一类带干扰的风险模型的研究

1、 一类带干扰的风险模型的研究1 绪论1.1 风险理论的有关背景风险理论是近代应用数学的一个新的组成部分，该理论在金融机构、证劵、保险公司等诸多方面有主要应用，它主要根据概率论与随机过程的有关知识来建立数学模型从而达到解决各类风险模型的目的。风险理论至今经历过了相当长的一段时间， Harald Cramer和Filip Lundberg建立的风险理论和一般随机过程研究之间的联系是其中相对比较完整的风险理论。通过几十年的发展，在风险理论中应用随机过程中的部分概念与结果的地方越来越多，借助随机过程的一般结果对风险理论进行分析的方法，不但能使以往所证的部分经典结果的推导简化很多，并且能够使得例如时间平

2、均分布、盈余额在某刻前后的分布、盈余额在一个公司破产前的分布、最大盈余额在一个公司破产至恢复以往时期的分布等保险公司常见的问题处理简单化。解决上述常见的问题主要借助于鞅方法和更新方法，另外一些是通过强马氏性解决。风险过程是风险理论中最重要的研究内容，有关风险过程的发展在各个领域都有所成就，最主要的是通过稳定性分析而取得的有关破产概率的研究，从而得出了破产理论。风险经营者盈利状况的好坏主要借助于破产理论，从而对经营者是否盈利的过程进行稳定性分析，最后能事先算出经营者在一定的时间内破产的概率和最终会破产的概率，对经营者的盈利状况的决策具有一定的积极意义。风险经营者对要制定的决策是否盈利的过程进行稳

3、定性分析，从而能够避免因决策不当而使公司破产，对公司发展前景的作用特别明显。尤其在证劵和保险行业，它的作用异常突出。经过上面所说的对破产概率的分析，从而可以得出开发某一险种的成功的概率，另外对新开发险种的保费厘定的制定也具有重要的意义，最终能够利用增加保费从而使得经营者所承担的破产概率最小。另一方面，聚合风险理论在解决有关保险公司问题中建立的随机模型有着比较重要的意义。通过该理论所建立的这种模型中，保险公司所有的开创公司时的资产非负，在公司发生理赔时其过程可以用一个点过程进行描述，客户给公司所交的钱即为保费是保险公司的营业收入。通常当顾客要求发生理赔时保险公司按照合同付给其的无规律的理赔额被理

4、想化为是具有一定规律的随机变量，保费所得的营业收入与理赔所支付的理赔额的平均值的净收入被定义为“安全负荷”。以上所讲的聚合风险理论中，其中一个异常被关注的是破产概率的大小，也就是说保险公司在某一时刻资产小于0时的概率。公司破产时的概率从风险理论出现至今始终都是该理论的重中之重，不仅仅由于破产概率是保险精算师的最根本的算法依据，而且还是开发险种、制定保费、再保险的决策等问题的根本。保险公司的风险模型最开始的建立是有关1903年Filip Lundberg的努力，他的努力所取得的结果为保险风险理论以后的发展铺平了道路。Lundberg最先觉察出非寿险模型中的最主要的部分是复合Poisson过程。依

5、据这一重要结果，Harald Cramer带领他的研究团队建立了完整的非寿险数学模型，从而奠定了非寿险模型的概率基础，进而风险理论一跃成为概率论中一个异常重要的部分。有关破产概率在风险模型中的进一步发展，主要借助于风险模型的提出的不同类别，同时加上保险公司自身在经营过程中所碰到的各类关于风险的问题，再加上上述各类问题所形成的条件，对以往所得的概率模型或者统计模型进一步改进，从而得出比以往模型更加能真实地反映保险公司的真实经营的模型。通过上面所说的研究，就让破产概率的推导更加接近现实，也就更加有难度，吸引了更多的人从事其工作，进而破产概率在国际上很久以来就是概率论研究人员所热衷的一个部分。然而在

6、内地，献身破产概率的人员还是少之又少，有关破产概率的发展前景和发展现状的文献和关于破产概率的文献也寥寥无几，主要有：Gerber（1979），Grandell（1991）等。为使经典风险模型能用数学模型进行对其描述，我们给出下列定义：定义1.1.1 称取非负整数值的随机过程为Poisson过程，若它满足以下条件：（1）是独立增量过程；（2）对任具有参数为的泊松分布，即归功于Lundberg和Gramer的对风险模型的研究所做的贡献，人们把最根本的风险模型也就是说经典模型记为Gramer-Lundberg模型，以下是比较基本的罗列： 理赔点过程是Poisson过程。 理赔发生额是一系列独立同分布

7、的随机变量。理赔点过程和表示理赔发生额的随机变量是相互独立的。单位时间保费收入是常数。其风险过程定义为 其中，表示总理赔发生的过程，也就是说到时刻t时总理赔额的多少；赔付额是非负随机变量，服从分布；索赔到达过程是Poisson过程且与独立；u是保险公司的初始资产；c为单位时间的保费收入（保费率），是常数；为到t时刻时保险公司的盈余。最近很长一段时期，经典风险理论始终主要是概率学家和有关数学家的比较热衷的一个方面，譬如：Beekman（1969）定义了让我们更加容易地进行破产概率运算的著名的Beekman卷积公式。另一方面，经典风险模型在比较多的方向都被不同程度的应用或延伸。例如，使得保单到达计

8、数过程延伸为一般计数过程、风险模型中含有不相关的两类乃至更多类的索赔额到达过程，所有以上推广能够让风险模型更加地与公司运行的实际经营状况相接近。1.2 经典风险模型的有关内容及主要成果若是一个完备的概率空间，以下独立的随机变量过程定义在该空间上： 点过程其中 为独立同分布随机变量，共同服从分布，均值为，方差为。经典风险模型的描述方法有很多种：定义1.2.1 若经典风险模型满足下列条件：（1）理赔额过程：理赔额大小为非负随机变量，服从共同分布F，均值为，方差为。 (2) 理赔到达过程：在期间理赔发生的次数，也就是说在这中间，为第n次理赔发生的时刻，记为。（3）理赔时间间隔：理赔到达时间间隔为服从

9、参数为的指数分布的随机变量，其中（4）序列与相互独立。人们对该风险模型的探讨从未停止过，这一风险模型的风险过程有以下定义：定义1.2.2 经典风险模型的表达式为： （1.2.1）其中是总理赔量过程，为复合Poisson过程；u表示保险公司的初始资产；c是单位时间保费收入（保费率），是正的常数；是t时刻保险公司的盈余。很容易的就得到一般情况下总理赔量的过程：定义1.2.3 总理赔量过程为; (1.2.2)其中为点过程，当时，。在保险公司初始资产为u的经典风险中破产概率可以表示为：定义1.2.4 经典风险模型中破产概率为： 从公式中可以看到在破产概率的计算中总理赔量过程有着异常重要的作用，故应该写

10、出定义总理赔量的概念，令：其中称为总理赔量分布。显然在经典风险模型中， 其中，是F的n重卷积 保险公司为运作上的安全，要求1.3经典风险模型的推广尽管古典风险模型已经较为成熟，但仍具有较大的局限性。很多条件都是为数学上处理方便而假设的，不能刻划保险公司经营的实际情况，因此很多风险理论研究者们对古典风险模型作出了各种推广。其中最常见的推广有：推广保费到达过程、索赔到达过程、考虑通胀率和利息等。为了更好的体现保险公司的经营状况，一般可以从以下三个方面对此模型进行推广：1、保费可以依赖于保险公司的实际经营成果，故可以在保险公司业务量非常大时，从而让安全负载尽量降低一部分，也就是将保费率c扩展为关于时

11、间的函数。2、风险模型中，注意风险、规模波动以及利率对破产概率的影响的大小，也就是说改变理赔额随机变量的分布函数，改变叙述索赔额出现的随机点过程，从而能够更加真实地体现经营规模的改变，跟保险公司运营的真实状况相符，并且注意利率因素对资本是如何影响的。3、注意到保险公司在实际经营过程中新开发的险种，进而让风险模型更贴近地反映保险公司在刚开发的险种中的实际盈利过程。1.4本论文的主要内容及结果古典风险模型及其拓展的模型为进一步研究单一险种的风险经营过程总结了各种必要的数学模式。在这些风险模型中，单一险种，顾客的索赔额独立同分布，同时顾客的索赔额到达过程我们用一系列的随机变量的点过程来描述，这相当大

12、的程度上简化了该类数学的解决。古典风险模型中，索赔到达计数过程是一齐次Poisson过程，齐次Poisson过程的平稳性表示着索赔发生次数的强度是以定常数。但在实际中，强度有可能不是一常数，而与时间有关系，即应将尺度波动考虑在内。因此本文将古典风险模型进行了以下两方面的推广：1、保单到达计数过程为广义Poisson过程，索赔到达计数过程为齐次Poisson过程；2、加上了干扰项从而建立了一类带干扰的风险模型，运用矩母函数等概率方法和鞅方法等随机过程方法进行研究，最后得出有限时间的破产概率的一个上界估计式和最终破产概率的上界。主要结果：有限时间破产概率的一个上界估计： 式中：最终破产概率的上界估

13、计： 2 预备知识2.1 随机点过程2.1.1 齐次Poisson过程Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义：定义2.1.1.1 随机过程 称为计数过程，如果表示时段内某一特定事件发生的次数，它具备以下两个特点：（1）且取值为整数；（2）时，且表示时间内事件发生的次数。Poisson过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程，它的定义如下： 定义2.1.1.2 计数过程称为参数为的Poisson过程，如果（1） ；（2） 过程有独立增量；（3） 对任意的， 从定义2.1.1.2中(3)可见的分布不依赖于，所以定义2.1.1.2中（3）蕴含了过程具有平稳增量性。另外，由Pois

14、son分布的性质知道，于是可认为是单位时间内发生事件的平均次数，一般称是Poisson过程的强度或速率，在有些著作中它被为“发生率”。2.1.2 点间间距与齐次Poisson过程的关系定理2.1.2.1 计数过程是具有强度的齐次Poisson过程的充要条件是它的点间间距为相互独立的参数为指数分布随机变量序列。2.1.3 非齐次Poisson过程定义2.1.3.1 计数过程称做非齐次泊松过程,若该过程满足下列条件:(1) ;(2) 对任意实数和,增量满足参数为的泊松分布,这里是上的非负单调不减连续函数,并称作过程的累积强度(累积强度);(3) 有独立增量。非齐次泊松过程的另外一等价定义:定义2.

15、1.3.2 有限值计数过程,称做非齐次泊松过程,若该过程满足以下条件: (1) ; (2) 过程是普通的,即对任意和, (3) 有独立增量。2.2 条件期望定义2.2.1 对条件分布函数，若记 ，称为在条件下，的条件数学期望。又记 称为在条件下，的条件数学期望。若为离散型随机变数，其概率函数。条件概率函数及。则： 若为连续型随机变数，其密度函数为，条件密度为，则有： = =定理2.2.2 设于连续，若 则有： 条件期望的平滑性： 2.3 鞅论的基本知识及结果条件期望的平滑性：设随机变量,则： 。定义2.3.1 设概率空间，F=是的一个不减的子代数族。定义2.3.2 一过程，定义。因此是到时刻时

16、，由产生的一个子代数族，代表到时刻时的历史。如果对所有的，当且仅当时，对所有的是可测的。一个F鞅是一个实值过程，(1)对所有的,是可测的; (2)对有; (3) 时，定义2.3.3 一个随机变量 ()称作一个F停时，对任意的,有。由定义2.3.3知，知道了到时刻的历史，我们就可以知道是不是。我们记结果是允许的。如果是一个停时，那么对任意一个,有。定理2.3.1 令是一个有界停时，并且是一个右连续的鞅，则： 定理2.3.2 Lundberg逼近： 由Feller(1971,p,363), 其中，由此可得：定理2.3.3 令是一个右连续过程：(1) ；(2) 有平稳独立增量；(3) ;(4) 存在

17、某个,使得，那么我们有： 如果Y是一个具有正相对安全负荷的古典风险过程，则： = = 由此可得：令为破产时刻,即：很显然，是一个停时，并记。 我们可以证明是一个鞅： = =选择，考虑到是一个有界停时，则： = =在的条件下，则：在上式中令，则可得到在初始准备金为的条件下的破产概率的一个上界估计 为使上界尽可能小，定义调节系数： 在古典风险模型中，是方程即的正解，则可得到在初始准备金为的条件下的破产概率的一个上界估计： 3 一类带干扰的风险模型保险公司是经营风险的企业,其风险无所不在,其中最根本的风险就是无偿付能力的风险。因此破产概率自然地成为保险公司度量是否破产的最根本的工具。一般建立的风险模

18、型,几乎不可能得出其破产概率的最精确的表达式。然而,要是能够找出破产概率和哪些因素有关系是非常重要的,同时也是异常复杂的。在风险理论中，古典风险模型是探讨历史最悠久、理论较为完善的风险模型，但也是最一般的风险模型，模型中保险公司单位时间内收到的保费是一常数，且索赔到达是一齐次Poisson过程。这样的假设也就是说随着时间的推移，保单数目没有增加，也没有减少，当然跟保险公司的实际经营状况不符，保险公司也不会愿意得到这样的结果的；齐次Poisson过程的平稳性也就是说索赔发生次数的强度为一正的常数。但在实际中，强度有可能不是一常数，而与时间有关系，即应将尺度波动考虑在内。因此本文将古典风险模型进行

19、了推广，建立了一类带干扰的风险模型，模型中的保单到达计数过程为广义Poisson过程，索赔到达计数过程为齐次Poisson过程，同时加上了干扰项，最终得到有限时间破产概率的一个上界和最终破产概率的上界。31 模型的建立 定义3.1.1 设服从参数为的Poisson分布，为广义Poisson分布，、均为非负的独立同分布随机变量序列，其分布函数分别为和，均值分别为和，服从参数为的Poisson分布，为标准布朗运动，且假定，相互独立，令，其中 由于题目所讨论的保险公司的初始财富u和投资常利率I是不变的，故上式可表示为，其中 （3.1）称式（3.1）中所定义的盈余过程为一类带干扰的风险模型，其中，对任

20、一，均有。 实际背景：u表示保险公司的初始财富，I表示投资常利率，c表示每张保单的保费，表示扰动系数，表示保险公司内收到的保单总数，表示个体索赔额，表示发生一次事故可能导致要求索赔的人数，表示发生的事故总次数。容易得到 ，因而能保证公司的稳定经营。由于初始准备金为，则破产时刻定义为 有限时间破产概率为 最终破产概率为 令 且假设存在，使当时，。易见 ，且在内连续。3.2模型转换：引理1：复合广义Poisson模型可转换为经典复合Poisson模型。 ，其中 （3.2）且独立同分布，是参数为b的Poisson过程。证明：由于，所以。令，并规定，那么（3.2）式成立。显然是独立同分布的且与独立，为

21、经典的复合Poisson模型。定理1：对于盈利过程，存在函数，使得证明如下：而 故从而有其中为个体索赔量Y的矩母函数。由定理1可得，盈余过程是一个右连续过程，又非齐次泊松过程具有独立增量性及标准布朗运动具有平稳独立增量性，故得盈余过程具有独立增量性（不具有平稳性）。对于盈余过程，任意给定的有：从上式可得 令，其中。定理2：是-鞅。证明： 证毕引理2：对于获利过程定义事件流，是F的非降子代数流，则是-鞅。证明：1、关于F是可测的； 2、对有 = = =3.3有限时间破产概率的一个上界估计定理3 对于有 式中：证明：由 得 又是-鞅，选取，则是一个有界-停时，由得： 又从而有 故有：式中：证毕。根

22、据算出的有限时间破产概率上界估计式，保险公司可以再依据以往公司所存的关于破产概率的报告书，更加明智地选择合理的险种和适当的保费，提前留下必需的资金，进而使得有限时间破产概率的值达到预想小的程度。3.4最终破产概率的上界估计定理4：方程存在唯一正解R(即调节系数)，且。证明如下：我们先检验函数的凸凹性。经计算可得： 故时有 故曲线在内是凸函数，并且存在常数，使得任意实数时，从而得在内有唯一的最小值，进而得到方程存在唯一正解R，记为。定理5 最终破产概率其中R为调节系数。为破产时刻证明：易知是的一个停时，且设，易知为有界停时，由停时定理及是-鞅及全期望公式得： 由于当时故有：所以从而得证毕4 结论

23、在保险公司实际的经营的过程中，由于经济形势的变化，在任意时刻不仅理赔的发生是随机的，理赔额的大小是随机的，而且保费的收入也是随机的，因而经典风险模型用恒定不变的齐次泊松过程描述理赔次数以及对保费收入以常数率到达的假设存在很大的局限性.本文把以上因素都综合考虑在内，对经典风险模型进行推广，将保单到达计数过程为广义Poisson过程，索赔到达计数过程为齐次Poisson过程，同时加上干扰项，建立了一类带干扰的风险模型：运用矩母函数等概率方法和鞅方法等随机过程方法进行研究，从而它更符合公司的实际经营情况.得到了有限时间破产概率的一个上界估计式中：最终破产概率的上界 参考文献1 汉斯.盖伯数学风险论导

24、引M北京：世界图书出版公司，1997：16-402 Jan Grandell. Aspects of Risk TheoryM.NewYork：Springer-verlag,1991：4-953Asmussen.Ruin Probabilities M.Singapore .New Jersey .London.HongKong:World Scientific，2000：57-1314肖碧海.几类非齐次复合泊松风险模型的研究D.长沙：中南大学，2006.5 邓永录，梁之舜随机点过程及其应用M北京：科学出版社，1992：1-4416N.L.Bowers风险理论M上海：上海科学技术出版社，1995：25-817付芳芳，孔繁