矿业大学环境与测绘学院测绘工程测量平差条件平差PPT课件

1、 由于r n，从（3-1-1）式不能计算出的唯一解，但可按最小二乘原理( )，求出的最或然值V，从而进一步计算观测量 的最或然值 （又称平差值）。minPVVTLLVLL (3-1-4)将（3-1-1）式中的改写成其估值（最或然值）V，条件方程变为0WAV (3-1-5) 条件平差就是在满足r个条件方程条件下，求解满足最小二乘法（ ）的V值，在数学中就是求函数的条件极值问题。minPVVT第1页/共204页一、条件平差原理 设在某个测量作业中，有n个观测值 ，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为 ，改正数为 ，平差值为 ，表示为1 ,nLnnP,1 ,nV1 ,nLnnLLLL211 ,nn

2、vvvV211 ,nnnpppP21,nnLLLL211 ,其中: 为对角阵；nnP,第2页/共204页1 ,1 ,1 ,nnnVLLnnnvLvLvLLLL221121即 （3-1-6） 在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测数为r。可以列出r个平差值线性条件方程000022110221102211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnnn(3-1-7) 第3页/共204页式中， （i = 1,2,n）为各平差值条件方程式中的系数， 为各平差值条件方程式中的常数项。 将（3-1-6）式代入(3-1-7)式，得相应的改正数条件方程式iiirba,000,rba（3-1-8）0

3、00221122112211rnnbnnannwvrvrvrwvbvbvbwvavava 式中 称为改正数条件方程的闭合差（或不符值），即rbawww,第4页/共204页)()()(022110221102211rLrLrLrwbLbLbLbwaLaLaLawnnrnnbnna(3-1-9)若取nnnnrrrrbbbaaaA212121,0001 ,0rbaArrbarwwwW1 , (3-1-7)、（3-1-8）和（3-1-9）式可分别表达成矩阵形式如下第5页/共204页00 ALA0WAV)(0AALW (3-1-10) (3-1-11) (3-1-12) 按求函数极值的拉格朗日乘数法，引

4、入乘系数TrbarkkkK1 ,（又称为联系数向量）,构成函数：)(2WAVKPVVTT (3-1-13)为引入最小二乘法,将对V求一阶导数,并令其为零第6页/共204页022)(2)(AKPVVAVKVPVVdVdTTTT得AKPVTT上式两端转置，得KAVPTT由于P是主对角线阵，则 ，得 KAPVT将上式两边左乘权逆阵 ，得TPP 1PKAPVT1 (3-1-14)第7页/共204页此式称为改正数方程，其纯量形式为)(1ribiaiiikrkbkapv), 2 , 1(ni(3-1-15) 将（3-1-14）式代入（3-1-11）式，得01WKAAPT 此式称为联系数法方程（简称法方程）

5、，其纯量形式为(3-1-16)第8页/共204页000rrbabrbaarbawkprrkpbrkparwkpbrkpbbkpabwkparkpabkpaa(3-1-17) 取法方程的系数阵 ，由上式易知N阵关于主对角线对称，得法方程表达式NAAPT10WNK(3-1-18) 第9页/共204页 上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵 ，得联系数K的唯一解：1NWNK1 (3-1-19)rAAPRNRT)()(1 即，N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。将（3-1-18）式移项，得WNK 法方程数阵N的秩第10页/共204页 将（3-1-19）式代入（3-1-14）或（3-1-15）式，可计算出V，再将

6、V代入（3-1-6）,即可计算出所求的观测值的最或然值 。VLL 通过观测值的平差值 ，可以进一步计算一些未知量（如待定点的高程、纵横坐标以及边的长度、某一方向的方位角等）的最或然值。L 由上述推导可看出，K、V及 都是由（3-1-11）和（3-1-14）式解算出的，因此我们把（3-1-11）和(3-1-14)式合称为条件平差的基础方程。L第11页/共204页二、精度评定 在第一个问题中已经阐述了计算未知量最或然值的原理和公式，下面来论述测量平差的第二个任务,即评定测量成果的精度。精度评定包括单位权方差 和单位权中误差 的计算、平差值函数( )的协因数 及其中误差 的计算等。200)(LfF

7、FFFQ 在第二章中已经介绍过，当已知单位权方差 时，如果知道某量的权为p，则该量的方差为 在实际工作中，由于观测值的个数n是有限值，因此，只能求出 的估值 和 的估值 。则有 20FFp120220202F2F第12页/共204页 根据协因数的定义，有了单位权方差 和某平差值函数的验后协因数阵 ，也可按下式计算该平差值向量的协方差阵。FFQ20FFFFQD20(3-1-22)FFp1202估值形式为FFp1202(3-1-20)(3-1-21)例如，已知观测值的平差值 的协因数阵 ，则 的协方差阵为 LLLLQD20LLLLQ第13页/共204页 下面，我们分别讨论单位权中误差 和平差值函数

8、协因数阵 的计算方法。0FFQ 1.计算单位权方差和中误差的估值 根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的计算公式为rp0 在一般情况下，观测值的真误差是不知道的，也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件平差中，可以通过观测值的改正数V来计算单位权方差和中误差：rPVVT20(3-1-23)第14页/共204页（2）由（3-1-14）和（3-1-11）式导出KWKAVKAVKAPPVPVVTTTTTTT)()(1rPVVT0 式中r为多余观测值个数，r = n t。 在（3-1-24）中，须先算出VTPV的值，才能计算单位权中误差。VTPV可用下列几种方法计算： （1）直接利用定义式（3

9、-1-23）计算。 纯量形式为nnTvpvpvppvvPVV2211(3-1-25)(3-1-24)第15页/共204页即KWPVVTT (3-1-26) 其纯量形式为rrbbaaTkwkwkwPVV (3-1-27) 2、协因数阵条件平差的基本向量L、W、K、V、 都可以表达成随机向量L的函数LL 0AALW011011)(ANALNAALNWNKL第16页/共204页0111101111)(ANAPALNAPANALNAPKAPVTTTT0111101111)()(ANAPLANAPEANAPALNAPLVLLTTTT将向量L、K、V、 组成列向量，并以Z表示之 L011011010111

10、110ANAPANAPANALANAPEANAPANAELVKWLZTTTT(3-1-28) 第17页/共204页式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传播律，得Z的协因数阵为LLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKVKKKWKLLWWVWKWWWLLLLVLKLWLLZZQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ第18页/共204页111111111111111111111NAQANAPNEQAAQANAPEQAAQENAPEQENAQANAPAQANAPAQENAPNAQANAQANAQENNAQAAQAAQENEQAEQAEQETTTTTTTTTTTTTTT

11、TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTANAPEQANAPEAPNAQANAPAPNEQAAPNAQANAPAQENAPAPNAQANAPAPNAQANAQENAPNAQANAPNAQAAQEAPNAQAAPNEQAEQEAPNEQA)()(11111111111111111111111111111111111第19页/共204页AQNAPQAQNAPQAPNAPNAPAPAQNAPAPNNEAQNAPENAQAPNQAQAPNQANQAQAQTTTTTTTTTT1111111111111111111111000000整理后得LLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKV

12、KKKWKLLWWVWKWWWLLLLVLKLWLLQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ第20页/共204页AQNQAQAQNQAQAQNQANQAQAAQNQAAQNNEAQNAQENAQAQNQAQAQNQANQAQAQTTTTTTTTTT11111111111000000(3-1-29) 由上式可见，平差值 与闭合差W、联系数K、改正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服从正态分布的向量，所以 与W、K、V也是相互独立的向量。LL第21页/共204页 3平差值函数的协因数 在条件平差中，平差计算后，首先得到的是各个观测量的平差值。例如，水准网中的高差观测值的平差值，测角网中

13、的观测角度的平差值，导线网中的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而我们进行测量的目的，往往是要得到待定水准点的高程值、未知点的坐标值、三角网的边长值及方位角值等，并且评定其精度。这些值都是关于观测值平差值的函数。 设有平差值函数),(21nLLLfF (3-1-30)第22页/共204页对上式全微分得nLLnLLLLLdLfLdLfLdLfFd2211(3-1-31) 取全微分式的系数阵为LLnLLLLnTLfLfLfffff2121,由协因数传播律得fQfQLLTFF(3-1-32) (3-1-33) 第23页/共204页根据（3-1-29）式，知AQNQAQQTLL1代入（3-1-3

14、3）式得fAQNQAQffQfQTTLLTFF)(1 将（3-1-34）式代入（3-1-22）式，可求得该平差值函数的方差FFFFQD20(3-1-35) 即AQfNQAfQffQTTTFF1(3-1-34) 此式即为平差值函数式（3-1-30）的协因数表达式。第24页/共204页三、条件平差的计算步骤 综合以上所述，按条件平差的计算步骤可归结为以下几步： （1）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测值的个数t及多余观测个数r = n - t，进一步列出最或是值条件方程(3-1-10)或改正数条件方程（3-1-11）； （2）根据（3-1-16）式，组成法方程式； （3）依据（3-1-

15、19）式计算出联系数K； （4）由（3-1-14）式计算出观测值改正数V；并依据（3-1-6）式计算出观测值的平差值；第25页/共204页 （5）根据（3-1-23）和（3-1-24）计算单位权方差 和单位权中误差 ； （6）列出平差值函数关系式（3-1-30），并对其全微分，求出其线性函数的系数阵f，利用（3-1-34）式计算出平差值函数的协因数 ，代入（3-1-22）计算出平差值函数的协方差 。 为了检查平差计算的正确性，可以将平差值 代入平差值条件方程式（3-1-10），看是否满足方程关系。200FFQFFDL第26页/共204页例3-1 如图3-1所示，A和P点为等级三角点，PA方向的

16、方位角已知，在测站P上等精度测得的各方向的夹角观测值如下：T PA = 482436L 1 = 573216L 2 = 730308L 3 = 1265128L 4 = 1043320试用条件平差法，计算各观测值的平差值、PC方向的方位角TPC ，及TPC的精度 。pcT第27页/共204页解：本题中n = 4，t = 3，则条件方程个数为 r = n t =1 。因为是等精度观测，取观测值权阵11114321,ppppPnn第28页/共204页由 ，列出平差值条件方程的纯量形式00 ALA03604321LLLL其矩阵形式为036011114321LLLL由， 计算闭合差)(0AALW21)

17、36002331048215126803073612357 1111()(0 AALW第29页/共204页由 ，写出改正数条件方程式0WAV02111114321 vvvv其纯量形式为0214321 vvvv根据 ，写出法方程4 ka - 12 = 0纯量形式为4 ka + 12= 001WKAAPT第30页/共204页由 ，计算联系数WNK1 k a =- 0.25 12 = - 3其纯量形式为k a = - 3由 ，计算各改正数KAPVT1 33333111111111KAPVT第31页/共204页由 = + ，计算观测值平差值1 ,nL1 ,nL1 ,nV 713310452151265

18、03073332357443322114321vLvLvLvLLLLL由(3-1-24)式，计算单位权中误差36333311113333PVVT61360 rPVVT第32页/共204页其矩阵式为6342480011 4321 LLLLTPC其中系数阵为 0011TfPC边的方位角21LLTTPAPC=482436+573213+ 730305=1785954第33页/共204页计算PC边的协因数AQfNQAfQffQTTTTPC1100111111 111125. 0111111110011001111110011则PC边方位角的中误差为 60 PCPCTTQ第34页/共204页3-2 高程

19、网条件平差 一、高程网条件方程的个数及条件方程式 高程网包括水准网和三角高程网。对高程网进行条件平差时，一般以已知高程点的高程值作为起算数据，以各测段的观测高差值作为独立观测值，写出其满足的条件关系式，按照条件平差的原理解算各高差值的改正数和平差值，然后再计算出各待求点的高程平差值，并进行精度评定。第35页/共204页 进行条件平差时，首先要确定条件方程的个数。从上节内容可知道，在一般情况下，条件方程式的个数与多余观测的个数r相符。而要确定多余观测个数就必须先确定必要观测个数t。 高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主要目的是确定未知点的高程值。如图3-2所示高程网中，有2个已知高程点A、

20、B，3个未知高程点C、D、E和8个高差观测值。从图中可以看出，要确定3个未知点的高程值，至少需要知道其中的3个高差观测值（如h1、h2、h3，或h6 、h7 、h8 ，或h2、h4 、h5 等多种选择），即必要观测个数t = 3 第36页/共204页则多余观测个数r = n t = 8 - 3 = 5，可以写出这5个条件方程式00 00 072875764532421BAHHhhhhhhhhhhhhhh第37页/共204页相对应的改正数条件方程式形式 00 00 05724875376425321421wvvwvvvwvvvwvvvwvvv其中)() ()( )()(7258754764353

21、224211BAHHhhwhhhwhhhwhhhwhhhw第38页/共204页 这些条件方程式（或改正数条件方程式），大体上分为两类：其一是闭合路线情况，如条件方程式中前四个条件方程式，可称为闭合条件方程式；其二是附合路线情况，如条件方程式中第五个，反应的是从A点出发后测得的B点的高程值是否与B点的已知高程值相等的问题，可称为附合条件方程式。 再如图3-3所示高程网中，有4个已知高程点、4个未知高程点和8个高差观测值，即n = 8。则必要观测个数为t = 4，多余观测个数为r = n t = 4。可以写出4个最或是值条件方程式或4个改正数条件方程式，其中有1个闭合条件方程式和3个附合条件方程式

22、。 第39页/共204页0000543185217643CADCBAHHhhhhHHhhHHhhhhhh第40页/共204页对应的改正数条件方程式为00004543138522117643wvvvvwvvwvvwvvvv其中)()()()(5431485321276431CADCBAHHhhhhwHHhhwHHhhwhhhhw第41页/共204页 如果高程网中没有必要的起算数据（即没有已知高程点，如图3-4所示），就不存在某点高程值的已知值与计算值的矛盾，也就不存在附合条件方程式，只能写出有关的闭合条件方程式。为确定条件方程式个数或者多余观测个数，可将高程网中一个点的高程值假定为已知值，再按上

23、文中所述方法操作。由此不难判断图3-4所示的高程网中有4个必要观测值，4个多余观测值，可写出4个闭合条件方程式0 00 0875764532421hhhhhhhhhhhh第42页/共204页相对应的改正数条件方程式形式 0 00 04875376425321421wvvvwvvvwvvvwvvv其中 ) ()( )()(8754764353224211hhhwhhhwhhhwhhhw第43页/共204页第44页/共204页二、高程网平差举例 图3-5为一水准网，A、B为两个高程已知点，C、D、E、F分别为待定点。已知高程值和高差观测值如表3-1中所示，计算各待定点的高程平差值。第45页/共20

24、4页解：水准网中总观测个数n = 8，必要观测数t = 4，多余观测r = n t = 4。平差值条件方程式 为00 AhA000 0831743632542BAHHhhhhhhhhhhhh改正数条件方程式 为00004831374326321542wvvvwvvvwvvvwvvv0WAV第46页/共204页由条件方程得：10000101010011000010011000011010A令C=1，观测值的权倒数：5 .25 .22212211P第47页/共204页0422)(8317436325420BAHHhhhhhhhhhhhhAAhW5 . 522025 . 521226201251TA

25、APN第48页/共204页3254. 00010. 11061. 06426. 01WNKTTKAPV8 . 05 . 22 . 03 . 14 . 01 . 11 . 13 . 01TVhh001. 0562. 0060. 0503. 0500. 0063. 1000. 1001. 1第49页/共204页3-3 导线网条件平差计算 一单一附合导线条件平差 导线网，包括单一附合导线、单一闭合导线和结点导线网，是目前较为常用的控制测量布设方式之一，其观测值有长度观测值和角度观测值。在本节中我们主要讨论单一导线的平差计算，先讨论单一附合导线问题。第50页/共204页 如图3-6所示，在这个导线中有

26、四个已知点、n -1个未知点、n+1个水平角观测值和n条边长观测值，总观测值数为2n+1。从图中可以分析，要确定一个未知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即需要两个观测值； 第51页/共204页要确定全部n -1个未知点，则需观测n -1个导线边和n -1个水平角，即必要观测值数t = 2n -2；则多余观测个数r = (2n +1) t = 3。也就是说，在单一附合导线中，只有三个条件方程。下面讨论其条件方程式及改正数条件方程式的写法。 设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、计算值为Tn+1,B点坐标的已知值为( , )或者(x1, y1)，C点坐标的已知

27、值为( , )、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。BxByCxCy第52页/共204页 方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平差值应等于其已知值，即01CDnTT(3-3-1) 纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标平差值应与终点的已知坐标值相等，即01Cnxx01Cnyy(3-3-2)(3-3-3)第53页/共204页1.方位角附合条件式180) 1(180) 1(1101101nvTnTTninini则(3-3-1)式可写为0180) 1(1101CDniCDnTnvTTTi整理得011Tnwvi(3-3-4) 其中)

28、180) 1(110CDniTTnTw第54页/共204页2.纵坐标附合条件式终点C坐标平差值表示为niBnxxx11(3-3-5) 而第i边的坐标增量为iiiTSxcos (3-3-6) 式中iSiivSSiiijiijijiTviTvivTiTTjjj10111010180180180第55页/共204页其中Ti是第i边的近似坐标方位角18001iTTiji(3-3-7) 则（3-3-6）式可表示为)cos()(1iiSiiTvvSxji上式按泰勒级数展开，取至一次项，得iiSiiijivyvTxx1cos (3-3-8) 第56页/共204页其中 , 为由观测值计算出的近似坐标增量。(3

29、-3-8)式代入(3-3-5)式，并按v i合并同类项得iiiTSxcosninnSinniiSiiBCiijivyyvTxvyvTxxx111111)(1coscos 上式代入（3-3-2）式，整理得0)(1cos1111 CnninnSixxvyyvTii第57页/共204页(3-3-9)上式即为纵坐标条件方程式，也可写为统一形式： 0)(1cos111 xninnSiwvyyvTii(3-3-10) )(1Cnxxxw3.横坐标附合条件式可以仿照纵坐标条件推导过程（请同学们自己具体推导一下），写出横坐标条件式0)(1sin111 yninnSiwvxxvTii (3-3-11) 第58页

30、/共204页)(1Cnyyyw(3-3-12) 为使计算方便，保证精度，在实际运算中，S、x、y常以米为单位，w、vS、v以厘米为单位，则（3-3-9）和（3-3-11）写为0)(65.20621cos111xninnSiwvyyvTii0)(65.20621sin111yninnSiwvxxvTii(3-3-14)(3-3-13)第59页/共204页 综上所述，单一附合导线的平差计算的基本程序是： (1)计算各边近似方位角Ti和各点的近似坐标增量值xi、yi； (2)参照（3-3-4）写出方位角条件式，参照（3-3-9）、（3-3-10）、（3-3-11）、（3-3-12）或者（3-3-13

31、）、（3-3-14）写出纵横坐标条件方程式； (3)按照条件平差计算的一般程序，计算最或是值并进行精度评定。第60页/共204页二单一闭合导线条件平差 单一闭合导线是单一附合导线的特殊情况，只要将图3-6中的B和C、A和D分别重合，就可得到图3-7所示的闭合导线。 图中有一个已知点和n-1个待定点，观测了n个转折角和n+1条导线边。为了定向，还观测了一个连接角1。不难分析，闭合导线中也只有三个多余观测值，产生三个条件式。由于没有多余起算数据，因此没有附合条件，只有闭合条件，这一点是与单一附合导线不同的。第61页/共204页 1.多边形内角和闭合条件 由于导线网构成了多边形，其n+1个转折角的平

32、差值应满足多边形内角和条件0180)2(12nni (3-3-15)写成转折角改正数条件方程形式012wvni (3-3-16) 其中180)2(12nwni(3-3-17) 第62页/共204页第63页/共204页 2.坐标增量闭合条件 从B点开始，依次计算每一条边的纵横坐标增量的平差值，其总和应分别满足如下关系：01nix01niy(3-3-18)(3-3-19) 参照单一附合导线纵横坐标附合条件推导方法，可以得出坐标闭合条件的改正数条件方程式 0)(1cos1111 xniinniSiwvyyvT(3-3-20)第64页/共204页 如果S、x、y以米为单位，w、vS、v以厘米为单位，则

33、（3-3-20）和（3-3-21）两式可写为 0)(1sin1111 yniinniSiwvxxvT)(1Bnxxxw)(1Bnyyyw (3-3-21)(3-3-22)(3-3-23)第65页/共204页0)(65.20621cos111xninnSiwvyyvTii0)(65.20621sin111yninnSiwvxxvTii (3-3-24) (3-3-25)三边角权的确定及单位权中误差 导线网中，既有角度又有边长，两者的量纲不同，观测精度一般情况下也不相等。在依据最小二乘法进行平差时，应合理地确定边角权之间的关系。为统一确定角度和边长观测值的权，可以采用以下方法。第66页/共204页

34、 取角度观测值的权及中误差为：p、 ；取边长观测值的权及中误差为：pS、 ；取常数 ，则角度及边长观测值的权为s0220p220SSp 一般情况下，可以认为同一导线网中测角精度相等，但是由于导线边长变化较大使得测边精度不等。可以取 ，则有0, 1p22SSp(3-3-26) 第67页/共204页2秒 式中 以秒为单位，p无量纲。在实际计算边长的权时，为使边长观测值的权与角度观测值的权相差不至于过大，应合理选取测边中误差的单位，如果 的单位取为厘米，则pS的量纲为 / ；而在平差计算中， 的单位与改正数vS的单位要一致，均以厘米为单位。ss2厘米 由于导线网中，既有角度又有边长，单位权中误差应按

35、下式计算： 按此方法确定的权，在平差之后还应进行统计假设检验。检验通过后才能说明其合理性，否则，应作修正再进行平差和统计假设检验。第68页/共204页rvvpvvprpvvSSS0(3-3-27) 如前所述，由于在计算边角权时，通常取测角中误差作为单位权中误差（即m0 = m），所以在按（3-3-27）式算出的单位权中误差的同时，实际上也就计算出了测角中误差。测边中误差可按下式计算：iiSSp10 (3-3-28)第69页/共204页四例题 如图3-8所示，为一四等附合导线，测角中误差 = 2.5，测边所用测距仪的标称精度公式 = 5mm+5ppmD 。已知数据和观测值见表3-2。试按条件平差

36、法对此导线进行平差，并评定2号点的点位精度。s第70页/共204页已知坐标已知坐标(m)已知方位角已知方位角B (187396.252 , 29505530.009)C (184817.605 , 29509341.482)TAB = 1614407.2TCD = 2493027.9导线边长观测值导线边长观测值(m) 转折角度观测值转折角度观测值S1 = 1474.444S2 = 1424.717S3 = 1749.322S4 = 1950.4121 = 8530 21.12 = 25432 32.23 = 13104 33.34 = 27220 20.25 = 24418 30.0表3-2第

37、71页/共204页第72页/共204页解：未知导线点个数n 1 = 3，导线边数n = 4，观测角个数n + 1 = 5近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表3-2中近似坐标近似坐标(m)近似方位角近似方位角2 (187966.645 , 29506889.655)3 (186847.276 , 29507771.035)4 (186760.011 , 29509518.179)5 (184817.621 , 29509341.465)T1 = 67 14 28.3T2= 141 47 00.5T3 = 92 51 33.8T4= 185 11 54.0T5 = 249 30 24.0

38、表3-3 第73页/共204页(1)组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式改正数条件方程闭合差项：)(51CDTTw)(52Cxxw)(53Cyyw= 3.9 = -1.6 cm = 1.7 cm 改正数条件方程0151 wvi0)(65.20621cos241541wvyyvTiiiSi0)(65.20621sin341541wvxxvTiiiSi第74页/共204页即v1 + v2 + v3 + v4 + v5 3.9 = 00.3868VS1 - 0.7857VS 2 - 0.0499VS 3 0.9959VS 4 1.8479V1 1.1887V2 - 0.7614V3 + 0.0

39、857V4 + 1.6 = 00.9221VS1 +0.6186VS 2 + 0.9988VS 3 - 0.0906VS 4 1.2502V1 1.5267V2 0.9840V3 0.9417V4 1.7 = 0第75页/共204页09417. 09840. 05267. 12502. 10906. 09988. 06186. 09221. 000857. 07614. 01887. 18479. 19959. 00499. 07857. 03868. 0111110000A W= 3.9 -1.6 1.7 T第3点平差后坐标函数式 221112113coscosTsTsxxxxx221112

40、113sinsinTsTsyyyyy第76页/共204页全微分得 213213)(1cosiiiidyysdTxd 213213)(1siniiiidxxsdTyd fx3 = 0.3868 0.7857 0 0 1.0865 0.4273 0 0 0 fy3 = 0.9221 0.6186 0 0 -0.2662 -0.5427 0 0 0 (2)确定边角观测值的权设单位权中误差 5 . 20TT 根据提供的标称精度公式 = 5 mm + 5ppmD计算测边中误差S第77页/共204页 根据(3-3-26)式，测角观测值的权为 P = 1；为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，在计算

41、测边观测值权时，取测边中误差和边长改正值的单位均为厘米（cm）。220SSP22cmS( )则可得观测值的权阵为第78页/共204页1111P (3)组成法方程，计算联系数、改正数及观测值平差值，得第79页/共204页TTWAAPWNK4951. 30599. 12440. 3)(111TTKAPV2440. 30425. 06118. 08321. 08328. 02463. 00739. 16965. 06861. 01 5.36812445.20022726.34401317.30232544.220385417.1950342.1749731.1424460.14

42、74543214321SSSS第80页/共204页进一步计算各导线点的坐标平差值，得1 (187966.644 , 29506889.663)；2 (186847.270 , 29507771.048)；3(186760.000, 29509518.201)(4)精度评定1）单位权中误差6 . 20 rPVVT第81页/共204页2）点位中误差权倒数：6154. 0311133133xTTxxTxxfAPNAPffPfQ2788. 0311133133yTTyyTyyfAPNAPffPfQ点位中误差：cmQxx16. 4303cmQyy88. 130323233yx= 2.46 cm第82页/

43、共204页3-4 三角网条件平差计算 三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。 第83页/共204页 如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角）

44、，根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。 在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。第84页/共204页一、网中条件方程的个数 三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。如图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中

45、的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。 要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数：r = n - t第85页/共204页 由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。因此，问题的关键是判定必要观测数t。 1.网中有2个或2个以上已知点的情况 三角网中有2个或2 个以上已知三角点，就一定具备了

46、4个必要起算数据。无论是测角网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定一个未知点的坐标，需要观测两个观测值（2个角，或者1条边和1个角，或者2条边）。也就是说，确定1个未知点要有2个必要观测值；那么如果网中有p个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍。t = 2 p (3-4-1) 第86页/共204页 (1) 测角网 图3-9所示，三角网中有2个已知点，待定点个数为p = 6。如果三角网中观测量全部是角度时。 总观测值个数： n = 23 必要观测数： t = 2 p =12 则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n t = 11 (2) 测边网在图3-9中，如果三角网

47、中观测量全部是边的长度时：总观测值个数： n = 14必要观测数： t = 2 p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n t = 2第87页/共204页第88页/共204页 (3) 边角同测网 在图3-9中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时：总观测值个数： n = 37必要观测数： t = 2 p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数： r = n t = 25 2. 网中已知点少于2个的情况有些情况下，三角网中已知点可能少于2个，只有1个已知点、1个已知边和1个已知方位角，或者没有已知点和已知方位角只有1个已知边。 第89页/共204页但是，不管怎

48、样说，1条已知边是必须已知的，或者需要进行观测的。如果没有已知点，可以假定网中的1个未知点；如果没有已知方位角，可以取网中的1个方向的方位角为某一假定值。这样也就间接地等价于网中有2个相邻点的坐标是已知的。 (1) 测角网 三角网中共有p个三角点、1个已知方位角（也可以没有）、1个已知点（也可以没有已知点）和1个已知边长S（或者也是观测得到的），并观测了所有的角度。如果已知点和已知方位角都没有，就要进行必要的假设。则在进行条件平差时，必要观测数为：t = 2 ( p 2) (3-4-2)第90页/共204页 如图3-10所示，三角网中观测了所有角度值（如果没有已知边时，也观测1条边长作为起算数

49、据）。网中三角点个数： p = 6角度观测值个数： n = 12必要观测数： t = 2 ( p 2) = 8则多余观测数,即条件平差条件方程个数:r = n t = 4第91页/共204页 (2) 测边网或边角同测网 若三角网中，共有p个三角点和1个已知点（或者也是假定的），并对所有的边长，或者角度和边长进行了观测，观测值总个数为n。在进行条件平差时，由于要加上必须的起算边长，则必要观测（边或者边和角）的个数为t = 2 ( p 2)+1 (3-4-3)如图3-10所示，网中三角点个数：p = 6如果是测边网，则总观测值个数： n = 9必要观测数： t = 2 ( p 2) +1=9多余观

50、测数,即条件平差条件方程个数:r = n t = 0第92页/共204页 如果是边角同测网，则 总观测值个数： n = 21 必要观测数： t = 2 ( p 2) +1=9多余观测数，即条件平差条件方程个数 : r = n t = 12 以上我们仅对几种三角网，讨论了条件平差时必要观测数及多余观测数和条件平差方程数的确定方法，还有很多情况没有涉及到。在实际平差计算中，应针对不同情况进行具体分析。第93页/共204页二、条件方程的形式0180321LLL(3-4-4) 三角网中的条件方程主要有以下几种形式： 1. 图形条件方程 图形条件，又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件。在三角网中，一

51、般对三角形的每个内角都进行了观测。根据平面几何知识，三角形的三个内角的平差值的和应为180，如图3-12中的三角形ABP，其内角平差值的和应满足下述关系：第94页/共204页 此即为三角形内角和条件方程。由于三角形是组成三角网的最基本的几何图形，因此，通常称三角形内角和条件为图形条件。因此图形条件也是三角网的最基本、最常见的条件方程形式。与（3-4-4）式相对应的改正数条件方程为0321wvvv)180(321LLLw(3-4-5) (3-4-6) 第95页/共204页 2. 水平条件方程 水平条件，又称圆周条件，这种条件方程一般见于中点多边形中。如图3-12所示，在中点P上设观测站时，周围的

52、五个角度都要观测。这五个观测值的平差值之和应等于360，即 03601512963LLLLL(3-4-7)相应的改正数条件方程为01512963wvvvvv(3-4-8)360(1512963LLLLLw (3-4-9)第96页/共204页第97页/共204页 3. 极条件方程 极条件是一种边长条件，一般见于中点多边形和大地四边形中。先看中点多边形的情况。如图3-12所示，中心P点为顶点，有五条边，从其中任一条边开始依次推算其它各边的长度，最后又回到起始边，则起始边长度的平差值应与推算值的长度相等。 在图3-12所示的三角网中，我们应用正弦定理，以BP边为起算边，依次推算AP、EP、DP、CP

53、，最后回到起算边BP、，得到下式14131110875421sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinLLLLLLLLLLSSBPBP第98页/共204页整理得 01sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin14118521310741LLLLLLLLLL(3-4-10) （3-4-10）式即为平差值的极条件方程。为得到其改正数条件方程形式，可用泰勒级数对上式左边展开并取至一次项：1sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1411852131074114118521310741

54、LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL第99页/共204页 22141185213107411114118521310741cotsinsinsinsinsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinvLLLLLLLLLLLvLLLLLLLLLLL 55141185213107414414118521310741cotsinsinsinsinsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinvLLLLLLLLLLLvLLLLLLLLLLL第100页/共204页 881411852131

55、07417714118521310741cotsinsinsinsinsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinvLLLLLLLLLLLvLLLLLLLLLLL 111114118521310741101014118521310741cotsinsinsinsinsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinvLLLLLLLLLLLvLLLLLLLLLLL第101页/共204页0cotsinsinsinsinsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsin

56、sinsinsinsinsin141414118521310741131314118521310741 vLLLLLLLLLLLvLLLLLLLLLLL化简，即得极条件的改正数条件方程：01414131311111010887755442211wvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgL(3-4-11) 13107411411852sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1LLLLLLLLLLw(3-4-12) 第102页/共204页 在大地四边形中的极条件方程与中点多边形稍有不同。如图3-11所示，可以取D点为极点

57、，以BD为起始边，依次推算AD、CD再回到BD边。仿照中点多边形的极条件方程，由正弦定理，得大地四边形的极条件平差值方程01sin)sin(sinsinsin)sin(74314287LLLLLLLL整理得01sin)sin(sin)sin(sinsin74318742LLLLLLLL (3-4-13)第103页/共204页相应的改正数条件方程0)()()()(887778744343432211wvLLctgvctgLLLctgvLLctgctgLvLLctgvctgLvctgL )sin(sinsinsin)sin(sin187427431LLLLLLLLw(3-4-14) (3-4-15

58、) 4. 方位角条件方程 前面讨论的三种条件方程在三角网中比较常见。如果三角网中的起始数据有了变化，起算数据不相邻，或者已知数据有冗余，还会增加一些限制条件，产生其它类型的条件方程，如方位角条件方程、边长条件方程、坐标条件方程等。这些类型的条件方程常见于非自由三角网中。第104页/共204页 如图3-13所示，为一个非自由三角网，有4个已知点、2个未知点和12个角度观测值。必要观测个数t = 2 2 = 4，多余观测数r = n t = 12 - 4 = 8，即共有8个条件方程，其中图形条件方程有4个，没有极条件，也没有水平角条件，那么另4个是什么类型的呢？由于三角网中有4个已知点，每个已知点

59、有2个坐标值，共计8个已知数据，超过了4个必要起算数据，从而产生4个冗余的已知数据。这4个多余的已知数据必然会导致4个矛盾，进而产生4个条件方程。第105页/共204页第106页/共204页 方位角条件，严格地说是方位角附合条件，是指从一个已知方位角出发，推算至另一个已知方位角后，所得推算值应与原已知值相等。 如从4个已知点可以反算出AB和EF两边的边长值和方位角值，这些值也可看作是已知值，作为起算数据用。 设AB边的方位角 ，EF边的已知方位角为 。如果从AB向EF推算，推算路线如图中所示，设EF方位角的推算值的最或然值为 ，近似值为TEF。则方位角附合条件方程为 ABTEFTEFT0EFE

60、FTT(3-4-16) 第107页/共204页其中180312963LLLLTTABEF代入（3-4-16）后，整理得0180312963EFABTTLLLL其相应的改正数条件方程012963Twvvvv (3-4-17) (3-4-18) )1803(12963EFABTTTLLLLw第108页/共204页 5. 边长条件方程 边长条件，严格地说是边长附合条件，是指从一个已知边长出发，推算至另一个已知边长后，所得推算值应与原已知值相等。 图3-13三角网中，设AB边的已知长度为 ，EF边的已知长度为 。如果沿图中所示的推算路线，从AB向EF推算，得EF边长推算值的最或然值为 ，近似值为SEF