偿训练】过点p(2,3)引圆x2+y2-2x+4y+4=0的切线,

4、其方程是()a.x=2b.12x-5y+9=0c.5x-12y+26=0d.x=2和12x-5y-9=0【解析】选d.点p在圆外,故过p必有两条切线,所以选d.5.在平面直角坐标系xoy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于a,b两点,则弦ab的长等于()a.33b.23c.3d.1【解析】选b.圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线3x+4y-5=0的距离为d=532+42=1.所以ab=2r2-d2=24-1=23.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·遵义高一检测)已知直线5x+12y+m=0与圆x2-2x+y2=0相切,则m=.【解

5、析】由题意,得圆心c(1,0),半径r=1,则5+m52+122=1,解得m=8或-18.答案:8或-18【延伸探究】若本题中直线与圆相交,如何求m的范围?【解析】由题意,得圆心c(1,0),半径r=1,则5+m52+122<1,解得-18<m<8.7.过点g(0,1)的直线与圆x2+y2=4相交于a,b两点,则|ab|的最小值为.【解析】当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点g(0,1)的连线与直线ab垂直时,圆心到直线ab的距离取得最大值,即d=og=1,此时弦长最短,即|ab|2r2-d2=4-1|ab|23.故|ab|的最小值为23.答案:238.由直线y

6、=x+1上的点向圆c:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为.【解析】直线y=x+1上点p(x0,y0)到圆心c的距离pc与切线长d满足d=|pc|2-1=(x0-3)2+y02-1=2x02-4x0+ 9=2(x0-1)2+77.答案:7三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·许昌高一检测)已知点p(x,y)是圆c:(x+2)2+y2=1上任意一点.求p点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.【解析】圆心c(-2,0)到直线3x+4y+12=0的距离为d=3×(-2)+4×0+1232+42=65.所以p点到直线3x+4y+1

7、2=0的距离的最大值为d+r=65+1=115,最小值为d-r=65-1=15.10.已知圆c:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆c相切.(2)当直线l与圆c相交于a,b两点,且ab=22时,求直线l的方程.【解析】将圆c的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆c相切,则有|4+2a|a2+1=2.解得a=-34.(2)过圆心c作cdab,则根据题意和圆的性质,得|cd|=|4+2a|a2+1,|cd|2+|da|2=|ac|2=22,|da|=12|ab|

8、=2.解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.【拓展延伸】数形结合思想方法的应用数形结合是一种重要的解题思想方法,直线和圆的方程将数(方程)与形(直线或圆)有机地结合起来,因此常用直线与圆的图形解决一些代数问题.【补偿训练】求与直线x+2y-1=0切于点a(1,0),且过点b(2,-3)的圆的方程.【解析】设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心o的坐标为(a,b),半径为r.由直线x+2y-1=0与圆o相切,可得直线ao与x+2y-1=0垂直.因为x+2y-1=0的斜率为-12,所以直线ao的斜率k=2,即ba-1=2,把a的坐标代入圆的方程

9、得(1-a)2+b2=r2,把b的坐标代入圆的方程得(2-a)2+(-3-b)2=r2联立,解得a=0,b=-2,r=5,故所求圆的方程为x2+(y+2)2=5.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·恩施高一检测)已知点ma,b在圆o:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆o的位置关系是()a.相切b.相交c.相离d.不确定【解题指南】求出圆心到直线的距离,并结合点m在圆外判断与半径的关系,可得直线与圆的关系.【解析】选b.因为点m在圆外,得a2+b2>1,所以o到直线ax+by=1的距离d=1a2+b2<1=r,则直线与圆o相交.2.(

10、2015·山东高考)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切则反射光线所在直线的斜率为()a.-53或-35b.-32或-23c.-54或-45d.-43或-34【解析】选d.反射光线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,反射光线与圆相切,圆心(-3,2)到直线的距离等于半径1,即-3k-2-2k-31+k2=1,解得k=-43或k=-34.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·哈尔滨高一检测)设点m(x0,1),若在圆o:x2+y2=1上存在点n,使得omn=45&#

11、176;,则x0的取值范围是.【解析】由题意画出图形如图,点m(x0,1),要使圆o:x2+y2=1上存在点n,使得omn=45°,则omn的最大值大于或等于45°时一定存在点n,使得omn=45°,而当mn与圆相切时omn取得最大值,此时mn=1,图中只有m到m之间的区域满足mn=1,所以x0的取值范围是-1,1.答案:-1,1【补偿训练】设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点a,b,则弦ab的垂直平分线所在方程是 .【解析】设与2x+3y+1=0垂直的直线方程是3x-2y +m=0.又因为直线过圆心(1,0),所以3×1-2&#

12、215;0+m=0,所以m=-3,即所求直线方程为3x-2y-3=0.答案:3x-2y-3=04.(2015·湖南高考)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于a,b两点,且aob=120°(o为坐标原点),则r=.【解析】如图,直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于a,b两点,o为坐标原点,且aob=120°,则圆心(0,0)到直线3x-4y+5=0的距离为12r,即532+42=12r,所以r=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·临川高一检测)设圆上的点a(2,3)关于直线

13、x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为22,求圆的方程.【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由已知可知,直线x+2y=0过圆心,则a+2b=0,又点a在圆上,则(2-a)2+(3-b)2=r2,因为直线x-y+1=0与圆相交的弦长为22.所以(2)2+a-b+112+(-1)22=r2.解由所组成的方程组得a=6,b=-3,r2=52,或a=14,b=-7,r2=244.故所求方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.【补偿训练】已知点m(3,1),圆c:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点m(3,1)的

14、圆的切线方程.(2)若直线ax-y+4=0与圆相交于a,b两点,且弦ab的长为23,求a的值.【解析】(1)圆心c(1,2),半径为r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心c(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由题意知k-2+1-3kk2+1=2,解得k=34.所以方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.故过m点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)因为圆心到直线ax-y+4=0的距离为a+2a2+1,所以a+2a2+12+2322=4,解得a=-34.6.(2015·潍坊高一检测)已知圆c:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对任意mr,直线l与圆c总有两个不同的交点.(2)设l与圆c交于a,b两点,若|ab|=17,求l的倾斜角.【解题指南】(1)直线l方程mx-y+1-m=0可得直线恒过定点且定点在圆内,由此证明直线与圆总有两个交点.(2)将直线方程与圆的方程联立,结合弦长|ab|=17,求出m的值,确定出直线相应的倾斜角.【解析】(1)由已知直线l:y-1=m(x-1),